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Compendio a trabajar en clases de hoy.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
1 / 8
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Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes es
de la forma:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛− 1
1
0
Para resolver esta ecuación diferencial lineal no homogénea, se va utilizar el
método de variación paramétrica cuyos pasos son los siguientes:
a. El conjunto solución de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:
𝐶
𝑃
b. La solución de 𝑌
𝐶
se obtiene de igual forma que se resuelve una ecuación
diferencial lineal homogénea.
c. La solución de 𝑌
𝑃
es la solución particular de la ecuación diferencial lineal
no homogénea y es de la forma:
𝑃
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Tal que 𝑦
1
2
𝑛
𝐶
d. Se forma un sistema de ecuaciones de la forma siguiente:
1
𝐼
1
2
𝐼
2
𝑛
𝐼
𝑛
1
𝐼
1
𝐼
2
𝐼
2
𝐼
𝑛
𝐼
𝑛
𝐼
1
𝐼
1
𝑛− 1
2
𝐼
2
𝑛− 1
𝑛
𝐼
𝑛
𝑛− 1
e. Se halla 𝑢
1
𝐼
2
𝐼
𝑛
𝐼
del sistema de ecuaciones y posteriormente
mediante un proceso de integración se halla 𝑢
1
2
𝑛
f. Finalmente se sustituye los valores obtenidos en 𝑦 = 𝑌
𝐶
𝑃
1
𝐼
1
𝐼
1
2
𝐼
2
𝐼
2
= − ln
𝑷
= 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)
La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑑
2
𝑦
𝑑𝑥
2
2
Hallaremos la solución complementaria de la ecuación diferencial lineal que
es igual que resolver una ecuación diferencial homogénea, para ello
𝑑
2
𝑦
𝑑𝑥
2
Escribimos el polinomio característico de la ecuación diferencial que es la
expresión siguiente:
2
Resolviendo este polinomio característico, hallamos sus raíces:
Que pertenece al caso 3, entonces la solución complementaria de la ecuación
diferencial homogénea de segundo orden es:
𝐂
1
2
La solución particular de la ecuación diferencial es:
𝑷
1
2
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 tal que
1
𝐼
2
𝐼
1
𝐼
2
𝐼
2
1
𝐼
2
2
1
𝐼
2
1
= 4 ln(𝑐𝑜𝑠𝑥)
2
𝐼
2
2
2
𝐼
2
2
𝑷
= 4 ln
La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:
1
2
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 4 ln
2
𝐼
2
2
𝐼
2
2
𝑷
= −𝑐𝑜𝑠𝑥ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥
La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥
2
2
Hallaremos la solución complementaria de la ecuación diferencial lineal que
es igual que resolver una ecuación diferencial homogénea, para ello
𝑑
2
𝑦
𝑑𝑥
2
Escribimos el polinomio característico de la ecuación diferencial que es la
expresión siguiente:
2
Resolviendo este polinomio característico, hallamos sus raíces:
Que pertenece al caso 3, entonces la solución complementaria de la ecuación
diferencial homogénea de segundo orden es:
𝐂
1
2
La solución particular de la ecuación diferencial es:
𝑷
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 tal que
1
𝐼
2
𝐼
1
𝐼
2
𝐼
1
𝐼
1
𝐼
1
= ln
2
𝐼
2
𝐼
2
𝑷
ln
= 𝑐𝑜𝑠𝑥. ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)
La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥. ln(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)