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Tipo: Tesis
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Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia 2011
A mi familia, por su constante apoyo, quienes
con su paciencia y amor me acompañaron en
esta etapa de crecimiento personal,
académico y profesional.
La mayoría de las ideas fundamentales de la
ciencia son esencialmente sencillas y, por
regla general pueden ser expresadas en un
lenguaje comprensible para todos.
Albert Einstein
A Dios por darme las facultades necesarias y la fuerza para empezar y afrontar los retos
de cada nuevo día.
A la profesora Martha Cecilia Moreno Penagos, del departamento de matemáticas, por su
disposición, orientación y proyección permanente como directora del trabajo,
contribuyendo a fortalecer mi conocimiento disciplinar y desempeño como profesional de
la Educación.
A mis compañeras Diana Marcela Vargas Contreras, Rosa Dulfay Roa Díaz y Flor María
Jiménez Aponte, por su constante apoyo y trabajo en equipo
Contenido
Pág.
Resumen ........................................................................................................................ IX
Lista de gráficas .......................................................................................................... XIII
Contenido XIII
Lista de gráficas
Pág. Gráfica 3.1: Representación gráfica de = = 2 2 + 12 + 20 [15]. ..................... 21
Gráfica 3.2: Elementos básicos en la construcción de un modelo [20]. ..................... 22 Gráfica 3.3: Desplazamiento de un cuerpo que cae libremente [26]. ......................... 23
Gráfica 3.4: Pendiente de la recta en cada intervalo [26]. ......................................... 24 Gráfica 4.1: Imagen simulación energía cinética ....................................................... 39
Gráfica 4.2: Imagen del momentum lineal para cualquier valor de ...................... 40
Gráfica 4.3: Imagen experiencia lanzamiento de proyectiles. .................................... 40
Lista de tablas
2 Introducción
mostrando algunas perspectivas a futuro. Posteriormente Villa [39] da una visión acerca de lo que significa el sentido de realidad que tienen los docentes y la influencia que esta tiene en los espacios en los que se desenvuelve y el mismo autor en [37] muestra como el concepto de función lineal puede interpretarse como un modelo matemático que atrapa la variación y el cambio de magnitudes. Mesa [18] presenta una propuesta para validar y construir el concepto de función cuadrática vía la modelización de fenómenos de variación, evidenciando la importancia del trabajo de Galileo en esta construcción y el mismo autor en [19] muestra como los procesos de modelación son una vía para la construcción del conocimiento matemático escolar.
Teniendo en cuenta los antecedentes y las directrices presentadas por el MEN [20] acerca de la modelación matemática como proceso general para la adquisición del conocimiento matemático, este trabajo pretende principalmente profundizar en el estudio y análisis disciplinar, histórico y didáctico del concepto de función, con énfasis en la función cuadrática, como herramienta para modelar fenómenos físicos; mediante la revisión histórica, epistemológica y conceptual de los aspectos disciplinares, fundamentando la estructuración de unidades didácticas, que faciliten el aprendizaje del concepto de función cuadrática y su posterior aplicación en la modelación de situaciones físicas conducentes a modelos cuadráticos.
La metodología a seguir, requiere de una revisión tanto histórica, como de los estudios relacionados con las concepciones y los obstáculos epistemológicos del concepto de función, así como la profundización disciplinar del mismo. Uno de los aspectos fundamentales es el análisis y la pertinencia de la modelación matemática, que será aplicada a la población estudiantil de la Institución Educativa El Bosque, ubicada en el barrio San Mateo del municipio de Soacha; esta población en su mayoría es de los estratos 1 y 2 en los que hay alto número de población desplazada y reinsertada. La propuesta didáctica se desarrollará atendiendo a los estándares propuestos por el MEN[21], para las áreas de matemáticas y ciencias naturales en aspectos relativos al pensamiento variacional como: describir situaciones, hallar regularidades, descubrir patrones, aspectos que permiten aproximarse al conocimiento científico de manera natural, formular y responder preguntas, identificar y modificar variables relacionadas con fenómenos naturales.
