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FUNCIONES Y GRÁFICAS
Definición de función
Dados dos conjuntos
A
y
B
, que no sean vacíos, se define una función de
A
en
B
, como una relación o correspondencia que asigna a todo
x∈ A
una y sólo una
y ∈B
. Se escribe
f : A→ B
(se lee: “
f
de
A
en
B
Al conjunto
A
se le llama conjunto de partida o dominio de la función.
Al conjunto
B
se le conoce como conjunto de llegada o codominio de la función,
también, conjunto de posibles imágenes.
Al conjunto de imágenes, subconjunto de
B
se le llama rango.
Una forma gráfica, en principio, de representar relaciones es mediante los diagramas de
Venn o de flechas; el siguiente ejemplo ilustra tal situación.
Ejemplos. Si
A={1,2,3 } , B={ 3,4,5}
y dadas las siguientes relaciones en representación
de diagramas de Venn, se quiere establecer cuáles de ellas son funciones y determinarles
el dominio y el rango
Ejemplo 1
Es una función
f : A→ B
Dominio
= A={ 1,2,3}
Rango
I={ 4, 5 }
Ejemplo 2
Es una relación que no es función, ya que no cumple la definición,
3 ∈ A
y no está
relacionado con ningún elemento de
B
; además
2 ∈A
y tiene dos imágenes en
B
Ejemplo 3
Es una función
f : A→ B
Dominio
= A={ 1,2,3}
Rango
I={ 4 }
Ejemplo 4
Es una función
f : A→ B
Ejemplo 2. Si,
y=f
( x
)
√
x − 1
; entonces, si la entrada es
x= 10
; la salida es
y=f
( 10
)
√
10 − 1 = √
9 = 3
. Y se tiene el punto
( x , y ) =(10,3)
Ejemplo 3. Si,
y=f ( t) =
4 −t
t − 1
; entonces, si la entrada es
t= 1
; la salida no está
definida, ya que
y=f ( 1 )=
4 − 1
1 − 1
=
3
0
, expresión no definida. Esto indica que
t= 1
, no
hace parte del dominio de la función.
Ejemplo 4. Calcular
y=f ( x ) =|x− 2 |
; hallar
f (− 2 )
Solución:
y=f (− 2 )=|− 2 − 2 |=|− 4 |= 4
. Así se define un punto de coordenadas
Representación de una función y=f ( x )
Existen varias maneras de representar una función pero nos vamos a centrar en dos
representaciones para la función y=f ( x )
- representaciónalgebraica
La función se representa empleando una expresión algebraica de la forma y=f ( x )
Ejemplos. Las siguientes funciones están en representación algebraica
1 ¿ y=f ( x )=− 4 x + 4
2 ¿ y=f
x
= 5 x
2
− 2 x− 7
3 ¿ y=f
x
x
3
x+ 4
4 ¿ y=f ( x )=log ( x− 1 )
5 ¿ y=f
x
=e
2 x
6 ¿ y=f ( x )=senx
7 ¿ y=f ( x )=| 2 x− 7 |
8 ¿ y=f
x
{
x si x > 0
−x si x < 0
- representación gráfica
La función se representa mediante una gráfica en el plano cartesiano
Ejemplos. Las siguientes funciones están en representación gráfica.
Gráficas 1.
Gráficas 2.
Gráficas 3.
¿Cómo saber si una gráfica dada corresponde o no a una función?
Se emplea el criterio de la recta paralela al eje y. Si alguna recta paralela al eje y corta a la
gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no corresponde a una función.
Clase #
Solución.
Condición: x
2
Debemos hallar el conjunto solución de esta inecuación de segundo grado, por el método de los
intervalos
x
2
, lo primero que debe hacerse es factorizar
( x + 6 ) ( x− 6 ) ≥ 0
Esto indica que enla recta numérica vamos a escoger los valores positivos para x.
Ahora se determinan los puntos de separación que son: x= 6 ; x=− 6 , que son los límites de los
intervalos
- ∞__________________-6_________0_________ 6 _____________+∞
Escogiendo los valores positivos, se tiene:
D
f
=x ∈ (−∞ ;− 6 ] ∪ ¿
Ejemplo 5. y=f ( x )= 3 + 4
3
√x − 3
Solución
Condición: No hay condiciones. Por lo tanto,
D
f
=x ∈ R=x ∈ (−∞; ∞)
Ejemplo 6. y=f ( x )=ln ( 4 − 2 x )
Solución
Condición. 4− 2 x> 0, entonces ,− 2 x>−4, lo cual indica que , 2 x < 4,entonces , x < 2
Lo cual quiere decir que,
D
f
x ∈ (−∞; 2 )
Ejemplo 7.
y=f ( x ) =
√
x
2 x
2
+x− 1
Solución
Condiciones: ( 1
x ≥ 0 y
2 x
2
De la condición (2) , se factoriza, 2 x
2
2 x− 1
x + 1
y se concluye que
x ≠
, x ≠− 1 , y se concluye que el dominio de la función.
