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Ejercicios de Matemáticas
- Sea
y 0 0
x 1 0
yN 1 0 0
M.
a) Calcula x e y para que MN = NM. b) Calcula M^1997 y M^1998 Solución: a) MN
y 0 0
x 1 0
x 1 0
y 0 0
; NM =
y 0 0
x 1 0
0 0 y
0 1 x
x 1 0
y 0 0
0 0 y
0 1 x
^ ^ y = 1, x = 0
b) M^2 =
I, M^3 =
M, M 4 = I, M 5 = M, ...
Se ve que si el exponente es par es igual a la matriz unidad y si es impar es igual a M, por lo tanto M = M y M 1998 = I. 1997
- Se sabe que 1 z 3 1
y 0 1
x 5 1 . Explicando que propiedades de los determinantes se utilizan y sin desarrollar,
calcular el valor de z 2 z 3 z 2
x 2 x 5 x 2
y 2 y y 2
Solución:
z 2 z 3 z 2
x 2 x 5 x 2
y 2 y y 2
z 2 z 3 z 2
y 2 y 5 y 2 ( 1 ) x^2 x x^2
z 3 z 2
y 5 y 2
x 0 x 2 z 2 z z 2
y 2 y y 2 ( 2 ) x^2 x x^2
z 3 z 2
y 5 y 2 ( 3 ) x^0 x^2
z 3 2
y 5 2
x 0 2 z 3 z
y 5 y 4 x^0 x z 3 1
y 5 1
x 0 1 ( 5 ) 2 = 2
(1) Al Permutar 1ª y 2ª fila el determinante cambia de signo. (2) Los elementos de la 2ª columna los descomponemos en dos sumandos. (3) El primer determinante tiene dos columnas proporcionales, por lo tanto es igual a cero. (4) Los elementos de la 3ª columna los descomponemos en dos sumandos. (5) El primer determinante tiene dos columnas iguales y por lo tanto es igual a cero, el segundodeterminante tiene la 3ª columna multiplicada por 2 luego el determinante queda multiplicado por 2.
- Sean las matrices:
A 1 1 0 , B 3 2 1 , I 0 1 0
^
a) Estudiar si existe algún valor de R para el cual se satisfaga A I 2 B.
b) Teniendo en cuenta que
x y z 1 0 2 1 1 1 3 , determinar el valor de
x 1/ 4 4 y 0 4 z 1/ 2 12 Solución:
a)
A I 1 1 0 0 0 1 1 0
^
^
2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 2 6 3 4 A I 1 1 0 1 1 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 0 1 0 2 1 1 4 1 5
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (^) (^) (^) (^) (^) (^) (^) ^ ^ (^) ^ ^ Igualando, por ejemplo, los elementos a 13 : 2 4 2. Ahora basta comprobar que para 2 los restantes valores de ambas matrices son iguales.
b) (1)^ (2)^ (3)
x 1/ 4 4 x y z x y z 1 x y z y 0 4 1/ 4 0 1/ 2 4 1/ 4 0 2 / 4 4 4 1 0 2 1 z 1/ 2 12 4 4 12 1 1 3 1 1 3
Propiedades aplicadas: (1) A^ At (2) y (3) Extraer el factor común ¼ de la 2ª fila y 4 de la 3ª fila
- Sea la matriz
2 ab b a
ab a b
a ab ab A a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = a. [1 punto] [1,5 puntos]
SOLUCIÓN. a) ( 5 ) 2 2
( 4 ) 2 2 2 2 2
( 3 ) 2 2 2 2 2
( 2 ) 2 2 2 2 2
( 1 ) 2 2 2 2
2 2
2 0 a b a a b^0 0 0 a b
0 a b 0
1 b b a b b a
b a b
1 b b a b b a
b a b
a ab ab a ab b a
ab a b
a ab ab
a 2 a 2 b^2 ^2
Propiedades aplicadas: (1) y (2) sacar factor común a “a” en la primera columna y en la primera fila. (3) (4) y (5) Desarrollo por los elementos de la primera columnaF^2 bF^1 ,F^3 bF^1
- Dadas las matricesA^ ^ ^ ^38 ^13 ^ ,^ I^10 01 a) Comprobar que det A 2 det A ^2 b) Estudiar si para cualquier matriz M^ ^ ^ ac^ db de orden 2 se cumple que^ det M 2 det M ^2 c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen: det M I det M det I Solución:
a) A^2 ^ ^ ^38 ^13 ^ ^38 ^13 ^ ^ ^10 01 ^ det A^2 ^10 01 ^1
