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UNIDAD # 3 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3.1 Definición de función vectorial de una variable Real
Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales.
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x (t), y(t) y z(t).
La función vectorial también se puede encontrar representada como: 𝑓⃗(𝑡) ݐPor tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
𝑟(𝑡) = [𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)] … … … … 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑟(𝑡) = [𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)] … … … … 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜
DOMINIO El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:
𝑠𝑖 𝑓⃗(𝑡) = [𝑓 1 (𝑡), 𝑓 2 (𝑡), 𝑓 3 (𝑡), … … …. 𝑓𝑛(𝑡)] 𝑒𝑠 𝐷𝑓⃗ = 𝐷𝑓⃗⃗⃗ 1 ⃗ ∩ 𝐷𝑓⃗⃗⃗ 2 ⃗ ∩ 𝐷𝑓⃗⃗⃗ 3 ⃗ ∩ … … … … … 𝐷𝑓⃗⃗⃗𝑛⃗
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función
Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: 𝑥 = 𝑓 1 (𝑡) 𝑦 = 𝑓 2 (𝑡) 𝑧 = 𝑓 3 (𝑡)
Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.
3.2 Graficación de curvas en función de parámetro t
Curvas en el espacio y funciones vectorial.
En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas
x = f (t) e y = g (t)
Donde: f y g son funciones continuas de t en un intervalo I.
Esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t) Donde f, g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I.
Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales. Aplican los números reales en vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.
DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Se llama función vectorial a cualquier función de la forma r (t) = f(t) i + g(t) j Plano r (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k Espacio
Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r (t) = <f(t), g(t)>
r (t) = <f(t) , g(t), h(t)>
Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector mientras que f (t),g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ).
EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial
R(t) = Cost i + 3 Sent j en el intervalo 0 < t < 2∏
También en el sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polares tenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo. La longitud de estas rectas forma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).
Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva. La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r.
Ejemplo # 2. Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t) de 0 a 3π/
- Paso: calcular la función para los diferentes valores de t
3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
Sea la función vectorial 𝐹⃗ (𝑡) entonces diremos que 𝐹⃗´^ (𝑡) es la derivada de dicha función y se define mediante:
𝐹⃗´(𝑡) = lim ∆𝑡→
Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que 𝐹⃗ (t) es derivable en t = a.
TEOREMA:
Sea 𝐹⃗ (t) una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f , g y h son todas derivables para algún valor de t , entonces 𝐹⃗ (t) es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:
Ejemplos:
- Hallar la derivada de 𝑟⃗´(𝑡) cuya función vectorial es 𝑟⃗(𝑡) = [𝑡 𝑠𝑒𝑡, 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡]
Sol. ( sen t + t cos t , cos t – t sen t , 1)
- Hallar la derivada de 𝑟⃗´(𝑡) cuya función vectorial es 𝑟⃗(𝑡) = [6𝑡𝑖, −7𝑡𝑗^2 + 𝑡𝑘^3 ]
Sol. 6i , -14j + 3t^2 k
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
- Sea [𝑡^3 𝑖, + 12 𝑡𝑗^2 ] 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟
a) 𝑟⃗´´(𝑡)
b) 𝑟⃗´(𝑡). 𝑟⃗´´(𝑡)
- Sea [^12 𝑡^2 𝑖, −𝑡𝑗 + 16 𝑡𝑘^3 ] 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟
c) 𝑟⃗´´(𝑡)
d) 𝑟⃗´(𝑡). 𝑟⃗´´(𝑡)
- Hallar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) = [(1 + 𝑡^3 )𝑖 + 𝑡𝑒𝑗−𝑡^ + 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑘]
- Hallar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) = [3𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + 3𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 𝑡𝑘^2 ]
- Hallar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) = 𝑡𝑖^2 , 𝑡𝑗^3 , 𝑡𝑘^4
- Hallar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖, 𝑠𝑒𝑛^2 𝑡𝑗, 𝑡𝑎𝑛2𝑡𝑘
- Hallar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) = [(𝑡𝑒𝑡)𝑖 + 3𝑒𝑗𝑡^ + 𝑡𝑘]
- Hallar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) = (^) 1+𝑡2𝑡 2 𝑖 + 1−𝑡
2 1+𝑡^2 𝑗 + 𝑘
Ing. Alejandro Arana Paredes
3.4 Integración de funciones vectoriales
La función vectorial 𝐹⃗(𝑡) es una anti derivada de la función vectorial 𝑓⃗ (𝑡), siempre y cuando:
𝐹⃗´(𝑡) = 𝑓⃗(𝑡)
INTEGRAL INDEFINIDA
Si 𝐹⃗ (𝑡) es cualquier antiderivada de 𝑓⃗ (𝑡), la integral indefinida de esta se define como:
∫ 𝑓⃗(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹⃗ (𝑡)+ C
Donde c es un vector constante arbitrario.
