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ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103.
© 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 1.
Formulario 1 MAT 103
Álgebra Lineal
Contenido:
- Teoría Matricial.
- Determinantes.
- Inversión de Matrices.
- Sistemas de Ec. Lineales 12 p. por: J. Jaime Apaza M.
1. Teoría Matricial.
1. Concepto. Matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas encerrados entre dos corchetes. Matemáticamente:
𝐴𝑚×𝑛 = [
𝑎 21 𝑎 22 ⋯^
]
Donde: A = nombre de la matriz. m×n = tamaño de la matriz. m = filas. n = columnas. aij = elemento genérico de la matriz y significa que está ubicado en fila “i” y la columna “j”.
2. Propiedades de las Matrices. 1. Propiedades de la Suma. 1. 𝐴𝑚×𝑛 + 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛 2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 3. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 Propiedades de la Matriz Cero. 1. 𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴 2. 𝜃 − 𝐴 = −𝐴 3. 𝐴 + (−𝐴) = 𝐴 − 𝐴 = 𝜃 4. 𝐴𝜃 = 𝜃 ; 𝜃𝐴 = 𝜃 Donde: 𝜃 = matriz cero (nulo). (−𝐴) = inverso aditivo. 2. Propiedades del Producto. 1. 𝐴𝒎×𝑛 × 𝐵𝑝×𝒒 = 𝐶𝒎×𝒒 Donde: 𝑛 = 𝑝 2. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 3. (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 4. 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 5. 𝐴𝐼 = 𝐴 ; 𝐼 = matriz indentidad. 6. 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 en el producto. 7. 𝑘 ∙ 𝐴𝑚×𝑛 = [𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗] 𝑘 [𝑎^ 𝑏 𝑐 𝑑
] = [𝑘𝑎^ 𝑘𝑏
] 𝑘 = escalar.
- 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
- 𝑘 1 (𝑘 2 𝐴) = (𝑘 1 𝑘 2 )𝐴
- (𝐴 + 𝐵)^2 ≠ 𝐴^2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵^2 ya que el producto no es conmutativo.
- No cumple la propiedad cancelativa: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶?? 3. Propiedades de la Potencia.
- 𝐴^0 = 𝐼
- 𝐴𝑛^ = 𝐴𝐴𝐴 ⋯ 𝐴⏟ 𝑛 factores
3. 𝐴𝑟𝐴𝑠^ = 𝐴𝑟+𝑠
4. (𝐴𝑟)𝑠^ = 𝐴𝑟𝑠
4. Matriz Polinomial. 𝑃(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥^2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 Si 𝐴 = matriz, entonces se define: 𝑃(𝐴) = 𝑎 0 𝐼 + 𝑎 1 𝐴 + 𝑎 2 𝐴^2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝐴𝑛 **3. Tipos de Matrices.
- Matriz Cuadrada.** Si el número de filas es igual al número de columnas. 𝐴𝑛×𝑛 = 𝐴𝑛 = [𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝐼𝑅𝑛 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 2. Matriz Nula. Si todos los elementos 𝑎𝑖𝑗 son cero:
𝐴𝑚×𝑛 = 𝜃 = [𝑎𝑖𝑗 = 0] = [
]
3. Matriz Identidad. La matriz identidad siempre es cuadrada.
𝐼𝑛×𝑛 = [
] 𝐼𝑛×𝑛 = {
4. Matriz Fila. Es una matriz que consta de una única fila. 𝐴1×𝑛 = [𝑎1𝑗] ∈ 𝐼𝑅1×𝑛 𝐴1×𝑛 = [𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 …^ 𝑎1𝑛] ∈ 𝐼𝑅1×𝑛 5. Matriz Columna. Matriz que tiene una única columna.
