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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
AUTOR: ANTONIO CAMARGO MARTÍNEZ
Matemáticas financieras Clave:^1154
Plan: 2005 Créditos: 8
Licenciatura: Contaduría Semestre: 1
Área: Matemáticas Hrs. Asesoría: 4
Requisitos: Ninguno Hrs. Por semana: 4
Tipo de asignatura: Obligatoria (x) Optativa ( )
Objetivo general de la asignatura El alumno evaluará los modelos financieros aplicando los principios matemáticos referentes a la variación del dinero en el tiempo.
Temario oficial (horas sugeridas 64)
1. Interés simple (8 hrs.). 2. Interés compuesto (12 hrs.). 3. Anualidades (18 hrs.). 4. Amortización (12 hrs.). 5. Depreciación (8 hrs.). 6. Aplicaciones (6 hrs.).
Introducción En esta asignatura el estudiante investigará lo relativo a Matemáticas financieras. La matemática financiera es una de las áreas más útiles e importantes de la matemática aplicada la que comprende diversos modelos matemáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero que constituyen los capitales. La realidad financiera y comercial actual, demanda cada vez más un mayor número de profesionistas capacitados para brindar la asesoría y orientación adecuada a quienes tengan necesidad de obtener créditos, préstamos o financiamientos y, por otra parte, a los que disponen de capitales para su inversión, todo ello con el objetivo de obtener los mejores beneficios en tasas de interés o de rendimiento. El conocimiento de la matemática financiera proporciona la posibilidad de su aplicación en operaciones bancarias o bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de finanzas permitiendo al administrador financiero tomar decisiones acertadas con rapidez y oportunidad. También se considera una base fundamental en los análisis de proyectos de inversión para la toma de decisiones.
En el tema I se estudiará el concepto del valor del dinero en el tiempo y se conocerán los elementos básicos de operaciones financieras a interés simple, las diversas manifestaciones de capital como valor presente, monto futuro, tasa de interés y plazo o tiempo. También se resolverán situaciones financieras por medio de ecuaciones de valor equivalente. Se conocerán las operaciones de descuento de intereses o cobrados por anticipado y de las usuales de factoraje.
En el tema 2 se estudiarán las variables de las operaciones financieras más frecuentes en nuestro medio, usualmente establecidas a interés compuesto. Se conocerán las diferencias con el interés simple y se obtendrán las fórmulas para determinar el valor presente, el valor futuro, las tasas de interés (nominal, efectiva, equivalentes), y el plazo o tiempo en este tipo de operaciones. Finalmente se resolverán situaciones de cambio de obligaciones por medio de ecuaciones de valor equivalente.
Tema 1. Interés simple
Objetivo particular
Al terminar la unidad el estudiante debe diferenciar entre monto, interés, tasa de interés, tiempo y capital, así como hacer los cálculos respectivos para obtener cada concepto. Deberá utilizar las herramientas necesarias para la reestructuración de una o varias deudas, conocer como cambia el valor del dinero en el transcurso del tiempo.
Temario detallado
1. Interés simple. 1.1 Concepto. 1.2 Monto, capital, tasa de interés y tiempo. 1.3 Tipo de interés simple (clasificación). 1.4 Descuento bancario o simple. 1.5 Ecuación de valor.
Introducción Desde que se inventó la moneda o el uso de la misma, el hombre ha tratado de utilizarla de la mejor manera, el dinero pasó a formar parte importante de la vida de las personas. Con él se podía y se puede realizar todo tipo de transacciones. El día de hoy ha adquirido una mayor importancia ya que, afortunada o desafortunadamente, todo se mueve través de ese medio. Por tal motivo, se ha visto la manera de utilizarlo de la mejor manera posible dado que, al mismo tiempo que abunda en lo general, es muy escaso en lo particular, y por lo mismo es menester el que se sepa manejar y aprovechar a su máxima utilidad. Al estar las personas relacionadas con el uso y manejo del dinero es necesario comprender de una forma clara y sin complejidades cómo el dinero puede ganar, perder o cambiar de valor con el transcurso del tiempo, debido a la inflación; para ello debemos saber emplear en particular las matemáticas financieras. Además
su manejo es trascendental porque la economía de cualquier nación está basada en el crédito y para tomar una decisión acertada es necesario tomar en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero puede tener variaciones. La matemática financiera proporciona los elementos y metodología para trasladar en el tiempo y de manera simbólica los capitales que intervienen en cualquier operación de carácter financiero y comercial, quitando o agregando intereses.