Ejemplo 1. Hallar la integral Indefinida (^) ∫(𝒕𝒊 + 𝟑𝒋)𝒅𝒕
Sol. 𝑡
2 2 𝑖 + 3𝑡𝑗 + 𝑐
Ejemplo 2. Hallar la integral Indefinida (^) ∫(𝟖𝒕𝒊 + 𝟑𝒕𝟐𝒋 − √𝒕 𝒌)𝒅𝒕
Sol. 4𝑡^2 𝑖 + 𝑡^3 𝑗 + 2 𝑡
3 2 3 + 𝑐
Ejercicios de Integrales Indefinidas de Funciones Vectoriales
- [(2𝑡 − 1)𝑖 + 4𝑡^3 𝑗 + 3√𝑡 𝑘]𝑑𝑡
2. [3𝑡^2 𝑖 + 𝑗 + 𝑘]𝑑𝑡
3. [𝑡𝑖 − 2𝑗 + 1 𝑡 𝑘] 𝑑𝑡
4. [ 𝑡^23 𝑖 + 𝑡^4 𝑗 − 3 √𝑡^1 ] 𝑑𝑡
5. [2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖 + 3𝑐𝑜𝑠𝑡^2 𝑗 − 5𝑡]𝑑𝑡
6. [𝑡^2 𝑖 − 2𝑡𝑗 + 𝑡^12 𝑘] 𝑑𝑡
INTEGRAL DEFINIDA
Para la función vectorial 𝑓⃗ (𝑡), se define la integral definida de la misma
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
]
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow)
Supongamos que 𝐹⃗ (𝑡) es una anti derivada de 𝑓⃗ (𝑡) en el intervalo [a,b] diremos:
𝑏
𝑎
Realizar ejercicios de Integrales Definidas
∫ (𝑡𝑖^2 + 𝑗 − 𝑡𝑘) 𝑑𝑡
1
−
∫ (𝑡𝑖 + 4𝑗) 𝑑𝑡
3
1
∫ (3𝑡𝑖^3 − 𝑡𝑗 + 1)𝑑𝑡
2
−
∫ (2𝑡𝑖 + 3𝑗)𝑑𝑡
2
−
∫ (𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 + 𝑡𝑘)dt
2
0
∫ (^) √𝑡^3 𝑖+ √𝑡𝑗 − √𝑡^4 𝑘𝑑𝑡
1
−
∫ ( (^01) √𝑡^2 𝑖 + (^3) √𝑡^3 𝑗 − 𝑘) 𝑑𝑡
∫ (4𝑡𝑖 − 8𝑡𝑗)dt
1
−
(^0 ) 0 P 1 (0, - 1)
P 2 (2,1)
Ejemplo # 1. Encuentre la longitud de la ecuación y = x – 1 en el intervalo de (0, 2)
𝐿 = ∫𝑎 𝑏 √1 + [𝑓´(𝑥)]^2 𝑑𝑥
𝐿 = ∫ √1 + [1)] 02 2 𝑑𝑥
𝐿 = ∫ √2 02 𝑑𝑥
𝐿 = √2 𝑥 |^20
𝐿 = √2 (2) − √2 (0)
𝑳 = (𝟐)√𝟐
Se puede comprobar por medio de la geometría analítica porque es una recta utilizando la fórmula dela distancia entre 2 puntos
𝑑 = √(𝑥 1 − 𝑥 2 )^2 + (𝑦 1 − 𝑦 2 )^2
𝑑 = √(0 − 2)^2 + (−1 − 1)^2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
- Calcule la longitud del segmento de la recta f(x) = 3x del punto (1, 3) al punto (2, 6) por medio de la fórmula de la distancia entre 2 puntos y la formula de Longitud de arco. Sol. (^) √
- Determine la longitud de arco de la grafica 𝑓(𝑥) = 𝑥
3 (^2) en el intervalo cerrado [1, 9]
Sol. 27.28 Resolver la integral por cambio de variable
- Determine la longitud de arco de la grafica 𝑓(𝑥) = 4𝑥
3 (^2) en el intervalo cerrado [0, 1]
Sol. 4.14 Resolver la integral por cambio de variable ( u = 1+36x) du = 36 inv. 1/
- Determine la longitud de arco de la grafica 𝑓(𝑥) = 23 (𝑥^2 + 1)
3 (^2) en el intervalo cerrado [1, 4]
Sol. 59.9 Resolver la integral (dx+2x^2 dx+2xdx)
- Determine la longitud de arco de la grafica 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 2 en el intervalo cerrado^ [0,1]
