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Orientación Universidad
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Fisica para estudiantes de ing. Civil, Esquemas y mapas conceptuales de Física

Compendio a trabajar en clases de hoy.

Tipo: Esquemas y mapas conceptuales

2020/2021

Subido el 22/02/2023

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xiomara-huaman-1 🇵🇪

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UNIVERSIDAD NACIONAL
INTERCULTURAL DE QUILLABAMBA
LECCIÓN 11
MÉTODO DE VARIACIÓN
PARAMÉTRICA
CURSO : CÁLCULO III
DOCENTE : Dr. ENRIQUE MAMANI M.
SEMESTRE : 2022-I
QUILLABAMBA-PERÚ
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¡Descarga Fisica para estudiantes de ing. Civil y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Física solo en Docsity!

UNIVERSIDAD NACIONAL

INTERCULTURAL DE QUILLABAMBA

LECCIÓN 11

MÉTODO DE VARIACIÓN

PARAMÉTRICA

CURSO : CÁLCULO III

DOCENTE : Dr. ENRIQUE MAMANI M.

SEMESTRE : 2022 - I

QUILLABAMBA-PERÚ

MÉTODO DE VARIACIÓN PARAMETRICA

Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes es

de la forma:

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛− 1

𝑛− 1

𝑛− 1

1

0

Para resolver esta ecuación diferencial lineal no homogénea, se va utilizar el

método de variación paramétrica cuyos pasos son los siguientes:

a. El conjunto solución de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:

𝐶

𝑃

b. La solución de 𝑌

𝐶

se obtiene de igual forma que se resuelve una ecuación

diferencial lineal homogénea.

c. La solución de 𝑌

𝑃

es la solución particular de la ecuación diferencial lineal

no homogénea y es de la forma:

𝑃

1

1

2

2

𝑛

𝑛

Tal que 𝑦

1

2

𝑛

𝐶

d. Se forma un sistema de ecuaciones de la forma siguiente:

1

𝐼

1

2

𝐼

2

𝑛

𝐼

𝑛

1

𝐼

1

𝐼

2

𝐼

2

𝐼

𝑛

𝐼

𝑛

𝐼

1

𝐼

1

𝑛− 1

2

𝐼

2

𝑛− 1

𝑛

𝐼

𝑛

𝑛− 1

e. Se halla 𝑢

1

𝐼

2

𝐼

𝑛

𝐼

del sistema de ecuaciones y posteriormente

mediante un proceso de integración se halla 𝑢

1

2

𝑛

f. Finalmente se sustituye los valores obtenidos en 𝑦 = 𝑌

𝐶

𝑃

1

𝐼

1

𝐼

1

2

𝐼

2

𝐼

2

= − ln

𝑷

= 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)

La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:

RESPUESTA:𝑦 = 𝑐

1

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑑

2

𝑦

𝑑𝑥

2

2

SOLUCIÓN

Hallaremos la solución complementaria de la ecuación diferencial lineal que

es igual que resolver una ecuación diferencial homogénea, para ello

𝑑

2

𝑦

𝑑𝑥

2

Escribimos el polinomio característico de la ecuación diferencial que es la

expresión siguiente:

2

Resolviendo este polinomio característico, hallamos sus raíces:

Que pertenece al caso 3, entonces la solución complementaria de la ecuación

diferencial homogénea de segundo orden es:

𝐂

1

2

La solución particular de la ecuación diferencial es:

𝑷

1

2

𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 tal que

1

𝐼

2

𝐼

1

𝐼

2

𝐼

2

1

𝐼

2

2

1

𝐼

2

1

= 4 ln(𝑐𝑜𝑠𝑥)

2

𝐼

2

2

2

𝐼

2

2

𝑷

= 4 ln

La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:

RESPUESTA:

1

2

𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 4 ln

2

𝐼

2

2

𝐼

2

2

𝑷

= −𝑐𝑜𝑠𝑥ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥

La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:

RESPUESTA:

1

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥

2

2

SOLUCIÓN

Hallaremos la solución complementaria de la ecuación diferencial lineal que

es igual que resolver una ecuación diferencial homogénea, para ello

𝑑

2

𝑦

𝑑𝑥

2

Escribimos el polinomio característico de la ecuación diferencial que es la

expresión siguiente:

2

Resolviendo este polinomio característico, hallamos sus raíces:

Que pertenece al caso 3, entonces la solución complementaria de la ecuación

diferencial homogénea de segundo orden es:

𝐂

1

2

La solución particular de la ecuación diferencial es:

𝑷

1

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 tal que

1

𝐼

2

𝐼

1

𝐼

2

𝐼

1

𝐼

1

𝐼

1

= ln

2

𝐼

2

𝐼

2

𝑷

ln

= 𝑐𝑜𝑠𝑥. ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)

La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:

RESPUESTA:

1

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥. ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)