En la actualidad las actividades económicas se basan en el concepto de interés o intereses y significan la cantidad que se paga por hacer uso del dinero solicitado en préstamo o crédito o, la cantidad que se recibe como rendimiento obtenido al invertir un capital en una entidad financiera.
Por lo anterior, un capital que se invierte o se presta, deberá acrecentarse en el tiempo y de esta forma contrarrestar los efectos negativos inflacionarios para conservar por lo menos el poder adquisitivo o valor del dinero y en su caso aspirar a recibir una ganancia legítima en términos reales.
1.1. Concepto
El interés es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo.
En una operación matemática financiera intervienen básicamente tres elementos fundamentales: el capital, la tasa de interés y el tiempo o plazo.
a) Capital : Es una cantidad o masa de dinero localizada en una fecha o punto inicial de una operación financiera. Se le conoce también como principal. b) Tasa de interés : Es la razón de los intereses devengados en un lapso de tiempo entre el capital inicial. Se expresa en tanto por uno o en tanto por ciento. c) Tiempo : Es el número de unidades de tiempo que transcurren entre la fecha inicial y final en una operación financiera. Se conoce también como plazo.
1.1.3. Nomenclatura:
C Representa el capital inicial, llamado también principal. Suele
representarse también por las letras A o P (valor presente). M Representa el capital final, llamado también monto o dinero incrementado. Es el valor futuro de C. I Es el monto de intereses generados en un determinado periodo de tiempo y es la diferencia entre M y C. i Es la tasa de interés y representa el costo o rendimiento de un capital ya sea producto de un préstamo o de una cantidad que se invierte. n Es el lapso (años, meses, días) que permanece prestado o invertido un capital.
NOTA: para aplicar las fórmulas y resolver los problemas, los datos de tiempo ( n )
y la tasa de interés ( i ) deben referirse a una misma unidad de tiempo.
Ejemplos Si la tasa es anual y el tiempo 5 años, n = 5. Si la tasa es anual y el tiempo 7 meses, sustituimos n por 7/12. Si la tasa es mensual y el tiempo 2 años, consideramos n por 24 meses. En el mismo caso, si la tasa es trimestral y el tiempo 3 años, convertiremos los años a trimestres: n = 12.
En conclusión, siempre convertiremos las unidades de tiempo a las unidades a que hace referencia la tasa.
A continuación, se analiza la fórmula general del interés: I Cin en una serie de problemas de cálculo del interés ( I ), capital ( C ), tasa de interés ( i ) y tiempo ( n ). (Es importante que realices tus propios cálculos para que compruebes cómo se llegó a los resultados).
Cálculo del interés ( i )
Ejercicio 1. ¿Qué interés produce un capital de $40,000.00 en 1 año 7 meses y 21 días, al 24% anual?
Fórmula: I Cin Datos:
C
i n año meses días
I Cin
Solución:
n año días meses días días días Total de días días
I 360
De la fórmula de interés: I Cin ................. ....................………………….…………………..……….. (1)^1
se extraen las que sirvan para calcular el capital ( C ), tasa de interés ( I ) y tiempo ( n) , despejando cada una de esas variables de la fórmula de interés ( I ):
Capital (C )… … C in I…. ..............… …….......................………......…..(2)
Tasa de interés ( i ) i Cn I …….. …...…………………………….. ............…(3)
Tiempo_._ ...( n )……… (^) n Ci I ………………………........................…………………(4)
(^1) Se presenta una numeración para las fórmulas para facilitar su manejo.
Si se conoce el monto futuro, tasa y tiempo: C A 1 ^ Min .............(6)
Se puede usar indistintamente ”C” o “A” para designar un valor presente o valor actual.
Ejercicio 3. ¿Cuál es el capital (C) que produjo un monto (M) de $135,000.00, a una tasa (i) de 14% anual durante nueve meses?
