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Dinámica
Unidad 3
Energía Potencial
La energía asociada con la posición se llama energía potencial, lo que significa es que hay energía asociada al peso de un cuerpo y a su altura sobre el suelo. Para definir la energía potencial, consideremos un cuerpo de masa “m” que se mueve verticalmente (eje y). La fuerza que actua principalmente es el peso, pero también pueden actuar otras fuerzas. Suponemos que el cuerpo permanece muy cerca de la superficie terrestre que el peso es constante. Lo que buscamos es conocer el trabajo efectuado por el cuerpo cuando este cae de una altura y 1 a una altura y 2 , como el peso y el desplazamiento tienen la misma dirección, el trabajo es positivo. W (^) T = F d = W ( y 1 − y 2 )= mgy 1 − mgy 2 [ N m = J ]
Esta expresión también es correcta cuando sube, donde el trabajo total es negativo ya que el peso y el desplazamiento tienen direcciones opuestas. La energía potencial debida a la gravedad se define como: U = mgy [ J ]
El trabajo total expresado en términos de la energía potencial gravitacional se escribe de la siguiente manera, sabiendo que la energía va de la posición final a la inicial. W (^) T = U 1 − U (^) 2 =−( U (^) 2 − U (^) 1 )=−Δ U
El signo negativo es fundamental, ya que si el cuerpo sube (“y” aumenta), lo que implica que el trabajo realizado por la gravedad es negativo y la energía potencial aumenta. Si el cuerpo baja (“y” disminuye), por lo tanto la gravedad realiza trabajo positivo y la energía potencial se reduce.
Conservación de la Energía Mecánica
Como se vio en la sección de energía cinética, el teorema trabajo-energía indica que el trabajo total efectuado sobre el cuerpo es igual al cambio de su energía cinética. Si la única fuerza que actúa es debida a la gravedad, entonces el trabajo total es igual al cambio de la energía potencial. Por lo tanto al considerar que las fuerzas son conservativas: Δ K =−Δ U → K 2 − K (^) 1 = U (^) 1 − U (^) 2
al juntar las partes iniciales y las partes finales, se tiene: K 1 + U 1 = K 2 + U (^) 2 1 2 mv^1
(^2) + mgy 1 = 1 2 mv^2
(^2) + mgy 2
donde la energía mecánica total del sistema se define como: E = K + U [ J ]
Ejemplo: En un día una alpinista de 75 kg asciende desde el nivel de 1,500 m de un rsico vertical hasta la cima a 2,400 m. El siguiente día, desciende desde la cima hasta la base del risco, que está a una elevación de 1,350 m. ¿Cuál es su cambio en energía potencial durante el primer día? ¿Cuál es su cambio en energía potencial durante el segundo día?
Solución: Para el primer día tenemos que la energía potencial es: Δ U = U (^) f − U (^) o = mg ( y (^) f − yo )=( 75 kg )(9.81 m / s^2 )( 2400 m − 1500 m )=662.17 kJ
Para el segundo día la energía potencial es: Δ U = U (^) f − U (^) o = mg ( y (^) f − yo )=( 75 kg )(9.81 m / s^2 )( 1350 m − 2400 m )=−772.53 kJ
Ejemplo: Un nadador de 72 kg salta a la vieja piscina desde un trampolín que está a 3.25 m sobre el agua. Use la conservación de la energía para obtener su rapidez justo al momento de llegar al agua: a) si él tan sólo se tapa la nariz y se deja caer. b) si se lanza valientemente directo hacía arriba a 2.5 m/s. c) si se lanza hacía abajo a 2.5 m/s.
Solución: a) Como se deja caer, la rapidez inicial es cero, la posición final es cero, ya que la posición final es
justamente en la superficie del agua, de la conservación de la energía 12 mvo^2 + mgyo = 12 mv^2 f^ + mgy (^) f se
tiene:
0 +( 72 kg )( 9.81 m / s^2 )(3.25 m )=^12 ( 72 kg ) v^2 f^ + 0
la dirección de la rapidez no contribuye para el cambio de la energía. Esto mismo se considera para el caso de la gravedad, ya que no se considera el signo de la gravedad para los movimientos como se había visto anteriormente en los problemas de cinemática. Por lo tanto el resultado para este inciso es:
v f =√ m^2 (^12 mvo^2 + mgyo )=√(−2.5 m / s )^2 +( 2 )( 9.81 m / s^2 )(3.25 m )=8.36 m
Como ejercicio para ustedes, se les deja que resuelvan este problema mediante un análisis por cinemática, esto para que se den cuenta de la relación entre las ecuaciones cinemáticas y la conservación de la energía.
