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Este documento aborda el método de análisis vibratorio mediante la superposición modal espectral, el más difundido actualmente debido a su creciente uso y la creencia de que es superior a los métodos estáticos en precisión y confiabilidad. Sin embargo, se advierte el riesgo de sobrevalorar los resultados y descuidar pasos previos y posteriores, como el diseño conceptual, formulación del modelo y elección del método. El documento se limita a aspectos conceptuales, interpretación física y vinculación con el diseño estructural. Además, se discuten los alcances y limitaciones del análisis dinámico modal y la importancia de explicitar las hipótesis de análisis.
Qué aprenderás
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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TITULO : “ANALISIS DINAMICO MODAL DINAMICO” NOMBRE DEL CURSO : INGENIERIA SISMORESISTENTE DOCENTE : ING. FRANCISCO HIPOLITO OSCCO ROJAS INTEGRNTES : FARFAN LOAYZA JAVIER ANGEL FECHA : ANDAHUAYLAS, 06 DE NOBIEMBRE DEL 2021
el análisis dinámico de las construcciones es ell análisis de la respuesta de construcciones sometidas a las acciones de impactos en general y de sismos en particular requiere una evaluación de su comportamiento dinámico. La cuestión es por demás compleja en los casos reales. Por un lado se tiene la realidad de la construcción misma, que pocas veces admite la representación con modelos teóricos suficientemente sencillos como para que el análisis sea posible con los medios disponibles. Por el otro se tiene la complejidad de la excitación que en el caso de impactos o de sismos es de características caóticas, tanto en lo que se refiere a la evolución de la acción en el tiempo como en lo que se refiere a la intensidad máxima que la misma puede tener y que tampoco admite esquematizaciones teóricas sencillas. El advenimiento de las computadoras de escritorio (las PC cada vez más poderosas) al mundo del trabajo profesional diario sumado al desarrollo de programas con posibilidades de modelación cada vez más avanzadas, que llegan al asombro, parecería que permite eliminar las dificultades antes mencionadas. Sin embargo no es así. Las computadoras y los programas sólo descargan al usuario de la tarea del trabajo rutinario de cálculo, pero dejan intacta la tarea de representar la construcción y las acciones con un modelo teórico confiable y la tarea aún más exigente de interpretar los resultados del análisis que eventualmente puede llevar pocos segundos a la máquina. La masa de resultados suele ser imponente y al profesional desprevenido puede resultarle muy difícil manejarla adecuadamente. No falta el caso de aquel que cree de buena fe que “debe estar bien porque es el resultado de la computadora y del programa”... Los propios autores de los programas comerciales, que son expertos en programación pero muchas veces no conocen la práctica de la disciplina a la que se aplicarán sus programas, tienen fe ciega en ellos y pocas veces proporcionan a los usuarios la información sobre los alcances y limitaciones de los algoritmos en lo que se refiere a la representación del fenómeno físico real. En rigor esto no es parte de la especialidad del programador, pero tampoco es fácil que el usuario novel lo adquiera por sus propios medios, salvo que tenga una cierta experiencia como programador, lo que no es frecuente. Se crea así un vacío que debe ser llenado si los programas y las computadoras van a ser utilizados responsablemente. En el campo del estudio dinámico hoy es moneda corriente la utilización de programas para el análisis dinámico modal de las estructuras pero no es tan frecuente que se conozcan los alcances y las limitaciones que pueden
esperarse de ese tipo de análisis en primer término. Tampoco es frecuente que se conozcan los alcances y las limitaciones de los programas disponibles en relación con la validez física de los procedimientos propuestos, más allá de que los mismos transcriban un procedimiento de reglamento. Precisamente en el campo del análisis sísmico es indispensable una aplicación razonada, conceptual del reglamento y no solo el seguimiento de la letra. Estas ideas se refuerzan aún más cuando se consideran las acciones dinámicas extremas, es decir cuando se está aceptando que la construcción debe alcanzar el estado límite de esfuerzos sin llegar al colapso, como es el caso habitual del proyecto de construcciones sismo resistentes. En esos casos el modelo se complica porque es necesario considerar la influencia de toda la construcción, no sólo la de los componentes “estructurales”, porque normalmente es muy difícil hacer un análisis no lineal y se representa el funcionamiento último de la construcción por referencia a un estado límite elástico y a una excitación de origen “elástico” (el espectro de proyecto). En algunos casos el análisis dinámico se emplea - un tanto ingenuamente - porque se cree que sistemáticamente se obtendrán valores menores que los resultantes del método estático. Esto ya presupone una falla de enfoque en el trabajo profesional. Lo importante no es el resultado que se obtenga para el dimensionado sino la descripción confiable del funcionamiento de la construcción para mejorar el diseño.
