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7.1 DEFINICION. Continuidad en un punto. Sea f ( x ) una funci6n definida en
todos los puntos x de un intervalo abierto I que contiene al punto a. Decimos que f ( x ) es continua en el punto a si se cumple que
lim f ( x ) = f ( a ) %-+a
7.2 OBSERVACIONES.
- Para que la función f ( x ) sea continua en el punto a se requiere, explicitamente, que se cumplan las tres condiciones siguientes: i) f^ ( x )^ está^ definida^ en el punto^ a,^ es decir, existe el valor^ f^ (a). ii) Existe lim f ( x ) , y x+a
iii) lim x+a f ( x ) = f ( a ).
O tarnbidn en la notación de E y 6 : Que exista el valor f ( a ) y que para todo E > O exista un S > O tal que Ix - a 1 < S implica 1 f ( x ) - f (a)l<E.
- Así, f(x) no ser6 continua en el punto a si no se cumple al menos una de las tres condiciones (i), (ii), o (iii) señaladas en el parágrafo anterior, y en tal caso decimos que la funcibn f (x) es discontinua en el punto a.
7.3 DEFINICION. Continuidad en un intervalo abierto. Decimos que f(x) es
continua en un intervalo abierto I si f(x) es continua en cada punto a del intervalo 1.
7.4 EJEMPLO 1. Investigar la continuidad de la función
en cada punto x.
SOLUCION. (1) Sia#O,entonces l i m f ( x ) = l i m - = - =^ senx^ sena
x + a x + a x a f^ (a)
puesto que f (x) = -^ sen^ x cuando x se encuentra próximo al punto a + O y que X lim - senx^ = - sena por las propiedades de límites. x + a x a Luego, f (x) es continua en cada punto a t O.
(2) Consideremos ahora el caso en que a = O. Tenemos: (i) f (O)^ =^ 1,por^ definición^ de la función f (x) en^ x^ =^ 0. sen x (ii) lim %-+O^ - x =^1 (resultado establecido en el capitulo de límites).
(iii) lirn f (x) = lim -^ sen^ x = 1 = f (O), por definición de f (x) , cuando x # O, y por %+O x+o x (ii) e (i)
Luego f ( x ) también ea continua en el punto O. En conclusión: La hnción dada f (x) es continua en todos los puntos a sin ex- cepción.
( 5 ) p(x) no es continua en x = 2 , sea bien por que no existe p(2), o sea bien porque no existe lim p(x). x+
7.5 PROPIEDADES DE PRESERVACION DE LA CONTINUIDAD
TEOREMA. Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en el punto a. Entonces
(1) La función suma f ( x ) + g(x) es continua en a. (2) La función producto^ f^ ( x )^ .g(x)^ es continua en^ a.
(3) La función cociente -^ (X'^ es continua siempre que se cumpla que^ g(a) +^ O. s ( x ) (4) La función potencia enésirna f ( ~ es continua en el punto ) ~ a.
(5) La función raíz enbsima drn es continua en el punto a.
Todas estas propiedades se siguen directamente de las propiedades correspondientes establecidas para los límites de funciones en el punto a.
FUNCIONES CONTINUAS IMPORTANTES. Son continuas:
- La funci6n polinomial bo^ +^ blx^ +^ ...^ +^ b,xm^ ,^ en^ todo punto^ x. b, +b,x+... +b,xm 2. La funcibn racional ,^ en todo^ punto^ x^ donde el denominador Co + C I X + ... + C , X sea # **0.
- Las funciones Mgonom6tricas**
a) sen x , en todo punto x
b) cos x , en todo punto x,
c) tg x = - sen^ x^ , en todo punto x tal que cosx # O , o sea en todo punto x # 2kn + - K , cos X 2 donde k = O, fl, f2, ... d) ctg x = -^ cos^ X , en todo punto x tal que sen x # O , o sea en todo punto x # 2 K n , sen x donde k = O, Itl, f2, ...
Continuidad 175
7.6 TEOREMA. Composición de funciones continuas. Si f(x) es una función
continua en el punto a, y g(x) es una función continua en el punto f(a), entonces la función compuesta h(x) = g[f (x)], es una función continua en el punto a.
EJEMPLOS.
