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2
p
x
2
Ejercicios ResueItos de Microeconomía
Docente: MSc. AIcides de Jesús PadiIIa Sierra
1 1
La función de utiIidad deI consumidor está dada por: U ( x 1
, x 2
) = x
2
2 ,
1 2
sujeta a p
1
x
1
+ p
2
x
2
= m
a. CaIcuIe Ias demandas MarshaIIianas y Ias Hicksianas.
b. CaIcuIe Ia función de utiIidad indirecta y Ia función de gasto.
c. A través de Ia Identidad de Roy caIcuIe Ias MarshaIIianas.
d. A través deI Lema de Shepard caIcuIe Ias Hicksianas
Respuesta:
Como
1 1
U ( x 1
, x 2
) = x
2
2
1 2
s.a :
p
1
x
1
+ p
2
x
2
= m
a. CaIcuIe Ias demandas MarshaIIianas y Ias Hicksianas.
a.1. Demandas MarshaIIianas
UtiIizando Ia ReIación MarginaI de Sustitución RMS:
& U ( x , x )
1 1 p x
2
1 2 1
& x 2 x
2 p
1
x
2 p
2
1 1
2 p
RMS =
1
1
1
2
1
2
& U ( x , x ) (^1) p 1 p
1
(^1 2 )
x
2 2 1 p x
2
(^1 ) 2 2 x
2
2
2 2
p 1
Ahora:
J (^) p ]
x 2
1
|
p x
1
⎝ 2 ]
x 1
J p 2
]
x 2 p
⎝ 1 ]
J p ]
2
Reemplazando en la Restricción Presupuestaria x 2
1
|
p
x 1 para hallar la
⎝ 2 ]
demanda marshalliana 1:
p x + p
J p 1
]
x
= m * p x p
2
1 x
J
= m * x p
2
1 m =
1 1 2 | | 1 1 1 1 1 | 1 |
p 2 ]
p 2 ⎝
p 2 ]
x
x 1
2
2
1 1
p p
p
2
2
p
J p p + p
2 ]
x 1 |
1 2 1
| p 2 ]
= m *
Demanda MarshaIIiana 1:
M
1 p p
p 2
2
x
M
1 2 1
p 2 m
1
p E p + p E
Ahora reemplazamos en la Restricción
presupuestaria
x 1
J (^) p 2
]
p
x 2
para hallar
⎝ 1 ]
la demanda marshalliana 2:
p
J p 2
]
x
2 = m *
2 x
J p
2 2 ]
1 | | 2 2 2 2 2 2 2 | 2 |
p 1 ]
p 1 ⎝
p 1 ]
J 2 + ]
x
2 1 2 = m 2 | |
p 1 ]
Demanda MarshaIIiana 2:
M
2 p p
p 1
2
1 2 2
x =
p 1 m
2
p E p + p E
2 1 2
a.2. Demandas Hicksianas
1 1
Dada la función de utilidad U ( x 1 , x 2 ) = x
2
2
1 2
J p ]
2
Reemplazando x 2
1
|
p
x 1 en la función de utilidad quedaría:
⎝ 2 ]
1
1 J J p ]
2 ]
2 1 J (^) p ]
1
1 J p ]
( x , x ) = x
2
1 x | * = x
2
1 x
2
=^2 x 1 +
1
1 2 1 | | 1
p 2 ] ]
p 2 ]
⎝ 2 ]
x
x
2
2
J (^) p 1
]
U
2
2 1 2
p + p
⎝ 1 2 ]
2
1
1
E
E
E
1 |
1
2
b. CaIcuIe Ia función de utiIidad indirecta y Ia función de gasto
b.1. Función de utiIidad indirecta
Para calcular la función de utilidad indirecta solamente reemplazamos las
demandas Marshallianas en la función de utilidad directa, la cual quedará en
función de los precios y de la renta, de la siguiente manera:
1 1
Dada la función de
utilidad
( x 1
, x 2
) = x
2
2
1 2
Función de utilidad indirecta
1 1
V ( p , p J p , m ) =
2
m
]
2
J
p 1
m
]
2
1 2
p E p + p E
p E p + p E
⎝ 1 1 2 ] ⎝ 2 1 2 ]
La función de utiIidad indirecta puede quedar iguaI a:
( p , p
J
1 | , m ) = m (^) |
2
1
p
2
] J
1 ] |
