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Estimación por intervalos
Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:
- Intervalo de confianza
El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ 1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar
- Variabilidad del Parámetro
Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.
- Error de la estimación
Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza.. Se suele llamar E, según la fórmula E = (θ2 - θ1)/2.
- Límite de Confianza
Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores α de 0, y 0,01 respectivamente.
- Valor α
También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,
- Valor crítico
Se representa por Zα/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población.
Estimación puntual
Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como
estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es decir, que sea insesgado(ausencia de sesgos) y estable en el muestreo o eficiente (varianza mínima) Estimación puntual. Sea X una variable poblacional con distribución Fθ , siendo θ desconocido. El problema de estimación puntual consiste en, seleccionada una muestra X1, ..., Xn, encontrar el estadístico T(X1, ..., Xn) que mejor estime el parámetro θ. Una vez observada o realizada la muestra, con valores x1, ..., xn, se obtiene la estimación puntual de θ, T(x1, ..., xn) = ˆ θ.
Vemos a continuación dos métodos para obtener la estimación puntual de un parámetro: método de los momentos y método de máxima verosimilitud. Método de los momentos: consiste en igualar momentos poblacionales a momentos muestrales. Deberemos tener tantas igualdades como parámetros a estimar. Momento poblacional de orden r αr = E(Xr) Momento muestral de orden r ar = Xn i=1 Xr i n
Método de máxima verosimilitud: consiste en tomar como valor del parámetro aquel que maximice la probabilidad de que ocurra la muestra observada. Si X1, ..., Xn es una muestra seleccionada de una población con distribución Fθ o densidad fθ(x), la probabilidad de que ocurra una realización x1, ..., xn viene dada por: Lθ(x1, ..., xn) = Yn i=1 fθ(xi)
A Lθ(x1, ..., xn) se le llama función de verosimilitud.(credibilidad de la muestra observada). Buscamos entonces el valor de θ que maximice la función de verosimilud, y al valor obtenido se le llama estimación por máxima verosimilitud de θ. Nota: si la variable X es discreta, en lugar de fθ(xi ) consideramos la función masa de probabilidad pθ(xi).
Ejemplo 7.1: Sea X → N(μ, σ), con μ desconocido. Seleccionada una m.a.s. X1, ..., Xn, con realización x1, ..., xn, estimamos el parámetro μ por ambos métodos. Según el método de los momentos: E(X) = Xn i=1 Xi n = − X, y al ser μ = E(X) se obtiene que ˆ μ = − x. Por el método de máxima verosimilitud: Lμ(x1, ..., xn) = Yn i=1 fμ(xi ) = = Yn i=1 1 √ 2 πσ e −(xi−μ) 2 2σ
Estimación por Intervalos de confianza 109 y maximizamos en μ tal función; en este caso resulta más fácil maximizar su logaritmo: lnLμ(x1, ..., xn) = − 1 2σ 2 Xn
hipótesis cuando en realidad no existe. Se relaciona con el nivel de significancia estadística.
En un estudio de investigación, el error de tipo II, también llamado error de tipo beta (β) (β es la probabilidad de que exista este error) o falso negativo, se comete cuando el investigador no rechaza la hipótesis nula siendo esta falsa en la población. Es equivalente a la probabilidad de un resultado falso negativo, ya que el investigador llega a la conclusión de que ha sido incapaz de encontrar una diferencia que existe en la realidad.
Se acepta en un estudio que el valor del error beta esté entre el 5 y el 20%.