El objetivo del estudio dinámico de una estructura es, en última instancia, predecir el comportamiento de la misma para establecer el grado de seguridad frente al colapso. Como quedó señalado antes el análisis siempre es la verificación de un diseño, que deberá ser corregido hasta lograr un comportamiento satisfactorio. La aceptación de este objetivo primario es importante porque ubica al proyectista frente al problema y le permite descubrir las limitaciones de los métodos empleados.
Se debe elegir un indicador apropiado para definir el comportamiento de la estructura. El indicador elegido se llama respuesta de la estructura. La respuesta esencial es el estado de deformación. Es el estado de deformación el que determina la supervivencia o no de la construcción. Las solicitaciones o las tensiones - que resultan de las deformaciones según una ley teórica dada - son indicadores teóricos que pueden ser más fáciles de manejar para el ingeniero con la formación habitual pero sólo indirectamente representan el estado de seguridad de una construcción. En la práctica se pueden elegir distintos indicadores como respuesta: pueden ser los desplazamientos de puntos escogidos, fuerzas de inercia equivalentes, solicitaciones en los componentes estructurales, etc. A primera vista la elección del indicador debería ser sencilla y sin embargo la experiencia prueba que no es así: de otro modo no se explica que construcciones proyectadas conforme a los criterios de análisis más actuales se dañen gravemente o aún colapsen en cada terremoto. Es obvio que la respuesta podría obtenerse en un nivel de detalle tan grande como se deseara, al menos teóricamente. Por ejemplo sería posible obtener el momento flector en todas las secciones de una estructura... que son infinitas. Por consiguiente se impone la necesidad de restringir el número de componentes de la respuesta y esto es una primera causa de limitaciones.
En muchos casos es suficiente encontrar el valor máximo de la respuesta para compararla con un valor de referencia que depende de las características constructivas de la estructura y predecir la seguridad. Esto es así cuando la respuesta elegida es única y definitoria del comportamiento de la estructura. En estructuras complejas y con materiales heterogéneos la cuestión no se define tan directamente.
Un ejemplo sencillo puede aclarar estos aspectos. Supongamos una pieza de hormigón armado sometida a flexión compuesta. La combinación del esfuerzo normal de compresión máximo con el momento flector máximo no es necesariamente la más peligrosa. Sería necesario estudiar al menos cuatro casos para obtener una envolvente de situaciones y determinar la seguridad: El momento flector máximo con el esfuerzo normal simultáneo, el momento flector mínimo con el esfuerzo normal simultáneo, el esfuerzo normal mínimo (de compresión) con el momento flector simultáneo y el esfuerzo normal máximo (de tracción) con el momento flector simultáneo. Se debe poner atención sobre la palabra “simultáneo” en todos los casos. Y si la estructura es espacial la cantidad de combinaciones es mucho mayor. En estos casos es muy dudoso que el valor máximo de una sola magnitud proporcione el indicador buscado.
Dentro del propósito de este trabajo cabe presentar la interpretación física, relativa a las construcciones, de ciertos temas que pueden encontrarse en cualquier texto de dinámica estructural pero que la experiencia prueba que no son comprendidos cabalmente.
El concepto de grado de libertad está vinculado al de un movimiento (desplazamiento o giro) de un punto cualquiera de la construcción. Obviamente en una construcción hay infinitos puntos pero sus movimientos no son independientes porque están vinculados por los componentes de la estructura. En consecuencia se considera grado de libertad a todo movimiento independiente de un punto de la construcción. Esta definición parece absoluta pero al reflexionar un poco se advierte que es contingente ya que depende del propósito para el que se utilizará el “grado de libertad”. Desde el punto de vista del estudio dinámico de la construcción se puede decir que hay que definir tantos grados de libertad como sea necesario para representar adecuadamente el intercambio de energía en la construcción. Se podría pensar que se pueden representar todos los sistemas como continuos y estudiar en toda generalidad el problema. Sin embargo un rápido examen del tema pone en evidencia las limitaciones para hacerlo. En primer término la cantidad de datos y de resultados crece rápidamente y su interpretación se vuelve imposible. En segundo término muchos de los resultados son irrelevantes para el problema en cuestión: el movimiento propio o local de un muro fuera de su plano puede ser peligroso para el muro pero tal vez no tenga significación para el movimiento de la construcción completa. Por último se debe considerar que los métodos numéricos tienen errores propios que crecen con la cantidad de operaciones a realizar, en particular cuando se dan ciertas circunstancias desfavorables que sintéticamente se pueden expresar en
La primera idea a considerar en relación con la utilización de métodos de análisis dinámico es el origen y evolución de los mismos. Ella puede ayudar a comprender sus alcances y limitaciones. Por otra parte los métodos a emplear dependen de lo que se quiera obtener. Por lo tanto dependen de la manera de representar el funcionamiento de la construcción y nuevamente esto nos trae a la necesidad de conceptualizar físicamente el funcionamiento de la construcción durante el terremoto.