𝐴𝑚×1 = [𝑎𝑖1] ∈ 𝐼𝑅𝑚×1^ 𝐴𝑚×1 = [
]
6. Matriz Traspuesta. Si 𝐴𝑚×𝑛 entonces 𝐴𝑡^ = 𝐴𝑛×𝑚 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] → 𝐴𝑡^ = [𝑎𝑗𝑖 ]
𝐴 = [𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ] → 𝐴𝑡^ = [
]
Propiedades:
- (𝐴𝑡^ )𝑡^ = 𝐴
- (𝐴 + 𝐵)𝑡^ = 𝐴𝑡^ + 𝐵𝑡
- (𝐴𝐵)𝑡^ = 𝐴𝑡𝐵𝑡
- (𝑘𝐴)𝑡^ = 𝑘𝐴𝑡 7. Matriz Triangular ( ó Escalonada) Si 𝐴𝐵 = 𝜃 → [^01 20 ] [^02 10 ] = [^00 00 ] No implica que 𝐴 = 𝜃; 𝐵 = 𝜃 es decir 𝐴, 𝐵 no necesariamente tiene que ser cero. 8. Matriz Triangular Superior ( U pper). Matriz cuadrada cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos.
𝐴𝑛×𝑛 = {
𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 > 𝑗 [
]
9. Matriz Triangular Inferior ( L ower). Es una matriz cuadrada cuyos elementos
𝐴𝑛×𝑛 = {
𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 > 𝑗 [
]
10. Matriz Diagonal. Es una matriz que al mismo tiempo es triangular superior e inferior y es cuadrada.
𝐷𝑛×𝑛 = [
0 𝑑 2 ⋯^
0 0 ⋯^ 𝑑𝑛
]
𝐷𝑛×𝑛𝑘^ = 𝐷𝑘^ =
[
𝑑 1 𝑘^0
0 𝑑 2 𝑘^
0 0 ⋯^ 𝑑𝑛𝑘]
𝐷𝑛×𝑛 = [
] 𝐷 = {
Matriz Diagonal Inversa:
𝐷𝑛×𝑛−1^ = 𝐷−1^ = [
0 1/𝑑 2 ⋯^
]
11. Matriz Conjugado. 𝐴 = [𝑖^ 1 − 𝑖 3 1 − 2𝑖
] 𝐴 = [−𝑖 3 1 + 2𝑖1 + 𝑖]
Propiedades:
- 𝐴 = 𝐴
- 𝐴
𝑡 = 𝐴𝑡
- 𝑘 ∙ 𝐵 = 𝑘 ∙ 𝐵
4. Matrices Especiales: 1. Matriz Simétrica. Es Simétrica si solo si 𝑨 = 𝑨𝒕^ y es una matriz cuadrada 𝐴𝑛×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗] 2. Matriz Antisimétrica. También llamado Hemisimétrica. Es Antisimétrica si solo si 𝑨𝒕^ = −𝑨 y es una matriz cuadrada 𝐴𝑛×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]
𝐴 = [
]
3. Matriz Normal. Es normal si conmuta con su transpuesta, esto es si: 𝑨 ∙ 𝑨𝒕^ = 𝑨𝒕^ ∙ 𝑨 4. Matriz Singular. Es Singular si: 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑛×𝑛) = 0 5. Matriz Regular. Es Regular si: 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑛×𝑛) ≠ 0 y si su rango 𝜌(𝐴𝑛×𝑛) = 𝑛 6. Matriz Periódica. Es periódica si 𝑨𝒌+𝟏^ = 𝑨. Si 𝑘 ∈ 𝑍+^ que satisface la condición 𝐴𝑘^ = 𝐼 se dice que A es una matriz de periodo k donde: 𝐴𝑘+1^ = 𝐴, 𝐴𝑘+2^ = 𝐴^2 , 𝐴𝑘+3^ = 𝐴^3 , … 7. Matriz Idempotente. Si: 𝐴𝑛×𝑛 Es Idempotente si cumple: 𝐴^2 = 𝐴𝐴 = 𝐴 , 𝐴^3 = 𝐴 , … 𝐴𝑘^ = 𝐴
𝐴 = [
] → 𝐴^7 = 𝐴
8. Matriz Nilpotente. (ó Nulpotente) Si 𝐴 = 𝐴𝑘−1^ entonces 𝐴𝑘^ = 𝐴^2 = 𝜃 Otra forma: Si 𝑘 ≥ 2 ∈ 𝑍+^ que satisface la condición 𝐴𝑘^ = 𝜃 donde 𝑘 = índice 𝐴2×2 = [^2 − 4 −
]
𝐴𝑘+1^ = 𝜃, 𝐴𝑘+2^ = 𝜃, … 𝐴𝑛^ = 𝜃
9. Matriz Involutiva. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 y 𝑘 = 2 Es Involutiva si cumple las dos condiciones: 1) 𝐴𝑘^ = 𝐴 si 𝑘 es Impar. 2) 𝐴𝑘^ = 𝐼 si 𝑘 es Par.