Fórmula: C 1 ^ Min Datos:
M
i n
Solución: 135, 000 9 122,171. 1 0.14 (^12)
C
Ejercicio 4_._ ¿Cuál es el precio de un televisor que se paga con un anticipo de un 20% y un documento a 3 meses de $4,200.00 si la tasa es igual a TIIE+1. puntos porcentuales (ppc) y el día de la compra el valor de la TIIE es del18.5%? (La TIIE significa tasa de interés interbancario de equilibrio y es fijada diariamente como resultado de las cotizaciones de los fondos faltantes y sobrantes entre los bancos comerciales y el banco central)
a ) Calculodelvaloractual :
Fórmula: A 1 ^ Min Datos: 3
n
i
M
Solución: 4 , 000
A
A
b ) Pr eciodeltelevisor ::
Fórmula: (^) PP 54 ,, 000000 ^0.^20 ^4 ,^000
1.2.3. Determinación de la tasa generada en una inversión. La tasa de interés en una operación financiera significa un costo si se trata de un préstamo y un rendimiento si se refiere a una inversión de capital. Por consiguiente, será fundamental para la toma de decisiones, conocer a qué tasa de interés se deberá colocar un dinero si se requiere obtener un monto futuro establecido y en un tiempo determinado. O cuál es el costo del dinero si se obtiene un préstamo de cierta cantidad y se conviene pagar otra superior o muy superior en un determinado lapso de tiempo.
1.2.4. Fórmulas para calcular la tasa de interés de una inversión a interés simple:
Si se conoce el monto futuro, el capital inicial y el tiempo:^ Cn
M
i
Si se conoce el capital inicial, el monto de intereses y el tiempo: i Cn^ I .........(8)
Cálculo de la tasa de interés ( i )
Ejercicio 5. ¿Cuál es la tasa de interés (i) a la que ha estado invertido un capital de $110,000.00 (C) que durante dos años y 5 meses (n) produjo $39,875.00 de interés (I)?
Fórmula: i Cn I Datos:
C
I
n años meses meses
Solución: i anual
i mensual
- 03 12 0. 36 36 %
5 0.^03
c ) Interpretación :
Aumenta 6 puntos porcentuales (ppc) la tasa de interés (o sea un 20%) al reducirse un mes el plazo inicial de esta operación financiera.
1.2.5. Cálculo del tiempo requerido para que una inversión genere cierto rendimiento. El mayor o menor tiempo de pago de una operación financiera representa un mayor o menor costo para un deudor o un mayor o menor rendimiento si se trata de una inversión. Por lo tanto la relación entre tiempo y tasa es muy estrecha y va en proporción directa si es una inversión o inversa si se trata de un financiamiento. Se supone que en una economía débil el poder contar con más tiempo significará mayor oportunidad de pago o de acumulación de capital.
1.2.6. Fórmulas para calcular el tiempo o plazo en una inversión a interés simple: Si se conoce el monto futuro, el capital inicial y la tasa de interés:
i
C
M
n
Si se conoce el capital inicial, el monto de intereses y la tasa de interés:
Ci n ^ I ..................................................................... (10)
Cálculo del tiempo ( n)
Ejercicio 7. ¿Qué tiempo (n) habrá estado invertido un capital de $85,000.00 (C) que produjo un interés de $35,700.00 (I) a una tasa anual de 21% (i)?
Fórmula: n Ci^ I Datos:
C
I
i
Solución: (^) n 85, 000 35, 700 0.21^ 2 años
NOTA: cuando se pide la tasa de interés en años, automáticamente la tasa saldrá anualizada. Es decir, toma la unidad de tiempo que maneja la tasa de interés.
Ejercicio 8. En cuanto tiempo se acumularían $50.000.00 si el día de hoy se invierten $40,000.00 a una tasa: a) del 0.5% mensual. b) Si se obtiene una tasa de rendimiento del 1% mensual, ¿qué pasa con el tiempo?
a ) Tasa 0. 5 % mensual :
Fórmula:^ Ci
M
n
Datos:
- 005
i
C
M
Solución: (^0). 005
4050 ,^ , 000000 ^1
n n 50 meses 4. 166667 años 4 años , 2 meses , 0 días
b ) Tasa 1. 0 % mensual :
Fórmula:^ Ci
M
n
Datos:
- 01
i
C
M
Solución: M 40, 000(1 0.24 360 ^591 ) 55, 760
Ejercicio 10. En una cuenta bancaria se invierten $56,000.00 ganando intereses del 12.3% anual. a) ¿Cuál es su capital futuro en 3 años y los intereses ganados? b) Calcular los intereses ganados. c) Interpretación.
a ) Capital futuro :
Fórmula: M C ( 1 in ) Datos: 3
n
i
C
Solución:
M
M
M
b ) Interesesganados :
Fórmula: I M C
Solución: (^) II ^7620 ,, 664664 ^56 ,^000
c ) Interpretación :
El monto de intereses en 3 años representa el 36.9% sobre el capital invertido.