p
2 |
1 2
1
1 |^ |^
1 1
p
2
E p + p E^2 |^ |^ p
2
E p +^ p^ E
2 ] ⎝ 2 1 2 ]^ ∫
Entonces:
1
p p
+ p E^2 + p E p + p^2
V ( p ,
p , m ) = m
2
|
2 1 2 1 1 2
| (^1 2 1 ) | p
2 p
2
E p + p E
1 |
E p + p E 2 E p + p E
V ( p , p , m ) = m
2 |
1 2 1 2
| * (^1 2 1 ) | p
2 p
2
E p + p E
1
| E p + p
V ( p , p , m ) = m
2
|
1 2
| (^1 2) | 1 1 p
2 p
b.2. Función de gasto
La función de gasto es la suma de las demandas hicksianas en términos
1
E
E
1
x
2
2
p
2
1 1
e ( p , p
, U )= p
h
* e ( p ,
p
, U )=
p
J p 2
]
2 U
2 p +
J p 1
]
U
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 | p + p
p + p
⎝ 1 2 ] ⎝ 1 2 ]
La función de gasto puede ser igual a:
p p
2
p
2 p
p p
2
2 p
e ( p , p , U )= U
2 |
1 2
1 2
| * e ( p ,
p
, U )= U
2 |
1 2 1 2 |
1 2 |
E p
E
2 E p +
p E
E p + p E
2 |
Factorizando el numerador y ordenandolo quedaría:
p p E p + p E
e ( p , p
, U )= U
2 |
1 2 1 2 |
1 2
E p + p E
2 |
e ( p
1
, p 2
, U )=
U
2 |
E
p 1 p 2
p
1 + E∫
c. A través de Ia Identidad de Roy caIcuIe Ias MarshaIIianas.
1 |
p + p^2
Como la función de utilidad indirecta es igual
a
( p , p , m ) = m
2 |
1 2
|
(^1 2 1 )
| p
2 p
Aplicando la Identidad de Roy hallamos las
Marshallianas:
MarshaIIiana 1:
& V ( p
1
, p 2
, m )
I. Roy E x
E= –
& p 1
& V ( p , p ,
m )
M
1
1 2
& m
J )
1 1
1 1 –
1 |]
E p +
p
E 2 p
2 p
2
E p +
p
E^2
p (^) 2 p
2 | |
| m
1 2
2
1 2 1 2
| |
& ( p
1
, p 2
, m ) |
& p
p 1 p 2
1
1
2
1 2
I. oy E x E= –
1 = – |^
1
& ( p , p , m ) ) 1 |
1 |
E p + p E^2
& m
m
2 |
1 2
|
1 1
p 2 p 2 | ∫
]
1 2
& m
1
1
1
E p
E
E
1
1
E p
1
E p
E
p
E
2
1
p
1
p
]
1
p
1
2
1
E
p
p
2
1 2
J )
1
1 1
1
1
1
1 |]
E p + p E 2 p
2 p
2
– E p +
p
E^2 p
2 p
2 | |
m
2 |^2
1 2 2
1 2 1 2
| |
& V ( p
1
, p 2
, m ) |
& p
p 1 p 2
I. Roy E x E= –
2 = – |^
2
& V ( p , p ,
m )
1 |
E p + p E^2
& m
m
2
|
1 2
|
1 1 | |
p 2 p (^2) | ∫
]
J 1
1 1 1 1
1 1
1
1 1 1 |]
| m
2 |
E p + p E 2 p
2 p
2 p
2 p
2
– E p
+ p E^2 p
2
p 2 p
2 p
2 | | | 1 2
I. Roy E x E= –
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
1 2 | ∫
m
2
E p + 2
J ) – ]
1 1 |
]
m |E p + p E 2 p p – E p + p E 2 p |
I. oy E x E= – |
1 2 1 2 1
E p + 2
2 1 2 | ]
J) –
1
(^2) p p | 1 2
)
E
p
+ p E^2 p
I. oy E x E= – m |
1
2 1
E p + 2
2 1 2
E p + p 2
2 | ]
I. oy E x E= – m
J 1
1 ]
J p 2
]
1
E p + p E p
p E p + p E
I. oy E x E= –
m
1 2 2 ]
]
⎝ 2 1 2 ]
1
p E p + p E
|
⎝ 2 1 2 ]
Demanda MarshaIIiana 2 utiIizando Ia Identidad de Roy:
I. oy E x
E=
p 1
]
m 1 |
p 2
p
2 ]
d. A través deI Lema de Shepard caIcuIe Ias Hicksianas.
Como la función de gasto es e ( p
1
, p 2
2 |
E
p 1
p 2
p
1 +^ E∫
J
J
1
1 2
1
