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FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector:
‖u‖=√u
1
2
+ u
2
2
+⋯+u
n
(^2) Vector unitario:
u
‖u‖
Producto punto o producto escalar:
u⋅v=∑
i= 1
n
u i
⋅v i
=u 1
v 1
+u 2
v 2
+⋯+u n
v n
Cosenos directores:
cos ( α )=
u 1
‖u‖
,cos ( β )=
u 2
‖u‖
,cos (γ )=
u 3
‖u‖
;
cos
2
( α )+cos
2
( β )+cos
2
( γ )= 1
Angulo entre dos vectores:
cos (θ )=
u⋅v
|u||v|
Componente de v a lo largo de u:
comp
u
v=
|u||v|
|u|
cos (θ )=
u⋅v
|u|
=|v|cos(θ )
Producto cruz o producto vectorial:
|u×v|=|u||v|sen(θ )
|u×v|
2
=|u|
2
|v|
2
−(u⋅v )
2
Área del paralelogramo generado por u y v:
A=|u×v|
Área del triángulo es la
mitad del área del
paralelogramo generado por
u y v
Producto cruz o producto vectorial:
u×v=|
i j k
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
=i(u
2
v
3
−v
2
u
3
)− j(u
1
v
3
−v
1
u
3
)+k (u
1
v
2
−v
1
u
2
) ¿
Triple producto escalar:
u⋅( v×w )=|
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:
V =|u⋅( v×w )|
Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo
generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta:
r=r
0
+tv
: donde v es el vector dirección,
r 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y t es un escalar.
Ecuaciones simétricas de la recta:
x−x 0
v 1
=
y− y 0
v 2
=
z−z 0
v 3
; con v 1
v 2
v 3
≠ 0
Ecuaciones paramétricas de la recta:
x=x
0
+tv
1
y= y
0
+tv
2
z=z
0
+tv
3
Ecuación vectorial del plano:
n⋅( r−r
0
donde n es el vector normal al
plano, r 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y r =(x,y,z).
Ecuación escalar del plano que pasa por P 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y tiene como vector
normal a
n =(a,b,c):
a( x−x
0
)+b ( y− y
0
)+c ( z−z
0
.
Ecuaciones paramétricas del plano:
x=x 0
+tv 1
y= y 0
+tv 2
z=z 0
+tv 3
+su 3
Distancia de un punto Q a un plano:
D=|comp
n
( PQ
→
|PQ
→
n|
|n|
|ax
0
+by
0
+cz
0
−d|
√a
2
+ b
2
+ c
2
Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por:
D=
|PQ
→
×u|
|u|
, donde P es un punto cualquiera de la recta.
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación:
x
_2
2 = [r(z)]
2 girando en torno al eje z
y
_2
2 = [r(x)]
2 girando en torno al eje x
x
_2
2 = [r(y)]
2 girando en torno al eje y
Superficies cuadráticas:
Ax
_2
_2
_2
- Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0_
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2
hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto,
paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.
DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales de orden superior:
Gradiente de z=f(x,y)
∇ f ( x , y )=(f
x
, f
y
. Gradiente de
w=f(x,y,z)
∇ f ( x , y , z )=( f
x
, f
y
, f
z
Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está
∂
2
∂ x
2
f ( x , y )=
∂
∂ x
∂ f
∂ x
=
∂
∂ x
f x
=f xx
;
∂
2
∂ y
2
f ( x , y )=
∂
∂ y
∂ f
∂ y
=
∂
∂ y
f y
=f yy
∂
2
∂ x ∂ y
f ( x , y )=
∂
∂ x
∂ f
∂ y
=
∂
∂ x
f y
=f yx
;
∂
2
∂ y ∂ x
f ( x , y )=
∂
∂ y
∂ f
∂ x
=
∂
∂ y
f x
=f xy
dado por:
∇ F ( x , y , z )=( F x
, F y
, F z
)
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario
u=(u 1
,u 2
) en el punto (x 0
,y 0
) está dada por:
D u
f ( x 0
, y 0
)=u⋅∇ f ( x 0
, y 0
)=
¿(u 1
,u 2
)⋅( f x
( x 0
, y 0
), f y
( x 0
, y 0
))
Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x 0 ,y 0 ) entonces:
Δz≃dz=f
x
( x
0
, y
0
)dx +f
y
(x
0
, y
0
)dy
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) está
dada por:
∇ F ( x 0
, y 0
, z 0
)⋅
x−x 0
, y− y 0
, z−z 0
= 0
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto
P=(x 0
,y 0
,z 0
) es:
(f x
( x 0
, y 0
), f y
( x 0
, y 0
),− 1 )⋅
x−x 0
, y− y 0
, z−z 0
= 0
La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) está
dada por:
x=x 0
( x 0
, y 0
, z 0
) t ; y= y 0
( x 0
, y 0
, z 0
) t ; z=z 0
( x 0
, y 0
, z 0
) t
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto
P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) es:
x=x 0
−f x
( x 0
, y 0
) t ; y = y 0
−f y
( x 0
, y 0
) t ; z=z 0
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:
dz=
∂ z
∂ x
dx+
∂ z
∂ y
dy
REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dz
dt
∂ z
∂ x
dx
dt
∂ z
∂ y
dy
dt
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=g 1 (s,t); y=g 2 (s,t), entonces:
∂ z
∂ s
=
∂ z
∂ x
∂ x
∂ s
∂ z
∂ y
∂ y
∂ s
;
∂ z
∂ t
=
∂ z
∂ x
∂ x
∂t
∂ z
∂ y
∂ y
∂t
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y),
entonces:
∂ z
∂ x
=−
F x
F z
=−
∂ F
∂ x
∂ F
∂ z
;
∂ z
∂ y
=−
F y
F z
=−
∂ F
∂ y
∂ F
∂ z
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x 0 ,y 0 )fyy(x 0 ,y 0 )- f
2
xy(x 0 ,y 0 ), donde (x 0 ,y 0 ) es un punto crítico de^ z=f(x,y),^ entonces:
_1. f(x 0 ,y 0 ) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x 0 ,y 0 )<
- f(x 0 ,y 0 ) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x 0 ,y 0 )>
- f(x 0 ,y 0 ) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<
- EL CRITERIO NO DECIDE SI D=_
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el sistema:
SEA H ( x , y , λ )=f ( x , y )+ λ (h( x , y )−c )
∂ H
∂ x
= 0 ;
∂ H
∂ y
= 0 ;
∂ H
∂ λ
= 0
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.