Por otra parte: det A^ ^ ^ ^38 ^13 ^9 ^8 ^1 ^ det A^ ^ 2 ^1 ^2 ^1 Luego, en efecto:^ det A 2 det A ^2
b) ^ 2 2 2 2
M ^ ac^ bd^ ac^ bd^ ^ aac^ ^ bcdc^ abbc^ ^ bdd 2 det M aac^ ^ dcbc^ abbc^ bdd 2
(^) a 2 bc bc d^2 (^) ab bd ac dc (^) a bc^2 a d^2 2 b c^2 2 bcd^2 a bc^2 abcd abcd bcd^2
a d^2 2 b c^2 2 2abcd ad bc^2
det M ac^ bd ad bc (^) det M 2 (^) ad bc^2 luego en efecto: det M 2 (^) det M ^2 M
c) M^ ^ I^ ^ ^ a^ c^ 1 d b 1 ^ det M^ ^ I^ ^ ^ ^ a^ ^1 ^ ^ d^ ^1 ^ ^ bc^ ^ ad^ ^ a^ ^ d^ ^1 bc^ (*) ^ ^
det M ad bc det M det I ad bc 1 (*)
det I 1
Como las igualdades (*) han de ser iguales: ad a d 1 bc ad bc 1 a d 0 d a
luego las matrices M que satisfacen la relación fijada son de la forma: M^ ^ ^ ac^ ba
- Calcular el rango de la matiz A =
, utilizando dos métodos distintos. Solución: A) Por determinantes: El rango de una matriz A de dimensión mxn es el orden del mayor menor no nulo. Como la matriz A no es la matriz cero, su rango es mayor o igual que 1. Para determinar si tiene rango 2, se busca un menor (determinante) de orden 2 no nulo. Por ejemplo: 41 52 5 8 3 0
Para determinar si tiene rango 3, partiendo del menor de orden 2 distinto de cero, se estudiarán todoslos posibles menores de orden 3 que lo contengan. Si todos ellos son nulos, el rango de A es 2. Si por el contrario, alguno de ellos es distinto de cero, el rango es 3. En este caso: 21 0 rangoA 3 2 1 0
0 pero 2 1 1
B) Por Gauss: Rango A = rango
= rango
= rango
- Hallar el rango de la matriz A =
1 a 4 a 2
1 a a 1 a
según los valores del parámetro. Indicar cuando existe la inversa de A (junio 1996) Solución: Como la matriz A es cuadrada calculamos su determinante:
1 a 4 a 2
1 a a 1 a
= a^3 a^2 a + 1 = 0 a = 1, a = 1
Si a 1 y a 1 det (A) 0 rango A = 3
Si a = 1: A =
, rango A = 1, (A tiene dos filas iguales y la tercera es proporcional)
Si a = 1: A =
, el rango de A es menor que tres pues det (A) = 0 y como 11 13 2 0
rango A = 2.
La matriz A tiene inversa cuando a 1 y a 1 pues det (A) 0.
- Halla el rango de la matriz A =
2 a a 1
a 1 21 2 según los valores del parámetro a: Solución: Como la matriz A no es la matriz cero, su rango es mayor o igual que 1. Para determinar si tiene rango 2, se busca un menor (determinante) de orden 2 no nulo. Por ejemplo: 22 21 2 0 Para determinar si tiene rango 3, partiendo del menor de orden 2 distinto de cero, se estudiarán todos losposibles menores de orden 3 que lo contengan.
2 1 2
2 a 1
a 1 2
(a 2) (2 a 1) = 0 a = 2 y a = ½
Rango
1 1 a 1
1 a 2 a 1
2 = rango
0 0 a 1
0 a 1 a 1
2 ; el rango de la matriz será igual al número de filas no nulas. Si a – 1 = 0 la segunda fila tendré todos los elementos igual a 0. La tercera fila tendré todos los elementos nulos si a 2 – 1 = 0 a = 1 ó a = – 1. Si a 1 y a -1 el rango de A será 3 Si a = 1 rango A = rango
y por lo tanto rango A = 1
Si a = – 1, rango A = rango
y rango A = 2 ¿Tiene inversa cuando a = 0? Si a = 0, a es distinto de 1 y dedeterminante de A será distinto de cero tendrá inversa. – 1, por lo tanto rango de A es 3 el
|A| = 2 1 2 4 1 1 1 0 1 1 1
- Calcular la matriz inversa de A =
Solución: a) Se calcula | A | =
b) Se calcula la matriz adjunta de A
A 2 ,A 4 ,A 6 ..