La propuesta realizada es la construcción de unidades didácticas fundamentadas en algunos principios constructivistas con miras hacia el logro de un aprendizaje significativo. Las unidades didácticas tienen como eje central la modelación a partir de situaciones problema de contextos físicos, en estas se plantean actividades para llegar al modelo matemático, por ello, se tienen en cuenta las siguientes etapas: descripción de la situación problema, planteamiento de hipótesis e identificación de magnitudes variables, experimentación real o virtual, toma y análisis de datos, formulación, generalización e identificación del modelo matemático y finalmente la validación de hipótesis mediante el uso del modelo matemático.
El propósito de la unidad didáctica centrada en la modelación, es el fortalecimiento del proceso enseñanza aprendizaje del concepto de función cuadrática, generando espacios de reflexión y análisis, en los cuales el estudiante comprende la importancia de la obtención del modelo matemático, mediante un proceso complementario al algorítmico.
1. Evolución histórica del concepto de
función
Algunos autores reconocen la aparición del concepto de función desde los babilonios, pasando por los griegos, los árabes y teniendo en cuenta los aportes fundamentales de matemáticos como Oresme, Galileo, Descartes, Leibniz, Newton, Euler, hasta llegar a las concepciones más recientes relacionadas con la teoría de conjuntos.
Aunque este concepto formalmente constituido es reciente, se realiza un rastreo, encontrando vestigios de sus inicios en las tablillas de los babilonios en donde se realizaban estudios principalmente de astronomía y teoría de números. Los griegos también realizaron grandes aportes a la matemática y la geometría, estudiaron fenómenos naturales en los que se involucraba el concepto de variabilidad. En la edad Media se destacan los aportes de Oresme, quien fue el primero en representar gráficamente una función. En el siglo XV y XVI Galileo, cuyo aporte más importante fue el estudio del movimiento, mediante el uso de la experiencia. Descartes y Fermat en el siglo XVII, desarrollaron la geometría analítica que permitiría la representación por medio de coordenadas y dio paso a la formación del análisis infinitesimal.
La evolución del concepto de función se encontró con diferentes obstáculos que impidieron que este surgiera con anterioridad, entre ellos la inconmensurabilidad, la proporcionalidad, la disociación entre número y magnitud. Otros en cambio, beneficiaron su desarrollo tales como el perfeccionamiento del simbolismo algebraico, la creación de la trigonometría como rama particular, el interés por la astronomía y los estudios de movimiento.
A continuación se realiza un compendio por etapas de la forma como evolucionó el concepto de función, los temas de interés en cada una de las ellas, los principales exponentes, sus respectivos aportes al concepto y los obstáculos que se generaban.
Evolución histórica del concepto de función 5
Tabla 1.2 : Concepto de función en la etapa de la edad media [1, 14, 25, 27].
Etapa: edad media Autores y aporte Temas de interés Explicación racional de los fenómenos.
Explicación de sucesos sujetos al cambio y al movimiento
Roger Bacon (1214 - 1294). Las matemáticas griegas son un instrumento esencial para el estudio de los fenómenos de la naturaleza. Estudio del movimiento local no uniforme partiendo de las doctrinas Aristotélicas
Robert Grosseteste (1175 – 1253). Analiza bajo la terminología Aristotélica fenómenos como luz, calor, densidad, velocidad que pueden poseer varios grados de intensidad. Empiezan a aparecer conceptos fundamentales como cantidad variable, entendida como un grado de cualidad, velocidad instantánea o Puntual, y aceleración, todos ellos íntimamente ligados al concepto de función. Oresme (1323 - 1382) Inicia la representación dibujando por primera vez una función, trasladando al plano lo que los geógrafos habían hecho sobre la esfera; consideraba que todo lo que varía se puede imaginar como una cantidad continua representada sobre un segmento rectilíneo.
