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10. El ciclo de Carnot.
El ciclo de Carnot es fundamental para la comprensi´on de la Segunda Ley como vere- mos m´as adelante. Sadi Carnot lo introdujo en 1824, de manera te´orica, como parte de su discusi´on para comprender el funcionamiento de las m´aquinas t´ermicas de su ´epoca. En gran medida, podemos afirmar, la m´aquina de Carnot es la m´axima idealizaci´on de una m´aquina t´ermica real.
Antes de discutir dicho ciclo en detalle, veamos algunos aspectos generales de cualquier proceso quasiest´atico que sea un ciclo. Un ciclo es un proceso que inicia y termina en el mismo estado termodin´amico. Esto implica, inmediatamente, que el cambio de cualquier variable de estado es cero, i.e. ∆D = 0 con D cualquier variable de estado. En particular, el cambio de la energ´ıa es cero ∆E = 0. Sin embargo, el trabajo y el calor no son cero. Ve´amos la Figura 12 en la que se muestra el mismo ciclo, s´olo que realizado, uno en el sentido “de las manecillas del reloj” (que llamaremos en el sentido positivo) y el otro en el sentido contrario (sentido negativo).
p
V
p
V
W = " # pdV < 0
Q = " W > 0
ciclo positivo
ciclo negativo
W = " # pdV > 0
Q = " W < 0
"máquina"
"refrigerador"
Figura 12: Ciclo arbitrario realizado en el sentido positivo (m´aquina) y en el sentido negativo (refrigerador).
En el ciclo en el sentido positivo, el trabajo es igual a menos el ´area encerrada por el ciclo y, por lo tanto es negativo, W < 0. Hallamos que el sistema hace trabajo sobre los alrededores; este es trabajo “´util” que puede usarse para mover algo externo, e.g. para levantar un peso. Llamamos a ese uso del proceso una “m´aquina”. Note que, por la
Primera Ley, el calor es Q = −W > 0. Es decir, existe una transferencia neta de calor de los alrededores al sistema.
Para el caso en el sentido negativo, el trabajo ahora es positivo W > 0 y el calor negativo Q < 0. Para que este ciclo ocurra, los alrededores deben hacer trabajo sobre el sistema y el sistema debe transferir una cantidad neta de calor a los alrededores. Llamamos a este caso un “refrigerador”. M´as adelante ser´a claro este adjetivo.
Consideremos al ciclo de Carnot en la direcci´on positiva, como lo indica la Figura 13. El ciclo es 1 → 2 → 3 → 4 → 1. Aunque el bosquejo de la Figura 13 est´a inspirado considerando al sistema como un gas ideal, resaltamos que dicho ciclo es v´alido para cualquier sustancia que se use, siguiendo los mismos pasos; esto lo confirmaremos cuando estudiemos las consecuencias de la Segunda Ley. El ciclo consta de los siguientes procesos:
1 → 2 Expansi´on isot´ermica a temperatura TH. Los alrededores ceden una cantidad de calor Qin > 0 al sistema. El sistema realiza trabajo WE < 0 sobre los alrededores.
2 → 3 Expansi´on adiab´atica. El sistema se enfr´ıa de TH a TL. Evidentemente, TH > TL. El calor transferido es cero y el sistema hace trabajo WAE < 0 sobre los alrededores.
3 → 4 Compresi´on isot´ermica a temperatura TL. El sistema cede a los alrededores una cantidad de calor Qout < 0 y los alrededores realizan trabajo WC > 0 sobre el sistema.
4 → 1 Compresi´on adiab´atica. El sistema se calienta de TL a TH. El calor transferido es cero y los alrededores hacen trabajo WAC sobre el sistema.
!
V
!
p
!
1
!
2
!
3
!
4
!
TH
!
TL
Figura 13: El Ciclo de Carnot.
n´umero de ´atomos en el gas y llamemos V 1 , V 2 , V 3 y V 4 a los vol´umenes en los puntos del ciclo.
1 → 2 Expansi´on isot´ermica a temperatura TH. El gas se expande isotermicamente de V 1 a V 2. Como el gas es ideal la energ´ıa no cambia,
∆E 12 = E 2 − E 1 = 0. (94)
El trabajo es
WE = −
∫ (^2)
1
p dV
= −N kTH
∫ (^) V 2
V 1
dV V = −N kTH ln
V 2
V 1
Como ∆E 12 = 0, tenemos que Qin = −WE ,
Qin = N kTH ln
V 2
V 1
Los signos son correctos porque V 2 > V 1.