1. La función h(x) = sen(x2 - 2x + 5) es continua en cada punto x , pues las funciones
f (x) = x2 - 2x + 5 , g(x) = sen x son continuas, y h(x) = sen (x^2 - 2 x + 5) = g(x2 - 2x + 5) = g(f(x))
- La función h ( x ) = sen(cosx2) es continua en cada punto x, pues las funciones
f (x) = x^2 , g(x) = cosx , h(x) = sen x , son continuas^ y
h(x) = sen(cosx2) = h(coex2) = h[g(x2)] = hIg[f(x)]}
7.7 CLASlFtCAClON DE LAS DISCONTINUIDADES
Hemos dicho que la función f(x) es discontinua en el punto a si se cumple al menos una de las tres condiciones siguientes:
(1) f (x) no está definida en a, (2) no existe lim f (x) , %+O (8) lim %+O f (x) + f (a).
Decimos que la función f (r)tiene discontinuidad evitable o removible en el punto a si: i) Existe el número real lim f (x) , y %+a ii) f (a) no existe o, si f (a) existe, se tiene lim %+O f (x) * f (a).
si x z a En tal caso se deñne (^) f ' ( x ) = (^) si = a
La nueva función f * (x) resulta ser continua en a y se llama la extensión o pro- longaci6n continua de f (x) al punto a.
Continuidad 177
lim f ( x ) = lim^ ( 1 + ~ ) ~ -^^1 = lim (1+6x+15x2^ +30x3^ +...)-^^1 x - o x - 0 2x x+o 2x
3 + 2 x + 9 x 2 +...] = 3 , x+o
1
podemos definir f ( 0 ) = 3 , y la función f ( x ) es ahora continua en x = O.
EJEMPLO 3. Determinar la clase de discontinuidad de f ( x ) = -^1 en el punto x = 1. x - 1
SOLUCION. La función tiene discontinuidad de segunda clase en el punto x = 1, pues
lim f ( x ) = +m , l i m f ( x ) = - m
x-i l+ x+ 1- no son límites finitos.
EJEMPLO 4. Sea f ( x ) = (-1)u4xn , donde 1 es la funci6n mayor entero. Pmbar que no existe (^) x+o+ lim f ( x ) y concluir que f ( x ) tiene una discontinuidad de segunda clase en el puiito x = O.
SOLUCION. Por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número real L tal
que (^) x+o+ lim f ( x ) = L. Entonces, para E = Y2 existe un 6 > 0 tal que
O < x < 6 implica 1 f ( x ) - LI < 1/2 (1)
Elijamos un número par 2n tal que -^1 < 6. 2n
Luego se tiene -^1^1 Y - < 6 y [l) = ( - l ) ~ ~ ~ l =( - 1 1 ~ ~ = 1, pusi - = 2n. 2 n 2 n + 1 2n !m
2 n + 1 y empleando (1)
De (2) y (3) resulta la contradicción L > O y L < O. Luego, no existe lim f ( x ) , y por lo tanto f ( x ) tiene una discontinuidad de segunda *x - b o ** clase en O.
7.8 DEFINICION. Continuidad en un intervalo cerrado.
Decimos que la función f ( x ) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
( 1 ) f (z) estll definida en cada punto x del intervalo. (2) f ( x ) es continua en todo punto del intervalo abierto ( a ,b) es decir lim f ( x ) = f ( c ) X+C para todo c de ( a ,b).
(3) f ( x ) es continua por la derecha en el extremo a , es decir lirn f ( x ) = f ( a )
x+a (4) f ( x ) es continua por la izquierda en el extremo b, es decir lirn f ( x ) = f ( b ). x+b-
EJEMPLO 1. Redefinir la función
para obtener su prolongación continua en el intervalo cerrado [O, 11.
Nota. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto por la derecha [ a , b) si es continua en todo punto x del intervalo abierto (a,b) y ademis es continua por la derecha en el punto a. De manera similar se define la continuidad en un intervalo semiabierto por la izqui- erda (a,b] , y también, en intervalos de la forma ( a , + m ) , (-m, a ) , [ a , + m ) , (-m, a ] y en toda recta W = (-m, + m)
EJEMPLO 3. Determinar los intervalos en los cuales cada una de las siguientes funciones es continua
SOLUCION.