𝐴 2 = [−1 0 01 ] 𝐴 2 = [
]
10. Matriz Ortogonal. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 Es Ortogonal si cumple: 𝑨 ∙ 𝑨𝒕^ = 𝑨𝒕^ ∙ 𝑨 = 𝑰 Es decir: 𝑨−𝟏^ = 𝑨𝒕 [cos 𝑥sin 𝑥^ −cos 𝑥sin 𝑥 ] [ −cos 𝑥sin 𝑥^ cos 𝑥sin 𝑥] = [^10 01 ] Recuerda que: sin^2 𝑥 + cos^2 𝑥 = 1
Formulario
Álgebra lineal
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ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103.
© 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 2.
11. Matriz Hermética. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 Es Hermética si 𝐴𝑛×𝑛 ∈ ₵ complejos. 𝐴𝑛×𝑛 = ( 𝐴 )
𝑡
𝐴3×3 = [
]
Matriz Hermitania.
𝐴3×3 = [
]
12. Matriz Hemihermética. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 Es Hemihermética si 𝐴𝑛×𝑛 ∈ ₵ complejos. 𝐴𝑛×𝑛 = −𝐴̅̅̅𝑡
𝐴3×3 = [
]
5. Operaciones y Matrices Elementales. 1. Operaciones Elementales. 1. 𝑘𝑓𝑖 → 𝑓𝑖 𝑘𝐶𝑗 → 𝐶𝑗 múltiplo. 2. 𝑓𝜌 ↔ 𝑓𝑖 𝐶𝜌 ↔ 𝐶𝑗 intercambiar. 3. 𝑘𝑓𝜌 + 𝑓𝑖 → 𝑓𝑖 𝑘𝐶𝜌 + 𝐶𝑗 → 𝐶𝑗 Suma de la fila o columna con el múltiplo escalar de otra fila o columna. 2. Matriz Elemental. Sea: 𝐴 = [
𝑎 21 𝑎 22 ]^ [
𝑎 21 𝑎 22 ]
𝑘𝑓𝜌+𝑓𝑖→𝑓𝑖
𝑘𝑓𝜌+𝑓𝑖→𝑓𝑖
𝑘𝑓𝜌+𝑓𝑖→𝑓𝑖
3. Matriz Elemental. 𝐴𝑚×𝑛 ≡ 𝐵𝑚×𝑛 si cumple: 𝐸𝑛 ⋯ 𝐸 2 𝐸 1 𝐴 = 𝐵 𝐴 𝐸⏟ 1 𝐸 2 ⋯ 𝐸𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑠𝑜
6. Factorización L U = A : Toda matriz 𝐴𝑛×𝑛 puede escribirse como el producto de: 𝐿 ∙ 𝑈 = 𝐴 𝑈 = una Matriz Triangular Superior (Upper 𝐿 = una Matriz Triangular Inferior (Lower). 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈 1. Método de Tanteo para L U: Ejemplo 1: Para U : Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper):
𝐴 = [ −3^2 −4^5 ] 3 2 𝑓^1 +𝑓^2 →𝑓^2
→ 𝑈 = [
]
para que 𝑎 21 sea 0: 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 =
Para L : El factor que hace que se vuelva cero es (^32) Trasladamos el factor −
3 2 cambiado^ de signo a la posición 𝑎 21 :
𝐿 = [
3 2 1
] Finalmente: 𝐴 = 𝐿𝑈
Ejemplo 2: Para U : Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper):
𝐴 = [
]
1𝑓 1 +𝑓 2 →𝑓 2 −3𝑓 1 +𝑓 3 →𝑓 3
→ [
]
−^23 𝑓 2 +𝑓 3 →𝑓 3 para que 𝑎 21 sea 0: 3𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 1 para que 𝑎 31 sea 0: 3𝑥 + 9 = 0 𝑥 = − para que 𝑎 32 sea 0: − 3𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −
[
] → 𝑈 = [
]
- Para L : El factor que hace que se vuelva cero es 1. Trasladamos el factor −1 cambiado de signo, a la posición 𝑎 21.