2 → 3 Expansi´on adiab´atica. El gas se expande adiab´aticamente de V 2 a V 3 , y se enfr´ıa de TH a TL. Como el proceso es adiab´atico Q 23 = 0. Como es un gas ideal el cambio de la energ´ıa es ∆E 23 = CV (TL − TH ) , (97)
donde la capacidad calor´ıfica depende del gas en cuesti´on (i.e. si es monoat´omico o diat´omi- co) pero sabemos que s´olo es funci´on de N. El trabajo es
WAE = ∆E 23 = CV (TL − TH ) < 0. (98)
Adem´as, tenemos la siguiente relaci´on por ser un proceso adiab´atico,
TH V 2 γ −^1 = TL V 3 γ −^1 (99)
donde γ = Cp/CV > 1. Esta ecuaci´on puede expresarse de una forma m´as ´util, como necesitaremos adelante: (^) ( V 2 V 3
)γ− 1
TL
TH
3 → 4 Compresi´on isot´ermica a temperatura TL. El gas se comprime isot´ermica- mente de V 3 a V 4. De nuevo, como el gas es ideal,
∆E 34 = E 4 − E 3 = 0. (101)
El trabajo es
WC = −
∫ (^4)
3
p dV
= −N kTL
∫ (^) V 4
V 3
dV V
= N kTH ln
V 3
V 4
Como ∆E 34 = 0, tenemos que Qout = −WC ,
Qout = −N kTH ln
V 3
V 4
Los signos son correctos porque V 3 > V 4.
4 → 1 Compresi´on adiab´atica. El gas se comprime adiab´aticamente de V 4 a V 1 , y se calienta de TL a TH. Como el proceso es adiab´atico Q 41 = 0. Como es un gas ideal el cambio de la energ´ıa es ∆E 41 = CV (TH − TL) , (104)
El trabajo es
WAC = ∆E 41 = CV (TH − TL) > 0. (105)
Y tenemos ahora la siguiente relaci´on por ser un proceso adiab´atico,
( (^) V 1 V 4
)γ− 1
TL
TH
Tenemos las siguientes conclusiones. El cambio de energ´ıa total en el ciclo es
∆E = ∆E 12 + ∆E 23 + ∆E 34 + ∆E 41 = ∆E 23 + ∆E 41 = 0 , (107)
donde usamos los resultados de cada proceso del ciclo, en particular, las ecs. (97) y (104) nos muestran que ∆E 23 = −∆E 41. Como debe ser, el cambio total de la energ´ıa en un ciclo es cero.
El trabajo total (´util) es
WT = WE + WAE + WC + WAC = WE + WC
= −N kTH ln
V 2
V 1
V 3
V 4
es que los resultados emp´ıricos usados, pV = N kT , E = CV T y CV > 0 son, por supuesto, consistentes con las Leyes de la Termodin´amica.
Ba˜no t´ermico. De manera deliberada, introdujimos arriba el concepto de fuente t´ermica a temperatura T , que tambi´en se le llama ba˜no t´ermico, sin dar un explicaci´on apropiada. Ahora proveemos dicha discusi´on. Llamamos ba˜no t´ermico a un cuerpo mucho m´as grande que el sistema bajo estudio, en equilibrio t´ermico a temperatura T y que s´olo transfiere calor al sistema (lo cede o lo absorbe) pero que no realiza ning´un trabajo. El que sea muy grande es que NB >> N con NB el n´umero de part´ıculas del ba˜no y N el del sistema. Como las capacidades calor´ıficas son extensivas, CBV >> CV , en notaci´on obvia. Supongamos que el ba no le transfiere una cantidad de calor −Q al sistema, entonces el cambio de la energ´ıa del ba˜no es
∆EB = Q = CVB ∆T. (115)
donde ∆T es el cambio que sufre la temperatura del ba˜no. Note que ∆EB es finita, es la cantidad de calor −Q transferida al sistema. Sin embargo, si el ba˜no es muy grande, podemos considerlo como “infinito”, es decir CBV → ∞. Pero como Q es finita, tenemos que ∆T → 0. Es decir, un ba˜no t´ermico es tan grande, con respecto al sistema en cuesti´on, que al ceder o absorber calor de ´este, su temperatura no cambia. En otras palabras, tal cambio de energ´ıa es tan s´olo una perturbaci´on al ba˜no ... por supuesto que es una idealizaci´on, pero que en la vida real ocurre! por ejemplo, una persona haciendo ejercicio libera calor, sin embargo, la temperatura de la atm´osfera no es alterada.