A 21 20 ,A 32 20 ,A 32 21 7 , A 0 ,A 2 ,A 2 ,
31 32 33
11 12 13 21 22 23
Entonces: Adj.(A) =
c) Se calcula la traspuesta de la adjunta: (Adj.(A))t^ =
d) La matriz inversa de A es: A ^1 A^1 Adj .(A )t = ^12
- Halla una matriz X que verifique AX + B = C, siendo:
C
B
A
Solución: AX + B = C , AX = C B, A-1 (^) (AX) = A-1(C B) , (A-1 (^) A)X = A-1(C B) , I X = A-1(C B), X = A Vamos a calcular la matriz inversa de A, A-1(C B) -1:
|A| = 8, Adj. (A) =
, [Adj. (A)] t^ =
, A-1=
412 41 21 1 0
C B =
; X =
412 41 21 1 0
- Halla los valores del parámetro p para los cuales la matriz A =
1 0 p 1
1 p 1 1
p 0 0 no tiene inversa. ¿Tiene inversa para p = 2?. En caso afirmativo calcularla. Solución:
1 0 p 1
1 p 1 1
p 0 0 A
= p^3 p 0 pp^01. Por lo tanto A no tiene inversa para p = 0, 1, 1. Para los
demás valores hay inversa tiene inversa para p = 2. A =
, A 6 ,
A^03010 ,A^21012 ,A 12 03 6 ..
A 00 10 0 ,A 12 01 2 ,A 12 00 0 ,
A 03 11 3 ,A 11 11 0 ,A 11 03 3 ,
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Adj(A) =
, [Adj. (A)] t^ =
A-1=
0 1
21
13 31 21
- Dadas las matrices A = (^) 12 ^0151 , B =
, C = (^) 31 42 , D = (^) 89 173 halla: a) b) La matriz inversa de C.La matriz X que verifique: AB + CX = D. Solución:
- Hallar una matriz (^) X ^ ^ ac^ bdde orden 2 tal que
A ^1 X A B^ siendo A^ ^ ^ ^32 ^11 (^) y B 1 1 2 1 ^ Solución: ^ A ^1 X A B X A A B X A B A ^1 Calculemos A^1 : A (^) ^32 ^11 3 2 1 Adj (A) = (^) 11 32 Adj (A) t (^) ^ 21 31 A ^1 A^1 Adj.( A )t = ^1 2 ^13 Por tanto: X 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 5 2 1 1 9 11 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 6 7 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (^) ^ ^ (^) ^ ^ ^ ^ ^ ^
- a) Probar que 2 2 2 ^ ^ ^
a b c b a c a c b a b c
b) Hallar la solución del sistema de ecuaciones ^ xx^ ^ 2y4y^ ^ 3z9z^ ^02 que además satisface que la suma
de los valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4. Solución:
a) 2 2 2 (1)^2 2 2 2 2 (2)^ (3)
(^1 1 1 1 0 0) b a c a 1 1 a b c a b a c a (^) (b a) (b a) (c a) (c a) b a c a b a c a a b c a b a c a
^ ^ ^ ^ ^ ^ (4) (^) b a (^) c a (^) b 1 (^) a c a (^0) b a (5) (^) b a (^) c a (^) c b Propiedades utilizadas: (1) C2 – C1, C3 – C (2) (3) Sacar factor común en ambas columnas Desarrollo por los adjuntos de la primera fila (4) (5) C2Desarrollo por los adjuntos de la primera fila – C
b) Se debe añadir a las dos ecuaciones dadas la ecuación (^) x y z 4 :
x 2y 3z 0
x 4y 9z 2
x y z 4
^ ^
^ ^
Para resolverlo, aplicamos la regla de Cramer: 0 2 3 2 4 9 x 4 1 1 6 72 48 4 26 13 (^1 2 3 4 3 18 12 2 9 ) 1 4 9 1 1 1
^ ^
1 0 3 1 2 9 y 1 4 1 2 12 6 36 28 14 2 2 2 ^ ^ ^
z 1 1 4 16 4 2 8 10 5 2 2 2 ^ ^ Por tanto: x 13 , y 14 , z 5
- Resuelve el siguiente sistema:
x y z 3
x 2 y 3 z 1
2 x y z 2
Solución: Vamos a resolverlo por Gauss:
11 z = 22 z = . 5y + 7z = Solución: x = 4 1, y = 2. z = 5y = 10 y = 2 ; 2x + y + z = 2 2 2x = 2 x = 1
- Se considera el sistema
x y 2 z 11
x y (a 4 )z 7
x y z 6
a) b) Discútase según los valores del parámetro real a.Resuélvase para a = 4. Solución: a)
1 1 2 11
1 1 a 4 7
1 1 1 6 ,
0 2 1 5
0 2 a 3 13
1 1 1 6
0 0 a 2 18
0 2 a 3 13
1 1 1 6
Si a 2 rango A = 3 = rango A*^ = número de incógnitas el sistema es compatible determinado. Si a = 2
, rango A = 2 rango A*^ = 3 el sistema es incompatible b) Para a = 4 el sistema será compatible determinado.
