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Formulario - Métodos de Integración
Método de Sustitución
B∂∇
∼
Dada la integral: I =
f
ϕ(x)
ϕ
′
(x) dx ; este
método consiste en hacer: u = ϕ(x) ∧ du = ϕ
′ (x) dx
y la integral se convierte en: I =
f (u) du
Integración por partes
‹
B∂∇
∼
I =
f (x) g(x) dx = f
g dx −
f
′
g dx
dx
Donde f (x) puede ser:
arcsin(u), arctg(u), ln(u), P n
(x) ; u = u(x)
Integración por sustitución Trigonométrica
B∂∇
♦ Integrales de la forma:
f
x,
p
a
2
− x
2
dx ;
f
x,
p
x
2
± a
2
dx
Si la I contiene
p
a
2
− x
2
p
x
2
2
p
x
2
− a
2
hacer CV. por x = a sin θ x = a tg θ x = a sec θ
diferencial dx = a cos θ dθ dx = a sec
2
θ dθ dx = a sec θ tg θ dθ
para obtener:
p
a
2 − x
2 = a cos θ
p
x
2
2 = a sec θ
p
x
2 − a
2 = a tg θ
Triángulo:
θ
x
p
a
2 − x
2
a
θ
x
a
p
x
2
2
θ
p
x
2
− a
2
a
x
Integrales Trigonométricas
B∂∇
♦ Integrales de la forma:
sin
m x cos
n x dx
Caso 1.- Cuando “m” o “n” sean números Z impar no importa lo que sea el otro exponente. El de potencia
impar, descomponer:
sin
m
x cos
n
x dx =
sin
m
x cos
n− 1
x cos x dx =
sin
m
x
1 − sin
2
x
n− 1
2
cos x dx ⇒ C.V.: w = sin x
sin
m x cos
n x dx =
sin
m− 1 x cos
n x sin x dx =
1 − cos
2 x
m− 1
2
cos
n x sin x dx ⇒ C.V.: w = cos x
Cuando “m” y “n” son números Z impar entonces se prefiere trabajar con aquel factor que tenga la menor
potencia impar.
Caso 2.- Cuando “m” y “n” son números Z par se hace la sustitución usando las siguientes formulas:
sin
2 x =
(1 − cos 2x) ∧ cos
2 x =
(1 + cos 2x) ∧ sin x cos x =
sin 2x
♦ Integrales de la forma:
tg
m x sec
n x dx ∨
ctg
m x csc
n x dx
CASO 1.- Cuando “n” es número Z par proceder de la siguiente manera:
tg
m
x sec
n
x dx =
tg
m
x sec
n− 2
x sec
2
x dx =
tg
m
x
tg
2
x + 1
n− 2
2
sec
2
x dx ⇒ C.V.: w = tg x
CASO 2.- Cuando “m” es número Z impar se procede:
tg
m x sec
n x dx =
tg
m− 1 x sec
n− 1 x sec x tg x dx =
sec
2 x − 1
m− 1
2
sec
n− 1 x sec x tg x dx ; w = sec x
Trigonométricos Racionales
‹
∞!
B∂∇
2
♦ Integrales de la forma:
f (sin x, cos x) dx
f (− sin x, cos x) = −f (sin x, cos x) ⇒ CV: u = cos x
f (sin x, − cos x) = −f (sin x, cos x) ⇒ CV: u = sin x
f (− sin x, − cos x) = f (sin x, cos x) ⇒ CV: u = tg x
Si la integral no responde a ninguno de los casos
anteriores entonces hacer:
C.V.: u = tg
x
x
2 u
1 − u
2
1 + u
2
Trigonométricos por Transformación
‹
∞!