Los primeros planteos teóricos de dinámica - se pueden ver en cualquier texto elemental de física para ingenieros - se refieren a un “vibrador elástico de un grado de libertad”. Este vibrador permite aplicar de manera sencilla las ecuaciones de equilibrio o de conservación de la energía y obtener una solución “cerrada” cuyo principal mérito - y esa es la principal justificación para seguir enseñándolo - es hacer comprender la influencia de las distintas variables que caracterizan a esa construcción ideal. Conviene tener presente que el desarrollo de la dinámica aplicada proviene de la ingeniería mecánica, en muchos de cuyos problemas este modelo es aceptablemente fiel. En el campo de las construcciones civiles el vibrador elástico de un solo grado de libertad es tan irreal como el punto matemático. No obstante puede dar resultados utilizables en el campo de las construcciones reales, como sucede con tantos modelos teóricos que se utilizan para explicar el mundo real. Un modelo de un solo grado de libertad permite obtener el período propio y la respuesta para una excitación sencilla, en particular una excitación periódica cualquiera en forma cerrada.
Un avance obvio es el vibrador elástico con varios grados de libertad que se excitan simultáneamente. Podríamos calificarlo de vibrador “plano”, aunque tal vez sería mejor llamarlo unidireccional. En primera instancia la teoría de este vibrador se desarrolló para estructuras con acoplamiento débil entre los distintos grados de libertad. Es el caso de estructuras aporticadas con vigas muy rígidas en relación con las columnas. Paralelamente se desarrollaron procedimientos de solución (métodos de Stodola o de Holzer, por ejemplo) que permiten la convergencia bastante rápida como para que se puedan utilizar manualmente. Estos métodos son poco eficientes cuando el sistema presenta un acoplamiento fuerte entre los grados de libertad (como ocurre en la estructuras con tabiques). En ellos es muy frecuente que la convergencia sea lenta y se vuelve muy difícil la utilización manual.
De todos modos los métodos mencionados y otros realizan el “análisis modal” , es decir que permiten determinar la forma y el período de los modos naturales de vibración del modelo analizado. La utilidad de este análisis reside en que por aplicación del principio de superposición - válido solamente para sistemas elásticos lineales - es posible representar el movimiento de un sistema complejo de varios grados de libertad como resultado de la superposición de los movimientos de varios sistemas de un solo grado de libertad, cada uno de los cuales representa uno de los modos naturales del sistema. Este es el método de “superposición modal”.
Una vertiente distinta del estudio dinámico de vibradores con uno o varios grados de libertad es el análisis dinámico por integración directa de las ecuaciones del movimiento. Este método permite obtener directamente la respuesta del modelo para cualquier tipo de excitación, no sólo excitaciones armónicas. Pero sólo cuando la excitación es armónica esta respuesta se puede obtener en forma cerrada. En el caso de excitaciones cualesquiera casi la única solución práctica es el análisis numérico utilizando computadoras. El resultado de este tipo de análisis es la historia del movimiento (time history) del vibrador cuando es excitado por una acción determinada. Cuando las excitaciones son caóticas, como es el caso de un terremoto, no es posible obtener valores útiles en forma directa. Será necesario considerar los valores extremos de variables (respuestas) significativas para la seguridad de la construcción. Este tipo de análisis es bastante más complejo que el análisis modal y la interpretación de sus resultados también. Hay dos aspectos que son críticos: la elección del conjunto de excitaciones a ensayar y la elección de las respuestas. La mayoría de los expertos y de los reglamentos se inclinan por recomendar que se estudie la respuesta para un conjunto de sismos cuyos espectros cubran el espectro de proyecto reglamentario. Estos sismos pueden ser generados artificialmente o pueden ser acelerogramas de sismos reales modificados para obtener las características deseadas. Hay incluso programas para generar sismos artificiales. En cuanto a la respuesta los conocimientos actuales conducen a considerar los desplazamientos de las masas como valores más representativos que fuerzas o solicitaciones en las piezas estructurales.