1
(1) La función f (x) = 2- no está definida en x = +3 y por consiguiente es
x - 9 discontinua en estos puntos.
Por otra parte, si c # 13 entonces c 2 + 9 y lim f (x) = lim =^ A^ = X+C (^) X + C X - 9 C^2 - 9 f^ ( 4^9
y por lo tanto f(x) es continua en todo punto c + k 3. Concluimos pues que f (x)
es continua en los intervalos (-m, 3), ( - 3 , 3 ) , (3, + m ).
(2) Tenemos que x^2^ - 2 x - 8 2 0 o (x-1)^2 2 9 , que es equivalente a x - 1 2 3 o x - 1 1 - 3 , 0 tambiéna x 2 4 o x s - 2.
Luego g ( x ) = 4x2 - 2%- 8 e s t i definida solamente en los intervalos (-m, - 21 y [4, + 00) Puesto que x2 - 2x - 8 > 0 si x es un punto de (-m, - 2) o de (4, + a) tenemos lim g(x) = lim d z = Jz' = g ( c ) , si c se encuentra en los in- tervalos abiertos, y se ve directamente que
lim g(x) = 0 = g(-2) , lim g(x) = O = g(4).
x+-2- x-+
Concluimos Ques que g(x) es continua en los intervalos (-m, - 21 y [4, + m).
Continuidad 181
7.9 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.
TEOREMA. Sea f (x) una función continua en un intervalo cerrado [a,b]. Entonces se
cumple lo siguiente: (1) f (x) es acotada sobre [a, b]. Es decir, existe un número C > O tal que 1 f (x)( S C para todos los puntos del intervalo [a, b]. (2) f (x) tiene un valor minimo y un valor máximo en [a, b]. Es decir, existen puntos
X, y x , en [a,b] tales que f (x,) 5 f (x) 5 f (x,) , para todos los puntos x del in-
tervalo [a, b]. Designamos con m^ =^ f^ (x,^ )^ =^ el valor^ mlnimo^ de^ f^ (x)^ en [a,^ b] y M = f ( x , ) = e l v a l o r m á x i r n o d e f(x)en[a,b]
(3) Teorema del valor intermedio: f ( x ) toma todos los valores intermedios entre m y M, es decir que i ) m^ íf^ ( x )^ <^ M ,^ para todo^ x^ de^ [a,^ b]^ ,^ y ii) dado un número^ y^ cualquiera tal que m^^5 y^^5 M , entonces existe al menos un x de [a,b] tal que y = f ( x ) Nota. En particular, para todo número y comprendido entre f (a) y f(b), existe al menos un x de [a, b] tal que y = f (x).
(4) Teorema del cero: Si f ( a ) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe un número x en el intervalo abierto (a, b) tal que f (x) = O.
Nota. Cualquier x tal que f (x) = O se llama un cero de la fccnción o una raiz de la ecuación f (x) = O.
_h-----_ **valor máximo**
valor mínimo
Grtífica de una funcion continua sobre un intervalo cerrado.
Continuidad 183
Nota. Como ya se ha dicho en el capítulo de límites asumimos que d f o esta4 defi- nido. Es decir que si n es impar, f ( a ) puede ser cualquier número; y que si n es par, entonces se supone que f ( x ) > O y por lo tanto f ( a ) > O.
PROBLEMA 3. ~ k o b a rque P(x) = bo + b,x + ... + bmxm es una función continua en cada punto a.
SOLUCION. Debemos probar que lim (bo + b,x + ... + bmxm ) = bo + bla + ... + bmam , lo x+a cual ha sido establecido en el problema 22, Sección 6.3 del capítulo de límites. Sin embargo, procederemos a dar una demostración directa de este resultado haciendo uso de las propiedades de las funciones continuas. Paro 1. Toda función constante f ( x ) = c es continua en a. En efecto lim c = c = f ( a ). x+a Paso 2. La función identidad g(x) = x es continua en a. En efecto, se cumple limx = a = g ( a ) , ya que para E > O existe 6 = E > O tal que x+a O < lx-a1< 6 implica Ig(x)-g(a)(=Ix-al < S = E. Paso 3. bo + b,x+. ...+ bmxn' es continua en a. En efecto, las funciones bo , blx , ... , bmxm son continuas en a por ser productos de funciones constantes y g(x) = x. Luego, bo + b,x + ... + bmxm es una función continua, por ser suma de funciones conti- nuas.
bo + b l x +.. .+bmxm PROBLEMA 4. Probar que la función racional R(x) = es continua Co +CIX+ ...+ C,X en todos los puntos en los que el denominador no se anule.