1.3. Tipos de interés simple (clasificación) En operaciones financieras se puede considerar 2 tipos de interés simple: a) Tiempo ordinario o aproximado. b) Tiempo real o exacto.
En el 1er. caso el tiempo es el bancario en el cual se utilizan meses de 30 días y año de 360 días. En el 2° caso el tiempo será año de 365 días y meses de acuerdo a días calendario según los que contengan los meses en estudio. Ejercicio 11. Obtener el monto a interés ordinario que se acumula al 15 de octubre si el 25 de marzo anterior se depositaron $15,000.00 en una cuenta bancaria que abona TIIE + 2.4 ppc. (valor de la TIIE es del 21.1%)
Fórmula: M C ( 1 in ) Datos:
C
i
Solución: Cálculo de n: Mes días Del 25 al 30 marzo 5 De abril a septiembre ( meses)
Del 1° al 15 octubre 15 Total: 200
M 360
I M C 16,958.33 15, 000 1,958.
c ) Interpretación :
El monto futuro aumenta con respecto al capital inicial en $1,958.33, lo que representa un 13.06% más
Ejercicio 12. Del ejercicio anterior obtener su monto futuro considerando tiempo real o exacto.
Fórmula: M C ( 1 in ) Datos:
C
i
Solución: Cálculo de n: Mes días Del 25 al 30 marzo 6 abril 30
Se distingue el descuento racional porque la tasa de descuento se aplica sobre la cantidad inicial del préstamo y se cobra en ese momento. Se llama también descuento real. Se utilizan las mismas fórmulas de interés simple.
1.4.2. El descuento bancario. Es una operación financiera que por lo general se realiza por una institución bancaria, empresas de factoraje, cuyo objetivo es comprar documentos, por lo general pagarés, en forma anticipada o sea antes de su vencimiento descontando cierta cantidad calculada mediante una tasa de descuento la cual se aplica sobre el valor nominal del pagaré.
El verbo descontar significa el acto de obtener o pagar dinero en efectivo a cambio de un documento de importe más elevado a pagar en el futuro. 1.4.3. Los conceptos de valor nominal y valor líquido. En general los documentos que dan lugar a operaciones de factoraje son los giros y los pagarés.
El tenedor de un pagaré no puede exigir el cobro del mismo antes de la fecha de su vencimiento por lo tanto, si desea hacerlo efectivo antes de dicha fecha, lo puede vender a una institución bancaria, empresa o institución de factoraje, o a cualquier persona física o moral que lo acepte. Entonces el nuevo deudor se convierte en beneficiario.
El valor nominal de un pagaré es la suma del capital del préstamo más los intereses acumulados a su vencimiento.
El valor líquido de un pagaré es su valor nominal menos el descuento. Es la cantidad que efectivamente recibe el prestatario.
Por lo tanto, el descuento es la disminución que se hace a una cantidad que se paga antes de su vencimiento. Es decir, es el cobro hecho con anticipación a una cantidad con vencimiento futuro; esto significa que la persona que compra el derecho de cobrar esa cantidad futura efectúa un préstamo por el cual exige un interés, ya que debe transcurrir el tiempo anticipado para recuperar su inversión.
A ese interés se le llama descuento: cuando el inversionista (quien compra el documento que ampara la cantidad futura) adquiere en una cantidad menor un valor nominal que vence en el futuro. Asimismo a una cantidad que tiene un vencimiento en un plazo futuro le corresponde un valor actual. A la diferencia entre ambos se le llama descuento.
1.4.4. Nomenclatura: M Valor nominal del documento.
C Valor comercial, valor de descuento o valor efectivo.
D Es la cantidad que se descuenta del valor nominal del pagaré.
d Es la tasa de descuento que actúa sobre el valor nominal del pagaré.
r Tasa de rendimiento de un préstamo descontado intereses por adelantado.
n Es el lapso de tiempo faltante entre la fecha de negociación del documento y la fecha de su vencimiento.
Fórmulas de descuento simple bancario.
Descuento simple: D Mdn .................................. (13)
