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La distribución de probabilidad normal y normal estándar
Distribución de probabilidad normal
1
Características
- Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La
media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la
distribución. El área total bajo la curva es de 1. La mitad del área bajo la curva normal
se localiza a la derecha de este punto central, y la otra mitad, a la izquierda.
- Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical, por el valor central, a la
curva normal, las dos mitades son imágenes especulares.
- Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la
distribución es asintótica. La curva se aproxima más y más al eje 𝑥, sin tocarlo. En
otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas
direcciones.
- La localización de una distribución normal se determina a través de la media, 𝜇. La
dispersión o propagación de la distribución se determina por medio de la desviación
estándar, 𝜎.
- No sólo existe una distribución de probabilidad normal, sino una familia.
- El área total bajo la curva normal es 1. Como una distribución de probabilidad
normal es simétrica, el área bajo la curva a la izquierda de la media es de 0,5; y el
área bajo la curva a la derecha de la media, de 0,5.
Calculo
−[
(𝑥−𝜇)
2
2 𝜎
2
]
Donde
𝜇 es la media de la distribución (es la letra griega mu).
𝜎 es la desviación estándar de la distribución (es la letra griega sigma).
1
Lind, Marchal y Wathen (2012) pp. 227-228.
𝜋 es una constante matemática natural, cuyo valor es aproximadamente 22 7
o
3,1416… (es la letra griega pi).
𝑒 es una constante matemática. Es la base del sistema de logaritmos naturales y es
igual a 2,718…
𝑥 es el valor de una variable aleatoria continua.
Distribución de probabilidad normal estándar
2
Características
- Es única.
- Tiene media de 0.
- Tiene desviación estándar de 1.
- Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una
distribución de probabilidad normal estándar si se resta la media de cada
observación y se divide esta diferencia entre la desviación estándar. Los resultados
reciben el nombre de valores 𝑧 o valores tipificados.
- De esta manera, el valor 𝑧 es la distancia de la media, medida en unidades de
desviación estándar.
Valor 𝑧
Distancia con signo entre un valor seleccionado, designado 𝑥, y la media, 𝜇, dividida entre
la desviación estándar, 𝜎.
Cálculo
El valor normal estándar se calcula mediante la fórmula:
Donde
𝑥 es el valor de cualquier observación y medición.
𝜇 es la media de la distribución (es la letra griega mu).
𝜎 es la desviación estándar de la distribución (es la letra griega sigma).
2
Lind, Marchal y Wathen (2012) pp. 229-230.
Ejercicio 1
“La temperatura del café que vende Coffee Bean Cafe
4
sigue una distribución de
probabilidad normal, con una media de 150 grados. La desviación estándar de esta
distribución es de 5 grados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura del café esté
entre los 150 y los 154 grados? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura del café
sea de más de 164 grados?”
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura del café esté entre los 150 y los 154
grados?
Datos
𝜇 = 150 grados Es la media
𝜎 = 5 grados Es la desviación estándar
=¿? Es la probabilidad pedida
1
= 150 Es el límite inferior
2
= 154 Es el límite superior
Las características indican que es una distribución de probabilidad normal.
Fórmula
Cálculo del valor 𝑧
1
para 𝑥
1
Remplazando
1
Cálculo del valor 𝑧 2
para 𝑥
2
Remplazando
2
4
Lind, Marchal y Wathen (2012) p. 236.
Gráficamente
_____________________________________________________________
2
0
2
1
1
Cálculo de la probabilidad 𝑃
Remplazando
1
2
Interpretación
Entonces, la probabilidad de elegir un café con temperatura entre 150 y 154 grados es
de 0,2881.
Significa que 28,81 % ( 0 , 2881 × 100 ) de los cafés tiene una temperatura que oscila
entre 150 y 154 grados.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura del café sea de más de 164 grados?
Datos
𝜇 = 150 grados Es la media
𝜎 = 5 grados Es la desviación estándar
=¿? Es la probabilidad pedida
1
= 164 Es el límite inferior
Las características indican que es una distribución de probabilidad normal.
Fórmula
Cálculo del valor 𝑧
1
para 𝑥
1
Remplazando
1
Las características indican que es una distribución de probabilidad normal.
Fórmula
Cálculo del valor 𝑧 1
para 𝑥
1
Remplazando
1
Cálculo del valor 𝑧
2
para 𝑥
2
Remplazando
2
Gráficamente
_____________________________________________________________
1
2
1
0
2
Cálculo de la probabilidad 𝑃
Remplazando
1
2
Interpretación
Entonces, la probabilidad de elegir un café con temperatura entre 1 46 y 15 6 grados es
de 0, 673.
Significa que 67,3 %
0 , 673 × 100
de los cafés tiene una temperatura que oscila entre
146 y 15 6 grados.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura del café sea de más de 156 pero
menos de 162 grados?
Datos
𝜇 = 150 grados Es la media
𝜎 = 5 grados Es la desviación estándar
=¿? Es la probabilidad pedida
1
= 156 Es el límite inferior
2
= 162 Es el límite superior
Las características indican que es una distribución de probabilidad normal.
Fórmula
Cálculo del valor 𝑧 1
para 𝑥
1
Remplazando
1
Cálculo del valor 𝑧 2
para 𝑥
2
Remplazando
2
Gráficamente
_____________________________________________________________
1
2
0
1
2
Cálculo de la probabilidad 𝑃
Remplazando
2
1
Interpretación
Entonces, la probabilidad de elegir un café con temperatura entre 1 56 y 1 62 grados es
de 0, 1069.
Significa que 10 , 69 %
0 , 1069 × 100
de los cafés tiene una temperatura que oscilan
entre 1 56 y 1 62 grados.
Bibliografía
Lind, D. A., Marchal, W. G., y Wathen, S. A. (2012). Estadística aplicada a los negocios y la
economía. México, D. F., México: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A.
DE C. V.
Mendenhall, W., Beaver, R. J., y Beaver, B. M. (2010). Introducción a la probabilidad y
estadística. México, D.F., México: Cengage Learning Editores, S. A. de C. V.
