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Tipo: Apuntes
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FUNCIONES REALES Y APLICACIONES
1.1 PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto (A x B) formado por pares ordenados ( x,y ) tal que la primera componente “ x ”
conjunto B ( y Î A ).
Este conjunto se nota por A^ x^ B y se lee: “A cruz B”. A x B = {(^ x , y )/ x Î A Ù y Î B }
Representación gráfica del par ordenado (x,y) en el plano cartesiano: Y (x,y)
X
Ejemplo 1: A= {1 , 2, 3} ( 3 elementos) B = { 2 , 3 } ( 2 elementos) A x B= {(1,2), (1, 3 ) , (2, 2 ) ,(2, 3 ), (3,2), (3, 3 )} ( 6 elementos)
Ejemplo 2: Determinar AxA Si: A= {1, 2, 3}
A= {1, 2, 3} x A= {1, 2, 3} AxA= {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3)}
Ejemplo 3: Si A= {-1, 2, -3} y B= {3, 4, 5, 6}, Determinar AxB y BxA AxB= {(-1, 3); (-1, 4); (-1, 5); (-1, 6); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (-3, 3); (-3, 4); (-3, 5); (-3, 6)} BxA= {(3, -1); (3, 2); (3,-3); (4, -1); (4, 2); (4, -3); (5,- 1); (5, 2); (5, -3); (6, -1); (6, 2); (6, -3)} Ejemplo 4: Si A= {b, c, d} Hallar: AxA. AxA= {(b, b); (b, c); (b, d); (c, b); (c, c); (c, d); (d, b); (d, c); (d, d)} Propiedades: ǡ , se cumple que: 1.- A x B ≠ B x A (El producto cartesiano no es conmutativo) 2.- A x ( B x C) ≠ ( A x B ) x C (El producto cartesiano no cumple la propiedad Asociativa)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
0
0,
1
1,
2
2,
3
3,
4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Representación Gráfica en el Plano Cartesiano B x A
X
Y
Ejercicios
Hallar: a) A^ x B b) B^ x A c) BxB d) AxA
Es un subconjunto no vacío del producto cartesiano A x B,
Ejemplo: Sean los conjunto A= {1 , 2 } y B = { 2 , 3, -1 }
La relación R 1 formada por los pares ordenados ( x, y ), subconjunto del producto cartesiano A x B, donde x es menor que y, es la siguiente:
R 1 = {(x, y) ϵ A x B/ x < y] R 1 =[(1, 2 ); (1, 3); (2, 3 )]
A B
A = { 1 , , 3 , 4 , 5 }, B ={ 7 , 8 , 9 }
1 2
Sea la función: ݂ǣܣ ՜ ܤ ݔ ՜ ݕൌ݂ ሻݔሺ
El dominio de una función f , es el conjunto formado por todos los x א A, tal que existe un y א B , donde y = f(x)
Df= { x א A / (x ,y) א f } 1.3.2 RECORRIDO O RANGO
Es el conjunto formado por todos los y א B , que son imágenes de x א A, por la ley f. Rf= { y Є B / y= f(x) ^ x Є A } Ejemplo de funciones: a) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, -1) , (- 2, -1) , (3 , 0 ) , ( - 4 , 2 ), ( 5, 3 ) , }
Df= { 1, -2, 3, -4, 5} Rf= { -1, 0, 2, 3}
B
A
b) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, 0 ) , (- 2, 0 ) , (3 , 0 ) , ( - 4 , 3 ), ( 5, 3 ) , }
Df= { 1, -2, 3, -4, 5} Rf= { 0, 3}
Ejemplo de relaciones que no son funciones: a) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} B = {-1 , 0, 2 , 3 }
f = {(1, -1); (-2, 3 ); (3, 2 )}
B
A
A B
Solución: La relación f no es función. No cumple con ninguna de las dos condiciones para ser una función. 1.- No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe una imagen y elemento del conjunto de llegada B”
Al elemento “1” que pertenece al conjunto de salida no le corresponde una imagen elemento del conjunto de llegada f(1)=?
2.- No cumple que la siguiente condición: ሺݔǡ ݕሻ ൌ ሺݔǡ ݖሻ ՜ ݕൌ ݖ
Al elemento “-4” le corresponde dos imágenes del conjunto de llegada (- 4, 0) y (-4, 3) 0≠
A B
d) ¿ La siguiente gráfica, representa una función?
Solución: No es función ya que existe un infinito número de pares ordenados donde a la primera componente “x” le corresponde 2 imágenes diferentes “y”. Ejemplo ( 4, 2) y (4, -2) 2 ≠ -
Se define como: f = {(x,y) Î RxR/ y = k } donde k ÎR ó ݂ ǣܴ ՜ ܴ ݔ ՜ ݕൌ݇ donde k ÎR
Df : ݔא ሿ െ ͷǡ ͵ሿ Rf: ݕൌ െʹ b) Sea la función: ݂ ǣ ሾെǡ Ͷሿ ՜ ܴ ݔ ՜ ݕൌ݂ ሺݔሻ ൌ ൝
x y -7 4 -6 4 -5 4 -4 4 -3 2 -2 2 -1 2 0 2 1 - 2 - 3 - 4 - Df : ݔא ሾെǡ Ͷሿ Rf: א ݕሼͶǡ ʹǡ െ͵ሽ
-3 - -2 - -1 - 0 - 1 - 2 - 3 -
Y
x
d) La compañía A, ofrece a sus clientes el servicio de internet ilimitado por un pago mensual de $25. ¿ Cuál es la ecuación de la oferta? Solución: El bien que está en oferta es el tiempo de conexión a internet “x” El precio se mantiene constante a cualquier valor del tiempo de conexión a internet. “y” La oferta se representa como una línea horizontal con la función:
Y = 25
y
x
x Y 5 25 10 25 15 25 20 25 25 25 25 25 30 25 35 25 40 25
a = 2 b = 8 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente:
ି
ି଼
Entonces tenemos el par ordenado (-4, 0)
El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 8)
Gráficamente: y
x
Para hallar el recorrido de f
a = 1 b = 3 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente:
ି
ିଷ
Entonces tenemos el par ordenado (-3, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 3) Gráficamente: y
x