La mayoría de los programas actuales para análisis de estructuras incluyen la posibilidad de realizar análisis dinámicos. Muchos incluyen algún acelerograma (es típico el de El Centro, cuyo único mérito es haber sido el primero pero que está lejos de representar un terremoto verdaderamente peligroso) o espectros standard. Pocos tienen una descripción precisa de las hipótesis y limitaciones que presuponen los métodos empleados y son aún menos los que proporcionan una introducción que permita aprender a utilizarlos adecuadamente. Todo queda bajo la responsabilidad del usuario, quien debería conocer y comprender todos esos aspectos para usar responsablemente el programa. En general los programas permiten realizar el “análisis modal” y luego la “superposición modal espectral” o la “superposición modal por integración directa”, métodos que luego se definen. En muchos casos los métodos de superposición espectral tienen limitaciones muy serias que no están suficientemente divulgadas.
Algunos programas se basan en métodos muy conocidos: Stodola-Viannello, Holzer, por ejemplo. El usuario debe conocer los fundamentos y las limitaciones del método. Los programas basados en estos métodos son poco eficientes en estructuras complejas con fuerte acoplamiento. La mayoría de estos programas se limitan a casos “unidireccionales” en el que todos los grados de libertad son excitados directamente por un movimiento unidireccional. Estos programas pueden ser utilizados para representar el movimiento de una estructura de “pisos” siempre que sólo sean significativas las traslaciones horizontales y que no haya mucho acoplamiento entre las direcciones de análisis. Por ejemplo: no podrían utilizarse para describir el movimiento de un sistema en voladizo con una gran masa en el extremo superior cuyas rotaciones de eje horizontal fueran significativas para el intercambio de energía 5.
Se pueden corregir o escribir programas basados en los métodos mencionados anteriormente para que tomen en cuenta que los distintos grados de libertad pueden ser excitados o no por el movimiento externo. Este tipo de programas no tienen la limitación mencionada en el párrafo anterior pero no son frecuentes en el mercado.
Casi todos los programas de elementos finitos tienen rutinas de análisis dinámico. Entre las ventajas indudables de los mismos se tiene la generación automática de masas, lo que evita las muy tediosas preparación e introducción de datos. Sin embargo conviene tener presente que la masa generada se refiere solamente a los elementos estructurales y no toma en cuenta el peso propio de otros componentes de la construcción. Esas masas deberán ser introducidas por separado, por ejemplo en nudos apropiados de la estructura, para lo cual esos programas generalmente tienen opciones adecuadas, o bien modificando el peso específico del material de ciertos componentes. Por ejemplo se puede representar la carga total de una losa con un elemento del espesor real de la losa, con las características mecánicas del material verdadero y un peso específico ficticio tal que con el espesor estructural se tenga la carga total. Lo mismo vale para los otros componentes de la construcción. El uso a ciegas del programa puede llevar a resultados totalmente irreales, en particular por lo que concierne a los períodos de los distintos modos. No todos los programas de elementos finitos incluyen la capacidad de definir los grados de libertad excitados directamente por el movimiento del suelo. Esto puede acarrear dificultades, mostrar períodos anormalmente largos o movimientos “parásitos” poco representativos de la realidad cuando se trata de obtener valores de respuestas utilizables para el estudio de la estructura.
Casi todos los programas de análisis modal incluyen la determinación de respuestas por superposición modal espectral. Generalmente está incluida la suma geométrica y a veces se obtienen la suma de valores absolutos y el promedio de ambos valores. En general como respuesta se puede pedir cualquier valor asociado con el análisis estructural: desplazamientos de los distintos grados de libertad, fuerzas de inercia asociadas a los distintos grados de libertad, solicitaciones en las secciones, etc.. La utilidad de esos valores depende del modo de utilizarlos y luego será analizada. Algunos programas permiten obtener la historia del movimiento (“time history”) durante un proceso caótico representado por un acelerograma dado como dato. Con ellos sería posible obtener valores simultáneos de deformación y, a partir de estos, las solicitaciones. En general tal tipo de aplicación no está implementada y se puede advertir que actualmente sería muy difícil hacerlo por la cantidad de datos numéricos que deberían almacenarse para obtener resultados utilizables en la ingeniería estructural, particularmente para programas “universales”. Casi todos dan los desplazamientos de los distintos grados de libertad en función del tiempo. A partir de ellos sería posible obtener valores de respuestas útiles para la evaluación de la seguridad.