- El factor que hace que se vuelva cero es −3. Trasladamos el factor 3 cambiado de signo, a la posición 𝑎 31.
- El factor que hace que se vuelva cero es − 23. Trasladamos el factor 23 cambiado de signo, a la posición 𝑎 32.
𝐿 = [
2 3 1
] Finalmente: 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈
2. Método de Ecuaciones para L U: Ej.: La matriz 𝐴𝑛×𝑛 se puede descomponer
[
] = 𝐴 Si: 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈
𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈 = [
] [
]
Igualando componentes de la matriz A y el producto de 𝐿 ∙ 𝑈. Se tiene las ecuaciones: 𝑎 11 = 𝑈 11 𝑎 12 = 𝑈 12 𝑎 21 = 𝐿 21 𝑈 11
Método L U para resolver Sis. Ec. Lineales: Si: [𝐴]{𝑥} = {𝑓}^ → [𝐿] [𝑈]{𝑥}⏟ {𝑧}
{𝑧} = matriz columna 𝑛 × 1 (vector) {𝑧} = [𝑈]{𝑥} → [𝐿]{𝑧} = {𝑓}
3. Método Operaciones Elementales: Ejemplo 1: Para U : Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper), con operaciones elementales: [𝐴] 2𝑓 1 +𝑓 1 →𝑓 1
= [𝐴 1 ] → 𝐸 1 −1^ = [ 𝐼 ]
−2𝑓 1 +𝑓 2 →𝑓 2 Ojo!! −2𝑓 1 + 𝑓 2 → 𝑓 2 = 𝑓 2 − 2𝑓 1 → 𝑓 2 [𝐴 1 ] −2𝑓 2 +𝑓 3 →𝑓 3
= [𝐴 2 ] → 𝐸 2 −1^ = [ 𝐼 ]
2𝑓 2 +𝑓 3 →𝑓 3 [𝐴 2 ] −^12 𝑓 2 +𝑓 3 →𝑓 3
= [𝐴 3 ]^ → 𝐸 3 −1^ = [ 𝐼 ]
1 2 𝑓^2 +𝑓^3 →𝑓^3 [𝐴 3 ] 1 2 𝑓^3 →𝑓^3
= [𝐴 4 ]^ → 𝐸 4 −1^ = [ 𝐼 ]
2𝑓 3 →𝑓 3 [𝐴 4 ] −^12 𝑓 3 →𝑓 3
= [𝐴 5 ]^ → 𝐸 5 −1^ = [ 𝐼 ]
−2𝑓 3 →𝑓 3
𝑈 = [𝐴 5 ] = [
] = Trian. Sup.
