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Taller II - Laboratorio de control
A´ıda Daniela Becerra L´opez, Jesus David Macmahon Vergara, Jhon Wilder Velasco
C´odigos: 1015475368, 1116801660, 1014281762
{adbecerral,jedmacmahonve,jvelascod}@unal.edu.co
Bogot´a, Colombia
I. AN ALISIS Y MODELADO USANDO´ MATLAB
I-A. Comportamiento experimental
(^035 40 45 50 55) Tiempo (s) 60 65 70 75 80
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Magnitud
Respuesta ante una entrada escalón Respuesta del sistema (RPM) Entrada al sistema (Volts)
Figura 1: Comportamiento experimental.
I-B. Funci´on de transferencia aproximada
Se tiene el sobre paso m´aximo Mp, el cual puede se calculado por:
Mp =
M aximo sobre paso ∆yss
Al tener el valor de Mp se puede obtener el valor para de la siguiente ecuaci´on:
Mp = e
√^ −π 1 −^2
Despejando se tiene:
= ln(Mp) √ π^2 + (ln(Mp))^2
Si se toma en cuenta a partir de la gr´afica 1 que tp=1.95s, el cual es el tiempo requerido para alcanzar el primer sobre paso, entonces ωd se puede calcular as´ı:
ωd = π tp
Al obtener ωd, se puede calcular wn de la siguiente manera:
ωn =
ωd √ 1 −
2 = 1,^63
El k se puede obtener a partir de:
k =
∆salidass ∆entradass
La funci´on de transferencia queda entonces:
G 1 =
s^2 + 0, 28 s + 0, 74
I-C. Comparaci´on entre funci´on te´orica y funci´on real
Figura 2: Comparaci´on entre datos experimentales
I-D. Comparaci´on de funci´on de transferencia G 2 y G 1 Utilizando el ident, la funci´on de transferencia ser´ıa:
G 2 =
0 , 296 s^2 + 0, 179 s + 1 En la figura 3, se puede observar la comparaci´on entre el comportamiento experimentar (verde), comportamiento te´orico (morado) y aproximaci´on de matlab (amarillo). Claramente la aproximaci´on de matlab se acerca mucho m´as.
Figura 3: Comparaci´on funci´on de transferencia G 1 , G 2 y da- tos experimentales. Morado, amarrillo y verde respectivamente
II. MODELADO DE MOTORES DC
II-A. Funci´on de transferencia a partir de las variables dadas
Se tienen los valores de La = 0, 01 , Ra = 2, Kb = 0, 3 , Jm = 0, 1 , ki = 0, 7 y Bm = 0, 01. Entonces la funci´on de transferencia queda:
Ωm Ea
0 , 001 s^2 + 0, 2 s + 0, 23
Figura 4: Comportamiento del de la funci´on de transferencia
Dicha funci´on de transferencia, tambi´en se puede ver como:
Ωm Ea
s^2 + 200S + 230
(s + 1,15)(s + 198,8)
Si se tiene en cuenta la parametrizaci´on de segundo orden:
kdcω^2 n s^2 + 2ωn + ω^2
Entonces se tiene que ωn = 14, 17 , kdc = 3, 04 y = 6, 6 , Por ende el sistema es sobreamortiguado y puede asemejarse a uno de primer orden. Adem´as se puede ver que hay dos polos, uno cerca al origen y otro muy lejos del mismo. De lo anterior se puede deducir que el polo en − 198 , 8 se puede obviar. Para obtener un sistema de primer orden equivalente, se usa el polo en − 1 , 15 y se asegura que la ganancia a frecuencia cero sea la misma.
Ωm Ea
s + 1, 15
Figura 5: Comparaci´on entre la respuesta del sistema de segundo orden, con el de primer orden. Amarrillo y negro respectivamente.
Al obtener respuestas muy parecidas, se puede decir que el factor LaJm (inductancia de armadura e inercia del motor) se puede despreciar. Adicionalmente en la figura 9 se puede ver una comparaci´on para la funci´on de transferencia de posici´on angular. Se puede apreciar que el comportamiento es el mismo para la funci´on de grado 2 y de grado 1.
Figura 6: Comparaci´on entre la respuesta del sistema de se- gundo orden, con el de primer orden, para posici´on. Amarrillo y negro respectivamente.
III. AN ALISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA´
Para obtener la curva caracteristica de un motor caracteri- zado de manera manual se procedi´o a realizar el respectivo cableado entre la Teensy y el kit LEGO del laboratorio, haciendo uso exclusivamente del motor y de su protocolo de comunicaci´on. Al momento de conectar el motor se procede a cambiar la referencia y a tomar los respectivos datos cercioran- dose de hacer uso del script que permite obtener la velocidad del motor en funci´on del tiempo. La figura 7 representa la funci´on de tranferencia obtenida (trazo azul) junto con la entrada de tipo escal´on usada en la caracterizaci´on (trazo rojo). Como se puede observar por
