Fundamentos del álgebra, Guías, Proyectos, Investigaciones de Álgebra

¡Descarga Fundamentos del álgebra y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Curso Proped´eutico

ITCJ

Ciudad Ju´arez 2009

2

Autor: Francisco Cuevas-Machado.

Profesor de asignatura adscrito al Departamento de Ciencias B´asicas del Instituto Tecnol´ogico de Ciudad Ju´arez.

Mecanograf´ıa: Francisco Cuevas-Machado

Dibujos: Francisco Cuevas-Machado

Cd. Ju´arez, Enero 2009. Academia Del Departamento De Ciencias B´asicas. Instituto Tecnol´ogico De Ciudad Ju´arez.

4

´Indice general

Parte I

N ´UMEROS REALES

7

10 CAP´ITULO 1. CLASIFICACI ON DE LOS N ´ UMEROS REALES´

no se puede escribir como cociente de dos n´umeros enteros. Se representa como Q′^ = Q.

N´umeros reales. Finalmente, diremos que el conjunto de los n´umeros reales, es la uni´on del conjunto de los n´umeros racionales y el de los n´umeros irracionales, esto es, R = Q ∪ Q′.

La recta real. Si nos damos a la tarea de representar gr´aficamente a los n´umeros reales, lo har´ıamos de la siguiente forma: Primero dibujamos todos los n´umeros naturales, esto es, ponemos una secuencia de puntos igualmente espaciados, empezando por un lugar arbitrario para especificar el uno y recorriendo el espacio designado hacia la derecha, los puntos que representan a los naturales consecutivos.

Enseguida, en la misma secuencia de puntos, pero en sentido contrario dibujamos al cero y a los negativos igualmente espaciados. Ahora, dibujamos en medio de cada par de puntos enteros a los medios, despu´es a los cuartos, a los octavos, etc. Al finalizar este proceso, encontramos que tenemos una linea casi “solida”, s´olo que en realidad no esta completamente s´olida, tiene huecos de parte en parte, para llenar esos huecos, necesita- mos “insertarle” los n´umeros que llamamos irracionales, entonces tendremos lo que se conoce como recta de n´umeros reales.

Figura 1.1: La recta real

Cap´ıtulo 2

Propiedades de los n´umeros reales

Un campo es un conjunto F con dos operaciones, llamadas suma y multiplicaci´on que satisfacen los llamados axiomas de campo. El conjunto de los n´umeros reales forman un campo.

1. Cerradura. Si x ∈ F e y ∈ F, entonces su suma x + y est´a en F.
2. Conmutatividad. x + y = y + x para todo x, y ∈ F.
3. Asociatividad. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ F.
4. Elemento neutro. F contiene un elemento, 0 tal que 0 + x = x para cada x ∈ F.
5. Inverso aditivo. Para cada x ∈ F corresponde un elemento −x ∈ F tal que x + (−x) = 0.
6. Cerradura. Si x ∈ F e y ∈ F, entonces su producto xy est´a en F.
7. Conmutatividad. xy = yx para todo x, y ∈ F.
8. Asociatividad. (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ F.
9. Distributividad. x(y + z) = xy + xz para todo x, y, z ∈ F.
10. Elemento neutro. F contiene un elemento, 1 6 = 0 tal que 1x = x para cada x ∈ F.
11. Inverso multiplicativo. Si x ∈ F y x 6 = 0 entonces existe un elemento (^1) x ∈ F tal que x · (^) x^1 = 1.

11

Parte II

FUNDAMENTOS DE ´ALGEBRA

13

16

Cap´ıtulo 3

Operaciones con expresiones

algebraicas

Las operaciones fundamentales aritm´eticas y las algebraicas son las mismas, nos referimos a la suma, resta, producto y divisi´on. La potenciaci´on y radicaci´on son muy usadas.

3.1. Definici´on de expresi´on algebraica

Una expresi´on algebraica es aquella en que intervienen cantidades constantes y variables, en donde las cantidades constantes se representan por los n´umeros reales o las primeras letras del alfabeto a, b y c y las cantidades variables se representan por las ´ultimas letras del alfabeto x, y y z.

EJEMPLO 3.1. Identificar las partes que componen la expresi´on − 5 x^2.

Soluci´on. Las partes que componen una expresi´on algebraica son:

• Signo. El signo de una expresi´on algebraica es el que se encuentra inmediatamente a su izquierda, puede ser positivo o negativo, el signo negativo se hace expl´ıcito siempre.
• Coeficiente. El coeficiente de una expresi´on algebraica es la cantidad constante que multiplica a la variable.
• Variable. La variable de una expresi´on algebraica es la cantidad que toma valores arbi- trarios.
• Exponente. El exponente de una expresi´on algebraica es valor constante o variable al que est´a elevado la variable.