𝑬𝒏 … 𝑬𝟑𝑬𝟐𝑬𝟏𝑨 = 𝑼 𝐴 = 𝐸 ⏟ 1 −1𝐸 2 −1^ … 𝐸𝑛− 𝐿
Luego 𝐴 = 𝐿 𝑈
7. Factorización P A Q = B : Si queremos expresar A en forma 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵 con A y B como datos: 1. Para la forma: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵
(𝐴|𝐼𝐴) → (𝐵 1 |𝑃) → (
2. Partiendo de A llevaremos a B, haciendo op. elem.: 𝐹⏟𝑛 … 𝐹 2 𝐹 1 𝑃
𝑄
8. Factorización L D U = A : Si queremos expresar A en forma 𝐿𝐷𝑈 = 𝐴 con A y D como datos: 1. Para la forma: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐷 (𝐴|𝐼𝐴) → (𝐵 1 |𝑃) → (
2. Partiendo de A llevaremos a D, haciendo op. elem.: 𝐹⏟𝑛 … 𝐹 2 𝐹 1 𝑃
𝑄
3. Finalmente: 𝐹 ⏟ 1 −1𝐹 2 −1^ … 𝐹𝑛− 𝐿
𝐷 𝐶 ⏟𝑛−1^ … 𝐶 2 −1𝐶 1 −
𝑈
9. Características de una Matriz. 1. Diagonal Principal. Se denomina a los elementos 𝑎𝑖𝑗 tal que 𝑖 = 𝑗 y solo existe en matrices cuadradas. (otro diagonal secundario). 𝐴𝑚×𝑚 = [𝑑^1 0 𝑑 2
]
2. Traza de una Matriz Es la suma de todos los elementos de la diagonal principal, y solo existe en matrices cuadradas. 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎 11 + 𝑎 22 + 𝑎 33 + ⋯ + 𝑎𝑚×𝑚
𝑡𝑟(𝐴) = ∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖=𝑗=
si: 𝑖 = 𝑗
Propiedades:
- 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵)
- 𝑡𝑟(𝐴 + ⋯ + 𝑍) = 𝑡𝑟(𝑍 + ⋯ + 𝐴)
- 𝑡𝑟(𝐴𝑡) = 𝑡𝑟(𝐴)
- 𝑡𝑟(𝑘𝐴) = 𝑘 𝑡𝑟(𝐴)
- 𝑡𝑟(𝐴−1) = 𝑎 11 −1^ + 𝑎 22 −1^ + ⋯ 𝑎𝑛𝑛− 3. Rango de una Matriz. El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas luego de realizar un número finito de operaciones elementales. Escalonar. 𝜌(𝐴) = Rango de 𝐴𝑚×𝑛 = Nº filas no nulas 𝜌(𝐴) = 𝑛° de vectores. ∴ los vectores son Lin. Indep.
- Rango por Gauss:
[
]
3 × 3 = rango max
[
]
3 × 3 = rango max Ejemplo 1:
𝐴 = [
]
6𝑓 2 +7𝑓 3 →𝑓 3
→ [
]
∴ 𝜌(𝐴) = 3 ; 3vectores L. I.
- Rango por Determinantes: Si: |𝐴| ≠ 0 → 𝜌(𝐴) = 3. Vectores L.I. Si: |𝐴| = 0 → 𝜌(𝐴) = 2 ó 1. Ejemplos:
|𝐴| = |
| = 9 ∴ 3 Vectores 𝐿. 𝐼.
| = 0 ∴ 𝜌(𝐴) = 2 ó 1.
|𝐴| = |^1 2 −
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ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103.
© 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 4.
|𝐵| = |−1^4
| + 2 |^0 −
Finalmente: |𝐴| = 2|𝐵| |𝐴| = 2(−6) |𝐴| = −
1ra Propiedad: si la matriz es simétrica con elementos únicos (una sola variable respecto a la diagonal principal). Para reducir el determinante, sumamos todas las (filas o columnas) a la primera. 2da Propiedad: si la matriz tiene elementos simétricos opuestos respecto a la diagonal principal, su |𝑨| = |𝑨𝒕| → |𝐴||𝐴𝑡| = |𝐴𝐴𝑡| |𝐴||𝐴| = |𝐴𝐴𝑡| → |𝐴| = √|𝐴𝐴𝑡| esto lo realizamos para que al multiplicar solo genere la diagonal principal, ya que son opuestos, los demás elementos se anula.