2z = 18 z = 9, 2y + 9 = 13 2y = 4 y = 2, x 9 2 = 6 x = 5
- Estudiar según los valores del parámetro a el sistema.ax(ax 3 )y^2 y 3 zz 13 Solución: A = (^) a^1 a^2 331 , Aa^1 a^231313 . Vamos a calcular el rango de A: El rango de A es distinto de cero pues | 1 | 0. Menores de orden dos que contengan a | 1 |: a^1 a^2 3 a^3 ^2 aa^3 ^0 a^3 ,a^113 ^3 a^0 a^3. El rango de A será 1 si a = 3 y rango A = 2 si a 3.
- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m y resolverlo:
y 2 z 0
2 x 3 y mz 0
x 2 my 3 z 0 ,
Solución:
| A | 7 m 0 m 0 0 1 2
2 3 m
1 2 m 3
Si madmite la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0. 0 | A | 0 rango A = 3 = número de incógnitas sistema compatible determinado; solo
Si m = 0.
entonces rango A = 2 < nº de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. Solución:xy 32 zz 00 xy 32 zz
z t
y 2 t
x 3 t
- Discutir el sistema
x (a 1 )y az 1
x z 1
ax y z 1 según los valores del parámetro a. Resolverlo en los casos en los que el sistema sea compatible. Solución: Si rango A = rango Ade a anulan al determinante de A, para esos valores ya no es posible que sea determinado.^ = 3 (nº de incógnitas) el sistema será compatible determinado. Veamos que valores
a a (^0) aa 10 1 a 1 a
a 1 1 A 2 a) Si adeterminado: 0 y a 1, | A | 0 rango A = rango A^ = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible
b) Si a = 0 (|A| = 0 rango A < 3) A =
como 11 01 1 0 rango A = 2,
A*^01 01 1 0 , y 0 1 1 1
rango A^ = 3 Por lo tanto rango A = 2 rango A^ = 3 Sistema Incompatible.
c) Si a = 1 (|A| = 0 rango A < 3)
A , 11 01 1 0 rango A = 2
A*^ ,^01 01 1 0 y como la segunda y tercera fila son iguales^ ^ rango A^ = 2 Rango A = 2 = rango A^ < número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado: Resolución del sistema: Si a = 1
x z 1
x y z (^1)
y 0 x^1 z
z t
y 0
x 1 t
Si a 0 y a 1
(^1) a(a 1 ^1 a)a
x^1 a ;^1 a( 11 aa)^1 aa
a 1 1 x ; (^1) a( 1 aa^1 )^1
a 1 1 x a^ a^1
- Un autobús de la Universidad transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: 1) Viajeros que pagan elbillete entero, que vale 75 pta. 2) Viajeros con bono de descuento del 20%. 3) Estudiantes con bono de descuento del 40%. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 3975 pta. Calcular el número deviajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el triple que el número del resto de viajeros. Solución: Sean x los viajeros que pagan billete completo, y los que tienen un 20% de descuento, y z los estudiantes,que tiene un 40% de descuento.
Se cumple que:
z 3 (x y )
75 x 0 , 875 y 0 , 675 z 3975
x y z 80
3 x 3 y z 0
75 x 60 y 45 z 3975
x y z 80
4z = 240 z = 60, y = 15, x = 5
- Luis, Juan los tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, reúnen 60 euros. (Jun. 2003) Solución: Sean x, y, z las cantidades de dinero que tienen Luis, Juan y Oscar, respectivamente. Se cumple que: x + y + z = 60 (entre los tres reúnen 60 euros) 32 xy^13 xz^ (Si Luis da la tercera parte a Juan, los tres tienen lo mismo) Despejando en la segunda expresión se tiene: y 31 x ; z 32 x Sustituyendo en la primera ecuación: x 31 x 32 x 60 x = 30 y = 10, z = 20
- Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la deljovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta.