Enseguida veremos la necesidad del uso de variables. Enunciados como los siguientes:

Geometr´ıa. El ´area de un c´ırculo es el producto del n´umero π por el cuadrado de su radio.

Geometr´ıa. El ´area de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su lado.

17

3.1. DEFINICI ON DE EXPRESI ´ ON ALGEBRAICA´ 19

EJEMPLO 3.4. Un hombre ten´ıa $a, despu´es recibi´o $8 y despu´es pag´o una cuenta de $c. ¿Cu´anto le queda?

Soluci´on. Teniendo $a recibi´o $8, luego ten´ıa $(a + 8). Si entonces gasta $c entonces lo que le queda es $(a + 8) − $c, y como en el inciso anterior, las unidades son dinero, entonces:

$(a + 8 − c).

EJEMPLO 3.5. Compro x libros iguales por $m, ¿cu´anto me ha costado cada uno?

Soluci´on. Como voy a comprar varios libros por una cantidad de dinero, entonces se trata de un problema de repartici´on, es decir, vamos a dividir la cantidad de dinero gastada entre el n´umero de libros comprados, entonces cada libro cuesta

$

(m

x

Ejercicios. Traduce los siguientes problemas a una expresi´on algebraica.

1. Siendo z un n´umero entero, escribir los dos n´umeros enteros consecutivos posteriores a z.
2. Siendo b un n´umero entero par, escribir los tres n´umeros pares consecutivos posteriores a b.
3. Escribir la diferencia entre m y n.
4. De una jornada de x km, ya se han recorrido m km. ¿cu´anto me falta por andar?
5. Al vender una casa en $m, gan´e $300. ¿Cu´anto me cost´o la casa?
6. Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a metros de largo y b metros de ancho.
7. Escribir el producto de (a + b) por (x + y).
8. Compro (a − 8) caballos a $(x + 4) d´olares cada uno. ¿Cu´al fue el total de la compra?
9. Se compran (n − 1) caballos por $3000 d´olares. ¿Cu´anto cuesta cada caballo?
10. En el piso bajo de un hotel hay x habitaciones. En el segundo piso hay el doble del n´umero de habitaciones que en el primero, en el tercero, la mitad de las que hay en el primero. ¿Cu´antas habitaciones tiene el hotel, si solamente tiene tres pisos?

20 CAP´ITULO 3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3.2. Suma y resta de polinomios

En los ejercicios anteriores hemos mezclado expresiones algebraicas (monomios) con las operaciones fundamentales suma, resta, producto y divisi´on, al hacer esto generamos lo que conocemos como polinomios.

Polinomio es una expresi´on algebraica que consta de m´as de un t´ermino, por ejemplo: a) m − n, b) 2a + 2b, c) x^2 + 5x − 6.

Como caso particular si la expresi´on algebraica consta de un s´olo t´ermino, como 3a, 2 xy , − 5 b se les denomina monomios que quiere decir un solo t´ermino.

DEFINICI ´ON 3.1. La suma es una operaci´on algebraica, que tiene por objeto sumar o adicionar dos cantidades que constan de varios t´erminos o cantidades polin´omicas llamdos sumandos en una sola expresi´on algebraica que se denomina suma.

DEFINICI ´ON 3.2. La resta o diferencia, por su parte, es una operaci´on algebraica, que tiene por objeto, dadas dos cantidades denominadas minuendo y sustraendo, efectuar la diferencia, es decir, restar al minuendo el sustraendo y as´ı obtener la resta.

Dos monomios axk^ y bxk^ del mismo grado y con la misma variable son conocidos como t´erminos semejantes. Al sumar o restar estos t´erminos semejantes, los podemos combinar en un ´unico monomio mediante la propiedad distributiva.

EJEMPLO 3.6. Sumar 2 x^2 con 5 x^2.

Soluci´on. Escribimos los monomios unidos con el signo m´as, y queda

2 x^2 + 5x^2 ,

y por tener a x^2 como factor com´un, efectuamos la suma de sus coeficientes, es decir,

(2 + 5)x^2

que finalmente nos da como resultado 7 x^2.

EJEMPLO 3.7. De 8 x^3 restar 5 x^3.

Soluci´on. Otra vez, escribimos los monomios, pero en esta ocasi´on, los unimos con el signo menos, donde la primer cantidad es el minuendo y la segunda es el sustraendo, tenemos

8 x^3 − 5 x^3

y expresamos la diferencia de sus coeficientes,

(8 − 5)x^3

donde al efectuarla tenemos 3 x^3.