Sol. 1.5 Resolver la integral (1+x)dx
- Determine la longitud de arco de la grafica 𝑓(𝑥) = 𝑥
3 6 +^
1 2𝑥 en el intervalo cerrado^ [
1 2 , 2]
Sol. 2.06 Resolver la integral (x^2 + x-2^ ) dx
𝑙 = ∫ √ (𝑥
4 4 +^
1 2 +^
1 4𝑥^4 ) 𝑑𝑥 12 2
factorizo
𝑙 = ∫ √ 12 14 [𝑥^4 + 2 + (^) 𝑥^14 ] 𝑑𝑥 2
trinomio cuadrado perfecto
𝑙 = ∫ (^1 ) 2
√(𝑥^2 + (^) 𝑥^12 )dx
𝑙 = ∫ (^1 ) 2
(𝑥^2 + (^) 𝑥^12 ) 𝑑𝑥
EJEMPLO # 1 Determine el vector tangente Unitario, Normal principal, Binormal, curvatura y radio curvatura del siguiente vector: 𝒓(𝒕) = 𝐚𝐜𝐨𝐬 𝒕𝒊 + 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒕𝒋 + 𝒕𝒌
1. Vector Tangente Unitario (T): 𝑇(𝑡) =
𝐫′(𝐭) |𝐫′(𝐭)|
𝑟(𝑡) = acos 𝑡𝑖 + 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 𝑡𝑘 ……………. Se deriva primero
|r′(t)| = √(−asen𝑡)^2 + (acos𝑡)^2 + (1)^2 …… Sacamos valor absoluto a la derivada
|r′(t)| = √a^2 sen^2 𝑡 + a^2 cos^2 𝑡 + 1
|r′(t)| = √a^2 (sen^2 𝑡 + cos^2 𝑡) + 1
|𝐫′(𝐭)| = √𝐚𝟐^ + 𝟏 = 𝐚 + 𝟏
Sustituimos en la formula los 2 resultados
2. Vector Normal Principal (N): 𝑁(𝑡) =
𝑇′(𝑡) |𝑇′(𝑡)|
T(t) = r′(t) = −asen𝑡 + acos𝑡 + 1
−𝐚𝐜𝐨𝐬𝒕− 𝐚𝐬𝐞𝐧𝒕
𝐚+𝟏 ……^ sacamos la derivada del vector unitario de^ r
′(t)
|𝑇′(𝑡)| = √(−𝐚𝐜𝐨𝐬𝒕)
𝟐 (^) + (− 𝐚𝐬𝐞𝐧𝒕)𝟐 (𝐚)𝟐^ + (𝟏)𝟐
|𝑇′(𝑡)| = √𝐚
𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒕 + 𝐚𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝒕 𝐚𝟐^ + 𝟏
|𝑇′(𝑡)| = √
𝐚𝟐(𝟏) 𝐚𝟐^ + 𝟏
|𝑇′(𝑡)| = (^) 𝑎 + 1𝑎
𝑁(𝑡) =
𝑇′(𝑡) |𝑇′(𝑡)| =
−𝐚𝐜𝐨𝐬𝒕 − 𝐚𝐬𝐞𝐧𝒕 𝐚 + 𝟏 𝑎 𝑎 + 1
=
(𝐚 + 𝟏) (−𝐚𝐜𝐨𝐬𝒕 − 𝐚𝐬𝐞𝐧𝒕) (𝐚 + 𝟏) (𝐚) =
−𝐚𝐜𝐨𝐬𝒕 − 𝐚𝐬𝐞𝐧𝒕 𝑎
𝑁(𝑡) = −𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
- Vector Binormal (B): 𝐵(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑋 𝑁(𝑡)
𝑎𝑠𝑒𝑛^2 𝑡
𝑎𝑐𝑜𝑠^2 𝑡
=
𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑎 + 1 −^
𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑎 + 1 +^
𝑎 𝑎 + 1 =^
𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑎 𝑎 + 1
4. Curvatura(K): 𝑲(𝒕) = |𝑻
′| |𝒓′|
𝑎 𝑎+
𝒂+𝟏 =^
𝒂
(𝒂+𝟏 )𝟐^ =^
𝒂 (𝒂+𝟏)𝟐
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
2: Determine el vector tangente Unitario, Normal principal, Binormal y curvatura y radio curvatura del siguiente vector: 𝑟(𝑡) = 2cos 𝑡𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 3𝑡𝑘
FORMULA PARA CALCULAR LA CURVATURA
Si C es una curva suave dada por r(t) la curvatura de C en t viene dada por:
‖𝑟´(𝑡)‖^3
Realizar ejercicios de Cálculo de Curvatura
