ensayo integracion definida, Apuntes de Métodos Computacionales

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Ensayo sobre la derivación e integración

numérica

Luis Ángel Ramirez Flores

27 DE MARZO DE 2020

Derivación numérica.

El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene por qué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas. Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciación como veremos a continuación. Fórmulas de diferencias de dos puntos Este proceso de paso al límite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar un límite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito pero pequeño se cumpla: Es más, la misma definición de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valor real para la derivada. El problema es que esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) esté seriamente afectada por el error de redondeo. La ecuación (2.1) es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre la precisión de esta aproximación. Teorema. Sea f(x) ∈ C^1 (a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que: Demostración. Escribamos la aproximación de Taylor para la función en un punto x+h: Reordenando la expresión anterior queda demostrado el teorema.

Usando los desarrollos de Taylor de f(x+h) y f(x+2h) se encuentra la llamada fórmula de diferencia adelantada de tres puntos que es: Reemplazando h por −h en (2.3) obtenemos una fórmula de diferencias retrasadas de tres puntos De todas estas, la fórmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio, menor error de truncación y la que requiere menos evaluaciones de la función, siendo por lo tanto más eficiente desde el punto de vista computacional. Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya.

Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.

En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función continua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema Fundamental del Cálculo Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) una anti derivada de f(x). Entonces: El problema en la práctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la antiderivada requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como:

la cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo. REGLA DEL TRAPECIO Corresponde al caso donde n=1 , es decir : donde f 1 (x) es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los datos: x a b y f(a) f(b) sabemos que este polinomio de interpolación es: Integrando este polinomio, tenemos que: Que es la conocida Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el área del trapecio que se forma. REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO Suponemos que tenemos los datos: a xm b f(a) f(xm) f(b) donde xm es el punto medio entre a y b.

REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS

Este caso corresponde a n=3 , es decir, donde f 3 (x) es un polinomio de interpolación para los siguientes datos: x 0 x 1 x 2 x 3 f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) Y donde a= x 0 , b= x 3 y x 1 , x 2 son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo [a,b]. Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula: donde h = (b-a) / 3. Debido al factor 3h / 8 es que se le dio el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener: 5.3 Integración con intervalos desiguales. Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico: 1 .- Simpson 3/ Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados. 2 .- Simpson 1/ Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados. 3 .- Regla Trapezoidal Solo se aplica si no se cumple (1) y (2)

Ejemplo Evaluar 1 usando la siguiente tabla: x 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.95 1. f(x) 0 6.84 4 4.2 5.51 5.77 1 Solución. Vemos que en el intervalo [0,0.01] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3. Así, tenemos las siguientes integrales: Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores: 5.4 Aplicaciones. · Método del trapecio Ejemplo 1 : Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:

Solución Identificamos n=3 y la partición correspondiente: Al considerar los puntos que dividen en tres partes iguales a cada subintervalo, tenemos los siguientes datos: Sustituyendo todos los datos en la fórmula, obtenemos: De acuerdo a los ejemplos vistos, resulta evidente que la regla de Simpson de 3/8, es más exacta que la de 1/3 y a su vez, ésta es más exacta que la regla del trapecio. En realidad, pueden establecerse cotas para los errores que se cometen en cada uno de estos métodos. Bibliografía Álvarez, C. B. (1997). Métodos Numéricos. In Elementos estructurales con materiales polímeros: Ferrol, 3 a 5 de julio de 1996 (pp. 243-266). Infante, J. A., & Rey, J. M. (1999). Métodos numéricos. Teoría, problemas y prácticas con MATLAB, Ed. Gomes, R. B., & da Rocha, L. V. L. (2012). Cálculo Numérico.