SOLUCION. Las funciones polinomiales P(x) = bo + b1x + ... + bmxm (^) y Q(x) =^ co^ +^ clx^ +^ ...+^ c,xn son continuas en todo punto a , por el problema 3. Luego, la función cociente R(x) = - P ( x ) es continua en todo punto a tal que Q(x) Q(a)t 0 , por el problema 1.
PROBLEMA 5. Probar que si f ( x ) es continua en a entonces 1 f ( x ) ( es una función continua en a.
SOLUCION. Tenemos
x+a lim^ (f ( x ]^ =^1 lim x+a^ f^ ( x )^^1 (por el problema^ 2 5 ,^ Sección^ 6.3)
= 1 f (a) 1 (continuidad^ de^ f^ ( x )^ en^ a)
Luego, 1 f ( x ) ( es continua en a.
PROBLEMA 6. Hallar los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones:
SOLUCION. (1) Puesto que la fiinción racional^ x 2^ + 5 x + 6 es continua en todo punto^ x^ tal que x + 2 x + 2 t 0, tenemos que f ( x ) es continua en cada x # - 2.
Por otra parte,
lim f ( x ) = lim^ x 2 + 5 x + 6^ = lim ( x^ +^ 2 )( x^ +^ 3 ) =^ lim^ ( x + 3 )^ =^ - 2 + 3^ =^ 1. x+-2 x+-2 x + 2 x 4 - 2 x + 2 x+-
Y como f ( - 2 ) = 3 , tenemos lim^ f^ ( x )^ +^ f^ ( - 2 ).^ Concluimos que^ -2^ es el único x+- punto de discontinuidad de f ( x ). (2) La funci6n 1% +71 es continua en todo punto por ser el valor absoluto de la funci6n continua 3 x + 7. Luego, g ( x ) es continua en todo punto x z -%. Por otra parte, lirn g ( x ) = lim 13% + 71 = 1 3 ( - P) + 7 1 = 0
PROBLEMA 7. Hallar todos los puntos de discontinuidad de la función mayor entero [xD ( o funcidn parte entera de x 1.
SOLUCION. Por definición se tiene 1x1= n si n < x < .n + 1, n es un número entero. Sea a talque n < a < n + l.
Caso 1. Si n < a < n + 1 entonces 1x1= n = función constante de n en el intervalo abierto (n, n+l). Y como toda función constante es continua en cada punto, concluimos que 1x1 es continua en cada punto a tal que n < a < n + 1.
Calculamos los límites laterales lim [xj = lim (n-1) = n - 1 (pues si n - l s x < n , entonces [xj= n - 1) x+n- x+n- lirn [xj = lim+n = n x+n x+n
(puessi n < x < n + l , e n t o n c e s[x]l=n).
Como lim 1x1 t 1% [xl , no existe lim 1x1, y la función 1x1 es discontinua en x+n- x+n x+n a = n. Luego [xj es discontinua en cada entero n.
PROBLEMA 8. Definir cada una siguientes funciones en el punto indicado de manera que resulte ser continua en dicho punto.
SOLUCION. Basta calcular los límites de las fiinciones dadas cuando x = a y definir las funciones en el punto a con valor igual a tales limites. (1) Tenemos J X - 2 ( 2 + ~ ) - 2 ~ lim %+a (^) f (8). = lim %+a (^) x - 8 =^ lim ( x - ~ ) ( J x+ 2)
Continuidad 187
Y así definimos (^) f ( 8 ) = Y para que f ( x ) sea continua en x = 8.
(2) Tenemos
Y asi definimos (^) f ( O ) = i / 3 , para que la función g(x) sea continua en x = O.