Obstáculos epistemológicos La concepción de variabilidad como una característica exclusiva de las magnitudes físicas se constituye en un obstáculo epistemológico; los matemáticos de esta época consideraban las magnitudes físicas y las proporciones entre ellas como algo diferente a las igualdades estrictamente numéricas. Existía un nivel desproporcionado entre el nivel de abstracción de las teorías y la falta de un instrumento matemático para su desarrollo. Continuaba también la disociación entre número y magnitud.
Tabla 1.3 : Concepto de función en la etapa del siglo XV y XVI [1. 14, 25, 27].
Etapa del siglo XV y XVI. Desarrollo de la notación algebraica
Autores y aporte
Temas de interés Perfeccionamiento del simbolismo algebraico.
Profundización en la trigonometría e instauración de ella como rama particular.
Muller – Regiomontano (1436 – 1476). Escribió la obra “Cinco libros sobre triángulos de cualquier tipo” en la cual la trigonometría fue separada de la astronomía y tratada como una ciencia independiente de las matemáticas. Construyó múltiples tablas de funciones trigonométricas que más adelante recibieron la denominación de tangente y cotangente.
6 El concepto de función y sus aplicaciones en situaciones relacionadas con fenómenos físicos, que conducen a un modelo cuadrático, una propuesta para trabajar en el grado noveno
Tabla 1.3 : (Continuación).
Etapa del siglo XV y XVI. Desarrollo de la notación algebraica
Autores y aporte
Temas de interés
Elaboración de símbolos para las operaciones matemáticas.
Perfeccionamiento de las notaciones sincopadas.
Estudio profundo de la astronomía.
Estudio del movimiento: velocidad, aceleración, distancia recorrida.
Logaritmos, construcción de tablas.
Progresiones aritméticas y geométricas.
Galileo Galilei (1564 – 1642). Se empeñó en buscar los resultados y las relaciones que provienen de la experiencia más que los que provienen solo de la abstracción. Introdujo lo numérico en las representaciones gráficas, expresó las leyes del movimiento, incluyó en ellas el lenguaje de proporciones y con ellas las relaciones inversa y directamente proporcional; con estos trabajos evidencia el trabajo con funciones y variables.
Nicolás Chuquet (1455 - 1488). Estudió simultáneamente la progresión aritmética 1 , 2 , 3 , … , … y la progresión geométrica, , , , … , …, observando que si hacía corresponder los términos de igual rango de estas progresiones, la suma de dos números de la progresión aritmética coincidía con el producto de los dos números correspondientes de la progresión geométrica.
Stieffel (1487 – 1567).Completó la observación de Chuquet y condujo a la definición de los logaritmos. Mediante estos dos aportes se gestó la idea moderna de función definida directamente por una correspondencia determinada entre la variable dependiente y la independiente.
Neper (1550 - 1617). Introdujo los logaritmos mediante la comparación de dos movimientos, uno uniforme y otro en el que su velocidad se supone proporcional a la distancia a un punto fijo. Construyó la primera tabla de logaritmos utilizando progresiones engendradas por fluxión, es decir, movimiento continuo.
Viete (1540 – 1603). Contribuyó en el avance del lenguaje común al simbólico, Viete escribía las magnitudes conocidas como consonantes y las desconocidas como vocales.
Obstáculos epistemológicos
Desde los griegos las proporciones se escribían en forma homogénea y no como una igualdad en forma de fracciones, esta forma de escribir las proporciones ocultó por completo el carácter funcional de las proporciones por lo que se considera como un obstáculo epistemológico. La concepción geométrica de las variables es otro aspecto que se considera como obstáculo, que fue superado por Descartes y Fermat al considerar que el producto de dos o más cantidades no se identifica con áreas y volúmenes, sino que establece un isomorfismo entre los segmentos y los números reales.
