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SESIÓN 8 ESTADÍSTICA Introducción a la probabilidad
Elementos de probabilidad
En muchas ocasiones habrás escuchado frases como: “Probablemente llueva”, “Hay probabilidad de que éste año mejore la economía del país”, “Es probable que estudie una especialidad en el extranjero”, “Tiene alta probabilidad de ganar la carrera”, etcétera. Las situaciones relacionadas con el azar han preocupado mucho a la humanidad desde hace siglos, por lo que han ocupado también la atención de grandes filósofos y matemáticos quienes trataron estas situaciones de manera científica.
Como conclusión se puede decir que la probabilidad es la medida numérica de la incertidumbre.
Eventos deterministas y aleatorios
Existen dos maneras diferentes de que ocurran los hechos: una que siempre es predecible y otra donde el resultado es variable. Experimentos determinísticos. Son situaciones o experimentos donde el resultado, en igualdad de condiciones, siempre es el mismo. Experimentos aleatorios. Son experimentos en los que el resultado puede ser variable, es decir, no siempre ocurre de la misma manera.
Reflexiona si los siguientes eventos son aleatorios o determinísticos a) Extraer una carta de una baraja b) Encender una lámpara c) Llamar por teléfono a un determinado número
Espacio muestra o muestral
La presentación e interpretación de datos aleatorios es el interés principal del estudio de la probabilidad y estadística. Por ejemplo, en una línea de producción nos interesa la clasificación de artículos defectuosos y no
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defectuosos con la finalidad de mejorar el proceso. En una contienda política, sería de gran relevancia conocer la probabilidad de ganar que tienen los candidatos participantes , etcétera.
La descripción de estos procesos que generan un conjunto de datos aleatorios se llama experimento.
Con el propósito de definir espacio muestral, contesta las siguientes preguntas:
1.- ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar una moneda normal al aire?
2.- ¿Cuáles son los resultados posibles en su cara superior, al lanzar un dado?
3.- Considera el experimento de lanzar una moneda al aire una vez. Si cae águila, se lanza la moneda una segunda ocasión. Si en el primer lanzamiento se obtiene sello, entonces se arroja un dado una vez. ¿Cuáles y cuántos son los posibles resultados del experimento?
En casos como éste es de gran utilidad un diagrama de árbol como el siguiente y anotar en cada rama los posibles resultados. Designemos con A si cae águila y S si cae sello.
Todos los resultados posibles son ocho:
S1 S2 S3 S4 S5 S6 AS AA
Espacio muestral. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se llama espacio muestral y se representa con la letra “S”.
A cada elemento del espacio muestral se le denomina punto muestral.
lanzar
S
1 2 3 4 5 6
A
S A
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correctamente el conjunto de elementos de éste en función de sus cualidades o características. Por ejemplo, menciona todas las empresas productivas de México:
S = {x/x es una empresa productiva de México}
Esto se lee: “S es el conjunto de todas las x tales que x es una empresa productiva de México”. La diagonal / se lee “tal que”. De igual manera, si S es el conjunto de soluciones de la ecuación x^2 + 2x + 1 = 0, podemos escribir así:
S = {x/x^2 + 2x + 1 = 0}
De cualquier forma, la regla mediante la cual describiremos el espacio muestral dependerá de la naturaleza de la situación que estemos analizando.
Ejercicios
1.- Escribe los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales:
a) Los enteros pares que hay entre 10 y 30
b) Los resultados obtenidos cuando se lanza una moneda al aire hasta que resulten tres águilas. Sugerencia : elabora un diagrama de árbol.
2.- Complementa las siguientes llaves indicando los puntos muestrales que resultan al lanzar dos dados:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1),
S =
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3.- Un experimento consiste en lanzar primero un dado y después una moneda, siempre y cuando el número en el dado sea par. Si el resultado es impar, la moneda se lanza dos veces. Dibuja un diagrama de árbol que muestre los 18 elementos del espacio muestral.
4.- En una organización estudiantil se va a nombrar un presidente, un tesorero y un secretario. Si hay 3 estudiantes elegibles para presidente (I, II, III), 2 para tesorero (A, B) y 2 para secretario (X, Y), construye un diagrama de árbol que muestre las posibles alternativas para conformar el comité.
Eventos
Con frecuencia, en los experimentos estadísticos es de un interés especial la ocurrencia de ciertos resultados; entonces un evento es un conjunto particular de resultados dentro de un espacio muestral. Por ejemplo, ¿cuál sería el evento “A” de que en la selección de tres artículos de un proceso de manufactura, solo uno de ellos sea defectuoso?
Evidentemente la respuesta está en el espacio muestral:
S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}
Entonces el evento “A” queda como sigue:
A = {DNN, NDN, NND}; P(A) = 3/8 = 37.5% Un evento es un subconjunto de un espacio muestral
Ejemplos
1.- Cuando se lanzan dos dados. Define el evento “B” en que la suma de los números de las caras arriba de los dados sea mayor o igual a 10.
B = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Diagramas de Venn Euler
Es común que los eventos se representen gráficamente con los llamados diagramas de Venn, los cuales consisten en dibujar cualquier figura cerrada, generalmente un rectángulo y dentro de ellos incluir los puntos muestrales o describir las características de éstos. Por ejemplo, si representamos el conjunto