D
f
=¿ x ∈ [ 0 ;+∞)−
ó
D
f
=¿ x ∈
[
Ejemplo 8.
y=f ( x )=
x
3
x
2
Solución
y=f ( x )=
x
3
√
( x + 5 ) ( x− 5 )
Condición x ≠ 5 , x ≠− 5
D
f
=x ∈ R−{ 5 ,− 5 }
Rango de
y=f ( x )
El rango es el conjunto de los valores que toma la variable
y
, como resultado de la evaluación
de la función en todos los elementos de su dominio.
Hallar el rango de una función
y=f ( x )
, desde la representación algebraica, resulta casi
siempre difícil de determinar; por eso se optará por buscar el rango de
y=f ( x )
desde la
representación gráfica.
Teniendo en cuenta lo anterior, tanto el dominio como el rango de
y=f ( x )
, pueden leerse en
la gráfica de la función; el dominio se lee en el eje
x
y el rango en el eje
y
.
Ejemplos. Dadas las siguientes funciones en representación gráfica, determinar el dominio y el
rango
ܠ
ܠ
ܠ ܠ ܠ
ܠ
ܠ ܠ
ܠ
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ܠ ܠ
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ܠ ܠ
ܠ ܠ ܠ
ܠ
ܠ
ܠ
ܠ
ܠ
Domínio: : D f
=x ∈ ¿ ∪ ( 1 ; 5 ) Domínio: D
f
=x ∈ (− 4 ;+ ∞)
Rango:
I
f
= y ∈ ¿ Rango:I
f
= y ∈ (−∞ ; 3 )
Para ejercitación ver Taller #
Clase #
FUNCIÓN LINEAL
Representación algebraica
y=f ( x ) =mx+b
m
: Pendiente
b
: ordenada al origen, lo cual indica que la recta corta al eje
y
en el punto
( 0 , b)
Representación gráfica
La representación gráfica de la función lineal es una línea recta que, en el plano
cartesiano, puede estar en cualquiera de las siguientes posiciones.
- La pendiente
m
es
positiva
- La pendiente
m
es
negativa
- Recta paralela al eje
x
,
la pendiente
m
es cero
- Recta paralela al eje
y
,
no hay pendiente
m
, no
definida
De las gráficas anteriores, sola la 4. No corresponde a una función, un análisis
previo indica que esta relación no cumple la definición para serlo.
Pendiente de una recta
Se denota por el símbolo
m
. La pendiente de una recta es el grado de
inclinación que tiene la recta con respecto al eje positivo de las
x
. La pendiente
m , de una recta pude calcularse conociendo dos puntos que pertenezcan a la
recta de coordenadas
P
1
(
x
1
, y
1
)
y P
2
(
x
2
, y
2
)
En la práctica, para efectos de cálculos, se empleará la expresión
m=
y
2
− y
1
x
2
−x
1
Ejemplo 3 Los puntos de la recta son.
Solución
Se aplica la fórmula para el cálculo de la pendiente
m=
y
2
− y
1
x
2
−x
1
= 0 , esto quiere decir que larecta es paralela al eje x
¡Graficarla!
Ejemplo 4. Los puntos de la recta a la cual le vamos a encontrar la pendiente son:
(−4, 2 ) y (5,− 3 )
Solución
m=
y
2
− y
1
x
2
−x
1
Graficar la recta, como ejercicio.
Ecuación de una línea recta
La línea recta puede expresarse empleando las siguientes fórmulas
1) Fórmula punto pendiente
Los datos, para expresar la ecuación de esta forma, son un punto que pertenezca
a la recta de coordenadas
P
1
(
x
1
, y
1
)
y su respectiva pendiente
m
; la fórmula es
y− y
1
=m
(
x−x
1
)
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
(−2,3)
y tiene
pendiente 4, trazar la gráfica
Solución
Se conoce
m= 4 y el punto (−2,3) , entonces se aplicala fórmula punto pendiente
y− y
1
=m (
x−x
1
), reemplazando
y− 3 = 4 ( x+ 2 ), por la tanto, y= 4 x + 8 + 3 , finalmente y= 4 x + 11
En notación funcional sería:
y=f ( x )= 4 x+ 11
Para trazar la gráfica es suficiente con dos puntos.