PROBLEMA 9. Hallar los puntos de discontinuidad de la función
SOLUCION. En primer lugar,vamos a obtener una expresión más simple de la funci6n f ( x ) -1. [ x ] = p a r = 2 n. Entonces 2 n S x c 2 n + l y f ( x ) = I x - [ x l ) = I x - 2 n l = x - 2 n. -2. [xQ=impar=2n-1. Entonces 2 n - l * ; x < 2 n , 2 n < x + l c 2 n + l y, f(x) = I x - [ x + l ] l = 1%-2nl = 2 n - x pues x < 2 n.
Continuidad 189
De x^2 - 7 x + 6 = ( x - 6)(x - 1) = 0 vemos que x = 1, 6, son los únicos puntos que anulan el denominador de f ( x ). Luego la función f ( x ) es continua en los interva- los abiertos (*, 11, ( l , 6 ) y (6, + m).
(2) Simplificamos la expresión dada de g(x). Si [ x B = n , entonces n < x < n + l , - n - 1 < - X S - n y - n < l - x s l - n.
Luego 11-x] = si^ - n < l - x c l - n^ o^ n < x < n + l 1 - n si 1 - x = l - n O x = n. Y por lo tanto, si n < x < n + 1 tenemos f ( x ) = 1 - x + [ x ] - 1 1 - x ] = 1 - x + n - ( - n ) = 1 - x + 2 n ;
y si x = n , tenemos
Enresumen, f ( x ) = l - x + 2 n si n < x < n + l y f ( x ) = n si x = n.
Se sigue pues que f ( x ) es continua en cada intervalo abierto (n,n + 1). Continuidad en el punto n. Calculamos los limites laterales
lim- f ( x ) = lim ( 1 - x + 2 ( n - 1 ) ) (pues n - l < x < n cuando n + n - ) x+n x-n- = 1 - n + 2 ( n - 1 ) = n - 1 ,
lim f ( x ) = lim (1- x + 2n) (pues n < x < n + l cuando x+n') x+n+ x+n+ = 1 - n + Z n = l + n ,
y puesto que f ( n ) = n + lim f ( x ) , lirn f ( x ) ,concluimos que f ( x ) es continua m- x+n- x+n lamente en coda intervalo abierto (n,n + 1).
PROBLEMA 1 1. Determinar si la función
f ( x ) = ~ x - 1 s i x ~ y ~ f ( x ) = x 2 - 3 d x > 2
es continua en los siguientes intervalos:
(1) (-a, 21 (2) (0,4) (3) [2,5) (O (2, 6)
SOLUCION.
(1) Sí, porque f ( x ) = 2x - 1 es una función continua en toda la recta. (2) f ( x ) es continua en cada punto a tal que O c a c 2 o 2 c a c 4 , pero
lirn f ( x ) = lirn ( 2 x - 1) = 2 ( 2 ) - 1 = 3 x-2- x-2-
lirn f ( x ) = lirn ( x 2 - 3 ) = (2)2- 3 = 1 x+2+ x+2+ de donde se sigue que no existe lirn f ( x ) , y por lo tanto, que f ( x ) no es continua x+ en x = 2. Luego, la función no es continua en el intervalo abierto (0,4).
(3) Puesto que iim f ( x ) = iim ( x^2 - 3 ) = 1 , x+2+ x+2+
se tiene que lim f ( x ) + f ( 2 ) , y por lo tanto f ( x ) no es continua en el intervalo
x+2+ [ 2 , 5 )
(4) Puesto que (^) f ( x ) = x^2 - 3 para x > 2 , concluimos que f ( x ) es continua en el intervalo abierto [2,5).
PROBLEMA 12. Hallar los valores de A y B para que sea continua la función
SOLUCION.
La función f ( x ) es evidentemente continua en todos los puntos x # - 2 , l.
Así, solamente debemos exigir la condición de continuidad en los puntos x = -2, 1. Para la continuidad de f ( x ) en x = -2 tenemos
x+-2-^ lim^ f^ ( x )^ =^ x+-2+ Iim^ f^ ( x )^ =^ f^ (-2)^ o^ x+-2- lirn^ ( x^ +^ 2A)^ =^ x+-2+ lirn^ (3Ar^ +^ B)^ =^ -^ 6A^ +^ B^ ,