CILINDRICAS ( r , θ , z )
x=r cos (θ ) ; y=rsen ( θ ) ; z =z ; x
2
+ y
2
=r
2
; θ=¿ { tan
− 1
( y / x ) si x > 0 , y≥ 0
{ π +tan
− 1
( y / x ) si x< 0
ESFERICAS ( ρ ,θ , φ)
x=ρ sen (φ )cos ( θ ); y =ρ sen (φ) sen( θ ); z =ρ cos( φ ); ρ≥ 0 , 0 ≤θ≤ 2 π ; 0 ≤φ≤π
ρ=√x
2
2
2
; φ=cos
− 1
( z / ρ); θ=¿ { tan
− 1
( y /x ) si x > 0 , y≥ 0 ¿ { π +tan
− 1
( y / x ) si x < 0 ¿ ¿ ¿ ¿
¿
¿
CAMBIO DE VARIABLE
POLARES
∬
R
f (x,y )dxdy=
∬
Q
f ( rcos(θ ) ,rsen(θ )) r drd θ
CILINDRICAS :
∭
R
f ( x,y,z )dxdydz=
∭
Q
f ( rcos( θ),rsen(θ ),z ) r drd θ dz
ESFERICAS:
∭
S
f (x,y,z )dxdydz=
∭
Q
f ( ρ sen (φ)cos (θ), ρ sen (φ)sen (θ ), ρ cos (φ)) ρ
2
sen (φ)dρdφdθ
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS
SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:
1 .−F ES CONSERVATIVO. ESTO ES F=∇ f PARA ALGUNA f
C
F⋅dr ES INDEPENDIENTE DEL CAMINO
C
F⋅dr= 0 PARA TODA CURVA C CERRADA
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.
AREA DE LA SUPERFICE=
S
dS=
D
‖r u
×r v
‖dA
DONDE : r u
=
∂ x
∂u
^ i+
∂ y
∂ u
^ j+
∂ z
∂ u
^ k , r v
=
∂ x
∂ v
^ i +
∂ y
∂ v
^ j+
∂ z
∂ v
^ k
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, ENTONCES
∫
C
F⋅dr =
∫
C
∇ f⋅dr =f ( x( b ) , y ( b) )−f ( x (a), y (a ))
DONDE
f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:
F( x , y )=∇ f ( x , y )
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
divF ( x , y )=
∂ M
∂ x
∂ N
∂ y
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
divF ( x , y , z )=
∂ M
∂ x
∂ N
∂ y
∂ P
∂ z
TEOREMA DE GREEN
C
Mdx +Ndy=
R
(
∂ N
∂ x
−
∂ M
∂ y
)
dA
C
F⋅dr =∬
R
(
∂ N
∂ x
−
∂ M
∂ y
)
dA=∬
R
rot ( F )⋅
^ k dA
C
F⋅N ds=
R
div ( F ) dA
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS).
Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una
integral de superficie sobre la superficie de Q
∬
S
F⋅N dS=
∭
Q
div ( F )dV
INTEGRALES DE SUPERFICIE
z=g ( x , y )
ds= √
1 +
[
g x
( x , y )
]
2
[
g y
( x , y )
]
2
dA
S
f ( x , y , z )dS=
R
f ( x , y , g ( x , y ) ) √
1 +
[
g x
( x , y )
]
2
[
g y
( x , y )
]
2
dA Forma escalar
S
F⋅N dS=∬
R
F⋅[−g x
( x , y )
^ i−g y
( x , y )
^ j+
^ k (^) ] dA Forma vectorial (normal hacia arriba )
Forma paramétrica
S
f ( x , y , z )dS=∬
D
f ( x ( u , v ), y (u , v ), z ( u , v )) dS Forma escalar
S
F⋅N dS=∬
R
F⋅
[
r u
×r
v ]^
dA Forma vectorial
TEOREMA DE STOKES.
Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.
∫
C
F⋅dr =
∬
S
( rot ( F ))⋅ N dS