Ya se conoce un punto que es (−2, 3 ), pero es necesario tener otro haciendo por
ejemplo, x= 0
Así, el punto será de coordenadas ( 0, 11 )
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−4, 6 ) y ( 5,− 7 )
Solución
Se halla la pendiente
m=
y
2
− y
1
x
2
−x
1
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(−4,2) y
(
)
. trazar
la gráfica
Clase #
3) Fórmula o ecuación general de una recta
Esta fórmula es una reescritura de las fórmulas anteriores, se escribe como
Ax + By+C= 0
A , B , C
son constantes, preferiblemente números enteros.
z={… .− 3 ,−2,−1,0, 1, 2, 3 … }
Ejemplos: Escribir en forma general las siguientes ecuaciones lineales
Ejemplo 1.
y=
x− 4
Solución
y=
x− 4
, se le da forma general
Ax + By+C= 0
Se escribe 2 y= 5 x− 8 , por lo tanto, 5 x− 2 y− 8 = 0 es la forma general
Ejemplo 2.
x+
y = 1
Solución
Vamos a la forma general , si
x+
y= 1 , entonces,
15 x+ 4 y = 12 , luego
15 x+ 4 y − 12 = 0 es la fórmula o forma general para esta recta.
Ejemplo 3. Dada la ecuación general de una recta como 7 x + 4 y − 6 =0, Hallar la
pendiente de la recta, y el punto de corte con el eje
y
Solución Dada la ecuación anterior se trata de buscar la forma
y=mx +b
Se despeja y de la ecuación 7 x+ 4 y − 6 =0, es decir que , 4 y =− 7 x+ 6 , por lo tanto
y=
x+
luego se lee que
m=
, además
b=
, y elintercepto con el eje y es
(
)
4) Ecuación de una recta paralela al eje x
Recordar que si una recta es paralela al eje
x
, la pendiente
m= 0
, en tal caso
la ecuación de la recta es
y=k
, con
k
constante
Ejemplos.
y= 3
, es una recta cuya pendiente es
m= 0
, paralela al eje
x
y
pasa por el punto
( 0,3)
Gráficamente
5) Ecuación de una recta paralela al eje y
Una recta paralela al eje
y
, no tiene pendiente, y no es función; la ecuación de
la recta es
x=k
con
k
constante
Y pasa entre otros puntos, por el punto
( k , 0 )
Ejemplos.
x=− 2
, es una recta que no tiene pendiente, paralela al eje
y
y
pasa por el punto
(−2,0)
. Gráficamente
Se busca la pendiente de la recta dada y se despeja, y=− 3 x + 6 , por lo tanto
m
1
Luego
m=m
1
Ahora bien con
m=− 3 y el punto ( 2 ,− 5 ) , aplicando la fórmula punto pendiente
y− y
1
=m (
x−x
1
), es decir, y + 5 =− 3 ( x− 2 ) finalmente,
y=− 3 x + 1
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
( 2,− 5 )
y es
perpendicular a la recta cuya ecuación es
3 x+ y − 6 = 0
Solución
Se busca la pendiente de la recta dada y se despeja, y=− 3 x + 6 , por lo tanto
m
1
Luego
m=
Ahora bien con
m=
y el punto ( 2 ,− 5 ) , aplicando la fórmula punto pendiente
y− y
1
=m (
x−x
1
), es decir,
y + 5 =
(x− 2 ) finalmente,
y=
x −
Luego ,
y=
x −
Ver Ejercicios 3 del Taller #
Tercer evento evaluativo
Clase #
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL
Modelo Costos
1) El costo total de un fabricante consiste en gastos indirectos fijos de
, más
costos de producción de
por unidad.
a) Expresar el costo total como una función del número de unidades producidas, dibujar la
gráfica.
b) Determinar el costo de producir
unidades.
Solución
Se llama x elnúmero de unidades producidas
Costos totales = Costos variables +costos fijos
Asociándolo con la función lineal se tendría que
y=mx+b, de acuerdo con el enunciado
y=costos totales, mx=costos variables , m=costos variables por unidad.
b=costos fijos
a ¿ Costos en función del número de unidades.
y= 60 x + 5000
Hacer la gráfica como ejercicio
b ¿ Determinar el costo de producir 250 unidades
Si x= 250 unidades en el modelo, por lo tanto
y= 60 ( 250 )+ 5000 = 20 000 pesos
1) Un contrato de conexión a internet cuesta
mensuales más
por
cada hora de conexión.
a) Determinar la función que ilustra la situación
b) ¿Qué cantidad debe pagar un usuario que ha utilizado el servicio
horas en el
último mes?
Solución
Se llama x elnúmero de horas de conexión y T la tarifa, por lo tanto
a ¿ T ( x )= 600 x + 20 000
b ¿ total a pagar por 15 horas .Vamos al modelo y se reemplaza x por 15
T ( x )= 600 x + 20 000 ; luegoT ( 15 )= 600 ( 15 ) + 20 000 = 29000 pesos
