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MOVIMIENTO ARMONICO
AMORTIGUADO
Jefferson Aparicio Mejia
1 , Omar Contreras Arias
2 , Alvaro Montes Sotelo
3.
Universidad Pedagógica Y Tecnológica De Colombia Facultad De Ciencias De Educación
Lic. Ciencias Naturales Y Educación Ambiental Docente de la asignatura: Camilo Suarez ,
Fenómenos ondulatorios y electromagnetismo.
1.1. INTRODUCCIÓN
Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son
disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del
sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza
externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no
oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este
regreso depende de la magnitud del amortiguamiento. Cuando el amortiguamiento no supera
este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al
movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el
tiempo.
La característica esencial de la oscilación amortiguada es la disminución exponencialmente
de la amplitud de la oscilación con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también
disminuye. La amplitud de un cuerpo que oscila tal como un resorte o péndulo puede
mantenerse indefinida si no recibe una fuerza que se oponga a su movimiento, de ser así
tendrá una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene y se convierte en una
oscilación amortiguada producto de la disipación de energía. La amplitud de las oscilaciones
no es constante, decrece a medida que el tiempo aumenta resultado de un movimiento
amortiguado. Si el amortiguamiento del sistema es grande, pueden darse las situaciones de
sistema críticamente amortiguado y sistema sobreamortiguado. En ambos casos, no hay
oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. El retorno
más rápido a la posición de equilibrio se produce en el amortiguamiento crítico. En esta
experiencia podremos estudiar el movimiento utilizando un péndulo simple para hacer la
simulación del movimiento amortiguado.
1.2. OBJETIVOS
➢ Determinar la dependencia de amplitud y el tiempo de un movimiento armónico
amortiguado en función del tiempo.
➢ Realizar la correspondiente grafica del cambio de posición de la
particula con respecto al tiempo X = A0e−tb/2m cos ( wt + ρ )
1.3. MARCO TEÓRICO
La discusión del movimiento armónico simple en las secciones previas indica que las
oscilaciones tienen amplitud constante. Sin embargo, por experiencia, sabemos que la
amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, con una amplitud que
decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, el movimiento oscilatorio, es
amortiguado. Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos, la
descripción del movimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al caso
del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de rozamiento proporcional a la
velocidad (buena aproximación en muchos casos) la ecuación diferencial del movimiento es
la siguiente (Sears, Zemansky, Young & Freedman, 2009)
González P, afirma que donde 𝛾 es la constante de amortiguamiento y los demás símbolos
tiene el significado que se señaló anteriormente. La solución de esta ecuación tiene la
forma matemática de oscilaciones amortiguadas, es decir, oscilaciones en que la amplitud
decrece con el tiempo. Sin entrar en la teoría de resolución de ecuaciones diferenciales,
diremos que cuando el amortiguamiento es pequeño, la variación temporal del ángulo d
con el tiempo, a la que designaremos ( 𝑋 =𝑑 ) puede escribirse como:
Debido a la presencia del término exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud se va
reduciendo a medida que transcurre el tiempo; además, en ella aparece el término 𝛾 como
frecuencia angular. El valor de 𝛾 es:
Esto supone que la frecuencia angular del movimiento amortiguado es menor que la del
movimiento con amortiguamiento nulo o dicho alternativamente, que el periodo T del
movimiento amortiguado crece con respecto al del movimiento no amortiguado.
Esta ecuación se describe usualmente en la forma.
Una vez realizado todos estos pasos, se soltó
la masa desde su amplitud máxima inicial y
al mismo tiempo se inició el cronómetro para
obtener los datos de cómo va disminuyendo
la amplitud a razón del tiempo. Se midió la
amplitud en diferentes periodos T, para ello
se utilizó una regla que nos ayudó a
diferenciarlo de la amplitud máxima. Al
pasar el cuerpo, se marcó la amplitud y su
respectivo tiempo. Una vez obtenido los
datos, se anotaron en una tabla de resultados
(Tabla 1 ) , se repitió el experimento varias
veces para obtener un promedio de las
amplitudes con respecto a sus tiempos.
Posteriormente el comportamiento fue
Figura 1 péndulo experimental amortiguado graficado en Excel 2016.
1.5 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
TOMA 1
Tabla I. Toma de datos 1 de la amplitud en función del tiempo
T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T
t(s) 0 9,4 12,2 25,4 37,4 44,8 52,4 58,2 68,0 73,2 90
A
(cm)
TOMA 2
Tabla II. Toma de datos 2 de la amplitud en función del tiempo
T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 X
t(s) 0 8,45 13,4 26,0 34,9 45,6 52,3 61,8 66,7 70,9 82,
A
(cm)
TOMA 3
Tabla III. Toma de datos 3 de la amplitud en función del tiempo
T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 X
t(s) 0 7,20 18,2 26,5 33,4 38,9 44,2 51,9 64,2 67,8 73,
A
(cm)
En este experimento no se abordó el sistema de péndulo desde una perspectiva ideal, como lo
demuestra la gráfica 1 la posición X con respecto al tiempo, en donde a medida que
transcurría el tiempo, la posición era más cercana al punto de equilibrio. Si se hubiese
trabajado con un sistema ideal, el sistema oscilaría perpetuamente al no considerarse las
fuerzas no conservativas y demás posibles interacciones que puedan retrasar o afectar su
movimiento, pero en este caso se pretendió darle más realidad a este experimento y se trabajó
un sistema de péndulo amortiguado.