- a) Discute según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:.
x 5 y mz m 1
2 x y mz 0
x my z 0
b) Resuelve el sistema para m = 2.. Solución:
a) A =
1 5 m
2 1 m
1 m 1
y
1 5 m m 1
2 1 m 0
1 m 1 0
A*
Si rango A = rango Ade m anulan al determinante de A, para esos valores ya no es posible que sea determinado.^ = 3 (nº de incógnitas) el sistema será compatible determinado. Veamos qué valores
3 m 6 m 9 0
1 5 m
2 1 m
1 m 1
A ^2
; m^2 2 m 3 = 0 m ^31
Si m compatible determinado: 3 y m 1, | A | 0 rango A = rango A^ = 3 = número de incógnitas, el sistema es
Si m = 3 (|A| = 0 rango A < 3) A =
como 21 31 4 0 rango A = 2,
A* ; 21 13 4 0 , y 0
rango A^ = 3
Por lo tanto rango A = 2 rango A^ = 3 Sistema Incompatible. Si m = 1 (|A| = 0 rango A < 3) A =
, 21 11 3 0 rango A = 2
A* , 21 11 3 0 y como tercera columna es nula rango A^ = 2
Rango A = 2 = rango A^ < número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. b) Resolución del sistema: Si m = 2 (m ≠ 3 y m ≠ –1) el sistema es compatible determinado. 3 · 4 6 · 2 9 9 1 5 2
A
x (^)
;^139212934
y (^)
;^15931
z
z 1
y 4 / 3
x 5 / 3
- Considera las matrices: A = , X = , O =
c) Halla el valor de m R para el que la matriz A no tiene inversa. d) Resuelve la ecuación AX = O para m = 3 (Razona la respuesta) Solución: a) La matriz A no tendrá inversa cuando 2m – 6 = 0 m = 3 Por lo tanto A no tiene inversa si m = 3 b) El sistema es homogéneo: Rango A < 3. A = = 1 ≠ 0 rango A = 2 < número de incógnitas Podemos eliminar la última ecuación, ya que será combinación lineal de las otras dos. El sistemaquedará de la forma.
32. Siendo:
A
B y
C
a) Calcula la matriz inversa de A
b) Halla una matriz X que verifique AX + B = C.
Solución: a) A tendrá inversa si det (A) ≠ 0 tiene inversa.
( Adj ( A ))t^ =
b) AX + B = C AX = C – B A–^1 (AX) = A-^1 (C – B) (A-^1 A) X = A-^1 (C – B) I X = A-^1 (C – B) X = A-1^ (C – B) =
5 5 2 m
3 ª 1 ª( 5 )
2 ª 1 ª( 2 ) 0 5 3 m 15
0 0 0 m 103 ª 2 ª
m10 = 0 m = 10 Si m 10 rango A = 2 Rango A*^ = 3 el sistema es incompatible Si m = 10,
rango A = 2 = Rango A*^ < número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
5y – 3z = 5 y ^55 ^3 z, x = 3 + 2y – z x = 3 + ^105 ^6 z z = 5 5 z
z t^5
y^553 t
x^5 t
- Sea la matriz A (^) ^2101 11 , resolver por el método de Gauss: a) b) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AEl sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AAtA.t. Solución: a) At^ =
1 1
0 1
1 2 ; At A
1 1
0 1
1 2 (^) ^2110 11 =
1 1 2
2 1 1
5 2 1 .
El sistema que tenemos que resolver es:
1 1 2
2 1 1
5 2 1
0
0
0 z
y
x
0
0
0 1 1 2
2 1 1
5 2 1 ;
0
0
0 5 2 1
2 1 1
1 1 2 ;
0
0
0 0 3 9
0 1 3
1 1 2 ;
0
0
0 0 0 0
0 1 3
1 1 2 , el rango de la matriz de los coeficientes es 2 < número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. y 3z = 0 y = 3z, x + y +2z = 0 x = y 2z = 3z 2z = z
z t
y 3 t
x t
b) A At^2110 11
1 1
0 1
1 2 = (^) 12 61 .El sistema que tenemos que resolver es: (^) 12 61 yx 00 ;
12 61 00 ^ ,^ 02 11100 , el rango de la matriz de los coeficientes es 2 = número de incógnitas^ ^ el sistema es compatible determinado: x = 0, y = 0