El análisis modal es una técnica de análisis dinámico de estructuras. Tiene como objetivo la estimación de propiedades dinámicas como las frecuencias y los modos naturales al igual que el amortiguamiento. El análisis modal puede ser teórico o experimental. El teórico se basa en técnicas analíticas o simulaciones.
“En los proyectistas que utilizan técnicas de superposición modal para definir las fuerzas sísmicas de proyecto hay una tendencia a dejarse llevar por la elegancia de las matemáticas involucradas y a olvidar las incertidumbres asociadas con los datos.”T. Paulay - N. Priestley Por la generalización creciente del uso de este método y, particularmente, por la difusión de programas que admiten su aplicación automática conviene presentar algunos comentarios. En particular se analizan las limitaciones y las posibilidades cuando se aplica al análisis de estructuras sismo resistentes.
Desde el punto de vista matemático el movimiento de un vibrador complejo se puede representar por superposición de los movimientos de los vibradores que representan los distintos modos naturales de vibración. Una ventaja importantísima del método es que generalmente un número relativamente pequeño de modos (normalmente los primeros) tiene influencia significativa en la respuesta de la estructura y esto permite simplificar el análisis. En consecuencia es necesario evaluar la respuesta para cada modo y luego superponer la influencia de los distintos modos. Esto es relativamente fácil cuando las excitaciones son sencillas, en particular una excitación periódica, porque la respuesta se puede expresar en forma cerrada. Se puede aplicar al estudio de la respuesta para excitaciones caóticas por integración directa. En ese caso es más sencillo integrar N ecuaciones independientes y sumar los resultados que integrar un sistema de N ecuaciones simultáneas. Sin embargo la aplicación más común del método es la obtención de valores de la respuesta estructural elegida (es decir los valores máximos de las variables que supuestamente representan el comportamiento de la construcción) por superposición de respuestas espectrales.
El sonido que escuchamos de una campana es el resultado de resonancias y del sonido radiado resultante de la energía de alta vibración en frecuencias de resonancia.
Podemos describir el comportamiento dinámico de cualquier estructura mecánica lineal en términos de parámetros que describen su resonancia estructural. Estos parámetros modales son la frecuencia de resonancia, la amortiguación y el patrón de vibración (forma modal) de la resonancia. El modelo matemático basado en estos parámetros es un modelo lineal que da una descripción completa del comportamiento lineal de la estructura. Un análisis modal es entonces un tipo de método experimental que determina las características de un sistema dinámico y define el modelo dinámico de una estructura. En el análisis modal usamos diferentes números de mediciones y técnicas de análisis de variada complejidad. La elección de la técnica depende de: El tipo y tamaño de la estructura La medida en que la estructura se comporta linealmente El tiempo y los recursos disponibles
Ya que el resultado de un análisis modal es un modelo matemático del comportamiento dinámico de la estructura bajo prueba, podemos simular la respuesta de vibración a algunas fuerzas que suponemos podrían actuar sobre la estructura en su entorno de trabajo. También podemos ocupar este modelo para simular modificaciones en la estructura con el fin de obtener los parámetros de la estructura modificada. Definimos dicha modificación en términos de adición o reducción de masa en ciertos puntos o mediante la adición o reducción de rigidez o amortiguación en ciertos puntos, entonces podremos simular la respuesta de vibración de la estructura modificada. pruebas-modales Si realizamos un análisis modal en diferentes subestructuras (o componentes) podemos usar los modelos para descubrir cómo se puede comportar la estructura ya ensamblada.
consiste en una forma modal con una frecuencia natural (de resonancia) y un valor de amortiguación.Los parámetros modales se derivan de un modelo matemático que describe la relación entre una excitación (entrada) y una respuesta (salida). Estos parámetros pueden obtenerse utilizando análisis modal clásico o análisis modal operacional (OMA). En el análisis modal clásico, la estructura se excita empleando martillos de impacto o excitadores modales (vibradores modales). En cambio, en el análisis modal operacional se emplea una excitación natural. En ambos casos, la respuesta se mide típicamente por medio de acelerómetros. Un tipo especial de caracterización estructural consiste en determinar cómo afectan los impactos a una estructura. En esta aplicación, se calcula un espectro de respuesta a impactos (SRS) a partir