B∂∇
2
♦ Integrales de la forma:
sin(mx) cos(nx) dx
Para integrales donde aparecen producto de senos y
cosenos se utilizan las fórmulas trigonométricas que
nos permite expresar el producto en suma:
sin α cos β =
sin(α − β ) + sin(α + β )
cos α cos β =
cos(α − β ) + cos(α + β )
sin α sin β =
cos(α − β ) − cos(α + β )
Integración por Fracciones Parciales
B∂∇
♦ Integrales de la forma:
P
n
(x)
Q
m
(x)
dx , donde P n
(x) y Q m
(x) son polinomios de grado “n” y “m”
Caso 1: Si n ⩾ m se realiza la división:
P
n
(x)
Q
m
(x)
= C(x) +
R(x)
Q
m
(x)
Caso 2: Si n < m se descompone la fracción, como los siguientes casos:
- Si Q(x) tiene raíces reales no repetidas:
P (x)
x − a 1
x − a 2
x − a k
A
1
x − a 1
A
2
x − a 2
A
k
x − a k
- Si Q(x) tiene raíces con multiplicidad:
P (x)
(x − a)
r q(x)
A
1
x − a
A
2
(x − a)
2
A
r
(x − a)
r
p(x)
q(x)
- Si Q(x) presenta factores cuadráticos simples:
P (x)
x
2
x + b 1
x
2
x + b 2
x
2
x + b k
A
1
2 x + a 1
+ B
1
x
2
x + b 1
A
2
2 x + a 2
+ B
2
x
2
x + b 2
A
k
2 x + a k
+ B
k
x
2
x + b k
- Si Q(x) presenta factores cuadráticos de multiplicidad:
P (x)
x
2
r
q(x)
A
1
x + B 1
x
2
A
2
x + B 2
x
2
2
A
r
x + B r
x
2
r
p(x)
q(x)
♣ Método de Residuos
- Para raíces reales y diferentes en el denominador:
f (x) =
P (x)
x − a 1
x − a 2
x − a n
A
1
x − a 1
A
2
x − a 2
A
n
x − a n
; A
m
= lim
x→a m
x − a m
f (x)
- Para raíces reales múltiples en el denominador:
f (x) =
P (x)
(x − a)
r q(x)
A
0
(x − a)
r
A
1
(x − a)
r− 1
A
r− 1
x − a
p(x)
q(x)
; A
m
m!
lim
x→a
d
m
dx
m
(x − a)
r f (x)
Integración por el método de Hermite Ostrogradski
∞!
B∂∇
2
♦ Integrales de la forma:
P (x)
Q(x)
dx
Donde Q(x) el denominador se descompone en factores lineales y/o cuadráticos irreductibles de multiplicidad:
Q(x) :
(x + a)
λ ;
x
2
μ
La integral se lo expresa:
P (x)
Q(x)
dx =
α n− 1
(x)
R
n
(x)
β m− 1
(x)
S
m
(x)
dx
R
n
(x) es máximo común divisor de los polinomios Q(x) y su derivada Q
′
(x) y S m
(x) =
Q(x)
R
n
(x)
, ademas
α n− 1
(x) y β m− 1
(x) son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad
que los polinomios R n
(x) y S m
(x). Los coeficientes indeterminados de los polinomios R n
(x) y S m
(x) se
calculan derivando ambos miembros de de la anterior ecuación.
Integrales Binómicas
‹
∞!
B∂∇
2
♦ Integrales de la forma:
x
m (a + bx
n )
p
dx
Si p es un numero Z x = u
N N es m.c.d de los exponentes fraccionarios “m” y “n”
Si
m + 1
n
es un Z a + bx
n
= u
N
N es el denominador del exponente racional “p”
Si
m + 1
n
a + bx
n
x
n
= u
N
N es el denominador del exponente racional “p”
Integrales de Funciones Racionales
B∂∇
♦ Integral de la forma:
R
x,
x + a
x + b
p 1
q 1
x + a
x + b
p 2
q 2
dx
Función racional donde a y b son constantes, p 1
, q 1
, p 2
, q 2
,... números ∈ Z. Hacer la sustitución por:
z
n
x + a
x + b
⇒ x =
a − bz
n
z
n − 1
d( )
−−−−→ dx =
(b − a)nz
n− 1
(z
n
− 1)
2
dz n : es el m.c.m. de q 1
, q 2
♦ Integral de la forma:
P
n
(x)
p
ax
2
dx
Donde P n
(x) es un polinomio de grado n. Para calcular esta integral se lleva a la forma:
P
n
(x)
p
ax
2
dx = Q n− 1
(x)
p
ax
2
p
ax
2
dx
Donde Q n− 1
(x) es un polinomio de grado “n − 1 ” con coeficientes indeterminados y λ ∈ R
Los coeficientes de Q n− 1
(x) y la constante λ se hallan derivando la identidad.