3. Inversión de Matrices.
1. Generalidades. 1. Concepto de la Matriz Inversa. Sea A y B matrices cuadradas de orden “n” tal que 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐼 en estas condiciones se dice que B es la matriz inversa de A o sea 𝐵 = 𝐴−1^ y 𝐴𝐴−1^ = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 2. Condiciones para Invertir: 1. Tiene que ser cuadrada 𝐴𝒏×𝒏 2. 𝐴𝒏×𝒏 debe ser No Singular , es decir el determinante de 𝐴 ≠ 0 3. Inversa de una Matriz 2 × 2 𝐴 = [
𝑎 21 𝑎 22 ]^ 𝐴
[
−𝑎 21 𝑎 11 ]
2. Propiedades de la Inversa. 1. 𝐴𝐴−1^ = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 2. (𝐴−1)−1^ = 𝐴 3. (𝐴𝐵)−1^ = 𝐵−1𝐴− 4. |𝐴−1| = |𝐴|−1^ 1ro |𝐴| luego |𝐴|− 5. (𝑘𝐴)−1^ = (^1) 𝑘 𝐴− 6. 𝐴−𝑛^ = (𝐴−1)𝑛^ = 𝐴 ⏟−1𝐴−1^ ⋯ 𝐴− 𝑛 factores (𝐴𝑛)−1^ = (𝐴−1)𝑛^ 1ro 𝐴−1^ (𝑛 ≥ 0) 7. (𝐴−1^ )𝑡^ = (𝐴𝑡^ )− 8. (𝐴−1^ )𝑡𝐴𝑡^ = (𝐴𝐴−1^ )𝑡^ = 𝐼𝑡^ = 𝐼 3. Inversión por Gauss – Jordán. También llamado método de las operaciones elementales. [𝐴] → [ 𝐴 | 𝐼 ] 𝑘𝑓𝑖+𝑓𝑗→𝑓𝑛𝑗Op.Elem.
→ [ 𝐼 | 𝐴−1^ ]
4. Inversión por Fadevva.
𝐴 1 = 𝐴𝑛 𝑎 1 =
Hasta: 𝐵𝑛 = 0 = 𝐴𝑛 − 𝑎𝑛𝐼 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛𝐼 (1) Pero: 𝐴𝑛 = 𝐴𝐵𝑛−1 (2) (1) en (2) 𝑎𝑛𝐼 = 𝐴 ∙ 𝐵𝑛−1 // 𝐴−
𝐴−1^ =
5. Inversión por Cofactores ( ó adjunta)
𝐴−1^ =
𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡
1. Matriz de Cofactores.
Sea la Matriz: 𝐴 = [
]
La matriz de cofactores es:
𝑐𝑜𝑓(𝐴) = [
] |𝐴 11 | = |𝑒^ 𝑓
𝑐 13 = (−1)1+3|𝐴 13 |^ 𝑐 21 = (−1)2+1|𝐴 21 |
[
+ |𝑒^ 𝑓
| − |𝑑𝑔^ 𝑓𝑖 | + |𝑑𝑔^ ℎ𝑒|
− |𝑏^ 𝑐
𝑔 𝑖|^ − |
𝑒 𝑓|^ − |
𝑑 𝑓|^ + |
|]
𝐴−1^ =
|𝐴| 𝑎𝑑𝑗(𝐴) =^
[ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡
2. Inversión por Adjunta de una Matriz. Sea 𝐴𝑛×𝑛 una matriz de 𝑐𝑜𝑓(𝐴), se defina la adjunta de la matriz 𝐴𝑛×𝑛 como: 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡^ = 𝑐𝑜𝑓(𝐴𝑡^ ) Deducción: Si: |𝐴| ∙ 𝐼 = 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) (1) Si pre multiplicamos por 𝐴−1^ a (1): 𝐴−1|𝐴| ∙ 𝐼 = 𝐴−1^ ∙ 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴)
𝐴−1^ =
𝐴−1^ =
𝐴−1^ =
[ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡
3. Propiedades de la Adjunta: 1. 𝑎𝑑𝑗(𝐼𝑛) = 𝐼𝑛 2. 𝑎𝑑𝑗(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑎𝑑𝑗(𝐵) ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) 3. 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛) = [ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ]𝑛 4. 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑡) = [ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ]𝑡 5. 𝒂𝒅𝒋(𝑨−𝟏) = [ 𝒂𝒅𝒋(𝑨) ]−𝟏 6. 𝑎𝑑𝑗(𝐴−1) = (^) |𝐴|𝐴 ; 𝐴−1^ = (^) |𝐴|^1 𝑎𝑑𝑗(𝐴) 7. 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ∙ 𝐴 = |𝐴| ∙ 𝐼𝑛
10. 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛)] = |𝐴𝑛|𝑛−2𝐴𝑛
11. 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐴)] = |𝑎𝑑𝑗(𝐴)|[ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ]−
12. 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐴2×2)] = 𝐴2×
𝟐
𝑛 = orden de la matriz.