En muchos sistemas reales, fuerzas no conservativas como la fricción retardan el
movimiento. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye en el
tiempo y se dice que el movimiento está amortiguado. La energía mecánica perdida se
transforma en energía interna en el objeto y el medio retardador.
(R. Serway & J. Jewett, p.436, 2008)
Entonces con esta experiencia podemos afirmar que se trabajó con un sistema real, y según la
tabla 4 se observa el cambio en la posición de la masa de 250 gr que cuelga del péndulo, aquí
se tuvieron en cuenta variables como la constante de amortiguación (b) y el tiempo de
decaimiento (Ƭ) entre otras, como se detalla en los anexos correspondientes. Variables que no
se tienen en cuenta en sistema ideales y que representan la pérdida de energía mecánica del
sistema lo que hace que eventualmente la amplitud en su movimiento llegue a quedarse en el
punto de equilibrio es decir A=0.
Tabla IV: Variación de la posición con respecto al tiempo promedio de la toma de datos
Cuando la magnitud de la fuerza retardadora es pequeña, tal que b/2m W 0 , se dice que el
sistema está subamortiguado. El movimiento resultante se representa mediante la curva
blanca del gráfico 1. Conforme el valor de b aumenta, la amplitud de las oscilaciones
disminuye más y más rápidamente. Cuando b alcanza un valor crítico bc tal que bc /2m W 0 ,
el sistema no oscila y se dice que está críticamente amortiguado. En este caso, el sistema, una
vez liberado del reposo en alguna posición de no equilibrio, se aproxima pero no pasa a
través de la posición de equilibrio. (R. Serway & J. Jewett, 2008).
Según Sears, Zemansky, Young & Freedman, 2009 En el movimiento armónico amortiguado,
la fuerza de amortiguamiento o fricción que actúa es donde fx=-b-vx donde vx=
dx
dt
es la
velocidad y b es una constante que describe la intensidad de dicha fuerza.La fuerza total que
actúa sobre el cuerpo es:
∑=- kx-bvx (1)
De acuerdo a la segunda ley de Newton:- kx-bvx= max
dx
dt
= m
d ❑
2
x
dt ❑
2
Al solucionar la ecuación diferencial se obtiene:
X = A
0 e
−(b/2m)t
cos ( wt + ρ ) (3)
Donde, la frecuencia de oscilación está dada por:
w=w
2
√❑ (4)
El gráfico muestra el comportamiento de la ecuación 3 para el caso de donde se muestra que,
entre mayor sea el valor de b, la amplitud disminuye rápidamente.tal como ocurrió en el
experimento realizado de forma casera en Duitama Boyacá donde la posición respecto al
tiempo va disminuyendo progresivamente.
1.6 CONCLUSIONES
La variación de la amplitud del sistema que utilizamos varía de manera drástica al inicio del
movimiento del sistema, pero a medida que pasa el tiempo y el sistema trata de volver a su
posición de equilibrio, la disminución de la amplitud se vuelve mucho menor en comparación
al inicio del movimiento del sistema.
Elementos en nuestro ambiente de trabajo como el aire (que ejerce una fricción) y vibraciones
en la mesa en la que se encuentra sostenido el sistema producen que el movimiento armónico
que presenta sea amortiguado.
Los movimientos amortiguados dependen de la constante de amortiguamiento, esto quiere
decir que si la constante de amortiguamiento varía de una gran a pequeña pérdida de energía
el movimiento puede ser amortiguado crítico, sobre amortiguado o de amortiguamiento débil.
Esto se puede observar en un gráfico de variación de la amplitud que debido a la constante
presenta un comportamiento exponencial.
1.7 BIBLIOGRAFÍA
Sears, Zemansky, Young & Freedman, (2009) “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education
(vol. I). 12va edición. México.
Gonzales P. (2011) La ley de Hooke, masa y periodo de un resorte. Revista Española de
Física, V-5, nº 1, 1991, pp. 36.
Marchewka A, Abbott D., Beichner R., (2004) Oscilador amortiguado por una fuerza de
fricción de magnitud constante. Soy. J. Phys. 72 (4) Abril de 2004, págs. 477-
Solaz J. J. Una práctica con el péndulo transformada en investigación. Revista Española de
Física, V-4, nº 3, 1990, pp. 87-94.
R. Serway & J. Jewett (2008) Física Para Ciencias e Ingeniería. CENGAGE Learning.
EE.UU; Séptima Edición.
ANEXOS