♦ De la forma:
(αx + β )
k
p
ax
2
dx
Para calcular esta integral se hace la sustitución:
αx + β =
t
♦ De la forma:
P (x)
Q(x)
p
ax
2
dx
Donde P (x) y Q(x) son polinomios, entonces para cal-
cular estas integrales se descompone la fracción racional
P (x)
Q(x)
en fracciones parciales y luego se llega a integrales
ya estudiadas anteriormente.
Integrales por sustituciones de Euler
‹
∞!
B∂∇
2
♦ Integral de la forma:
R
x,
p
ax
2
dx
Caso 1: Cuando ax
2
- bx + c tiene raíces complejas,
se hace la sustitución por:
p
ax
2
ax si a > 0
p
ax
2
c si a < 0 ∧ c > 0
Caso 2: Cuando las raíces ax
2
distintos, se aplica:
p
a(x − α)(x − β ) = ±(x − α)z = ±(x − β )z
Tabla de Integrales
B∂∇
x
n dx =
n + 1
x
n+ , n ̸= − 1
dx
x
= ln|x|
e
ax dx =
e
ax
a
b
ax dx =
b
ax
a ln b
sin(mx) dx = −
m
cos(mx)
cos(nx) dx =
n
sin(nx)
tg(kx) dx =
k
ln sec(kx)
ctg x dx = ln|sin x|
sec x dx = ln|sec x + tg x|
csc x dx = ln|csc x − ctg x| = ln tg
x
sec x tg x dx = sec x
csc x ctg x dx = − csc x
sin
2 x dx =
(− cos x sin x + x)
cos
2
x dx =
(sin x cos x + x)
sec
2 x dx = tg x
x
2
2
dx =
a
arctg
x
a
x
2 − a
2
dx =
2 a
ln
x − a
x + a
p
x
2 ± a
2
dx = ln x +
p
x
2 ± a
2
p
a
2 − x
2
dx = arcsin
x
a
|x| dx =
x|x|
1 + cos x
dx = tg
x
sin x
1 + cos x
ln x dx = x ln x − x
p
x
2 ± a
2 dx =
x
p
x
2 ± a
2 ±
a
2
ln x +
p
x
2 ± a
2
p
a
2 − x
2 dx =
x
p
a
2 − x
2
a
2
arcsin
x
a
e
ax sin(bx) dx =
e
ax
a
2
2
a sin(bx) − b cos(bx)
e
ax cos(bx) dx =
e
ax
a
2
2
a cos(bx) + b sin(bx)
arcsin
x
a
dx = x arcsin
x
a
p
a
2
− x
2
arccos
x
a
dx = x arccos
x
a
p
a
2 − x
2
arctg
x
a
dx = x arctg
x
a
a
ln
x
2
2
I
n
sin
n x dx =
n
h
− cos x sin
n− 1 x + (n − 1)I n− 2
i
I
n
cos
n
x dx =
n
h
sin x cos
n− 1
x + (n − 1)I n− 2
i
I
n
tg
n x dx =
n − 1
tg
n− 1 x − I n− 2
I
n
ctg
n x dx = −
n − 1
ctg
n− 1 x − I n− 2
I
n
sec
n
x dx =
n − 1
h
tg x sec
n− 2
x + (n − 2)I n− 2
i
I
n
csc
n x dx =
n − 1
h
− ctg x csc
n− 2 x + (n − 2)I n− 2
i
I
n
dx
a
2 ± x
2
n
2 a
2
(n − 1)
x
a
2 ± x
2
n− 1