- Si: 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛) = [𝑎𝑐^ 𝑑𝑏] se cumple: |𝐴𝑛|^2 = |𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛)|
- 𝐴𝑛 = |𝐴𝑛| ∙ [𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛)]−
- |𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛)| = |𝐴𝑛−1|𝑛
- ||𝐴|| = |𝐴|𝑛
4. Sistema de Ec. Lineales.
1. Concepto. Es un conjunto de 𝑛 ecuaciones, con 𝑛 incognitas. Las ecuaciones deben ser lineales es decir de primer grado. Y puede ser representado por la forma Matricial: 𝐴𝑋 = 𝐵. 2. Soluciones a Sistema de Ec. Lineales
C O N S I S T E N T E
Determinado: Única Solución.
Ec. = # Incognits
Si 𝐴𝑋 = 𝐵 |𝐴| ≠ 0
𝝆(𝑨|𝑩) = 𝝆(𝑨) = Nº incógnitas Indeterminado: Infinitas Solucions (varias o múltiples). Sol Paramétrik B=
Ec. < # Incognits
𝝆(𝑨|𝑩) ≤ 𝝆(𝑨) < Nº incógnitas
INCONSISTENTES: No existe Solución.
Ec. < # Incognits B≠ 0
𝝆(𝑨|𝑩) ≠ 𝝆(𝑨)
Ec. > # Incog. ÚnicaSol. ∞Sol. No tieneSol
Sist. No Homogéneos: 𝐴𝑋 = 𝐵 ; 𝐵 ≠ 𝜃. Sist Equivalentes: # Ec. = # Incognits = Sol
3. Métodos de Solución a sist. Lineales: 1. Solución por la Inversa. Solo sirve para sistemas: Cuadrados , que tienen única solución 𝐴𝑛×𝑛𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑛×1. # Ec. = # Incognitas. El |𝐴| ≠ 0. 𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝐴−1𝐴𝑋 = 𝐴−1𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1𝐵 𝐴−1^ =
2. Solución por Gauss – Jordán. Aplicable a sist. tipo: 𝐴𝑚×𝑛𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑚× # Ec. < # Incognitas Matriz aumentada: [ 𝐴 | 𝐵 ] → [ 𝐴 1 | 𝐵 1 ] Escalonar la matriz aumentada al máximo, por Op. Elem. preferentemente en Filas. 3. Solución por el método de Cramer: Solo sirve para sistemas: Cuadrados , que tienen única solución 𝐴𝑛×𝑛𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑛×1. # Ec. = # Incognitas. El |𝐴| ≠ 0. Algoritmo de Cramer: Si: 𝐴𝑛×𝑛 = [𝐶 1 |𝐶 2 |𝐶 3 | … |𝐶𝑛] Si: 𝐵. 𝐴 1 = [𝐵|𝐶 2 |𝐶 3 | … |𝐶𝑛] 𝐴 2 = [𝐶 1 |𝐵|𝐶 3 | … |𝐶𝑛] 𝐴 3 = [𝐶 1 |𝐶 2 |𝐵| … |𝐶𝑛] ⋮ 𝐴𝑛 = [𝐶 1 |𝐶 2 |𝐶 3 | … |𝐵]
4. Sistemas Lineales Homogéneos. Es cuando el vector columna de los términos independientes 𝐵 es nula. 𝐴𝑋 = 0 ; 𝐵 = 0. Un sistema homogéneo siempre tiene soluciones o siempre es consistente.
- Única Sol.: 𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑥 3 = ⋯ = 0 Trivial.
- Infinitas Sol.: incluye solución Trivial.
- Homogéneo Cuadrado: |𝐴| = 0 infinitas Sol. |𝐴| ≠ 0 sol Trivial 𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑥 3 = ⋯ = 0
- Homogéneo No Cuadrado:
Ec. < # Incognits → Infinitas sol.
Ec. > # Incognits → Única sol. Infinitas sol.
