Ejercicios investigacion de op, Diapositivas de Investigación de Operaciones

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

EL MODELO DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

PROVEE UNA SOLUCIÓN

INTELIGENTE PARA ESTE

PROBLEMA

Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran

cantidad de problemas reales cada más complejos y

especializados, que necesariamente requieren del

uso de metodologías para la formulación matemática

de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y

herramientas de resolución, como los que provee la

Investigación de Operaciones.

Ejemplo: El problema de la industria de juguetes “Galaxia”.

• (^) Galaxia produce dos tipos de juguetes:

* Space Ray

* Zapper

• (^) Los recursos están limitados a:

* 1200 libras de plástico especial.

* 40 horas de producción semanalmente.

• (^) Plan común de producción para:
  • Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad por docena).
  • Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por docena).

Solución

• (^) Variables de decisión
  • X 1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por semana).
  • X 2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por semana).
• (^) Función objetivo
  • Maximizar la ganancia semanal.

EJEMPLO N° 1

Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe fabricarse con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto Componente P1 P2 Disponibilidad (kilogramos) A B C D 1 2 2 1 3 1 2 1 15, 10, 12, 10, Beneficios S/./unidad 4 3

Entonces el programa lineal correspondiente es:

• X 1 = Nº de unidades de producto P
• X 2 = Nº de unidades de producto P - Max (Z) = 4X 1 + 3X - 1X 1 + 3X 2 ≤ 15, Sujeto a : - 2X 1 + 1X 2 ≤ 10, - 2X 1 + 2X 2 ≤ 12, - 1X 1 + 1X 2 ≤ 10, - X 1 , X 2 ≥

FORMULACIÓN 1 2 Max (Z) = 5,000X + 3,000X 1 2 1 2 1 2 S. A. 3X + 5X 15 5,000X + 2,000X 10, X , X 0   

. . 1 1 2 2 n n 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m j Max( Z) = c x +c x + ...+c x sujeto a a x +a x + ... +a x ≤ b a x +a x + ...+a x ≤ b a x +a x + ...+a x ≤ b x ≥0 ∀j EL MODELO DE P. L. Optimización

• (^) La matriz A , representa los coeficiente tecnológicos; es la matriz para el sistema de ecuaciones AX = b :
• (^) El sistema de ecuaciones o el modelo de PL, queda representado por:

A

11 12 1n 21 2 2 2n m,1 m,2 m,n

a a ... a

a a ... a

a a ... a

 Max (Z) = CX S. A. AX = b X 0

EL MODELO DE P.L.

Z: función objetivo

C (c

1

,...,c

n

): vector de coeficientes de la f. o.

X (x

1

,...,x

n

): vector de variables de decisión

A (...,a

ij

,...): matriz de coeficientes técnicos

b (b

1

,...,b

m

): vector de demandas

Matricialmente,

Optimización Max o Min = CX

S.A.

AX b

x  0

Forma canónica

Problema N° 1 X 1 = Cantidad de Manteles comprados (sólo se puede comprar el primer día). X 2 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el primer día. X 3 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio normal el primer día. X 4 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el segundo día. Notar que también podríamos haber definido entre otras X 5 = Cantidad de Manteles no usados el primer día. X 6 = Cantidad de Manteles no usados el segundo día (60) (70)

Continua problema N° 1 Sin embargo, esto no es necesario pues X 5 = X 1 − 40. X 6 = X 1 − 40 − 70

2. Función Objetivo. Min (Z) = 20X 1 + 15X 2 + 8X 3 + 15X 4
3. Restricciones. a) Satisfacción de la necesidad de manteles al primer día X 1 ≥ 40 b) Satisfacción de la necesidad de manteles al segundo día. (X 1 − 40) + X 2 ≥ 60 ↔ X 1 + X 2 ≥ 100 c) Satisfacción de la necesidad de manteles al tercer día. (X 1 − 40) + X 2 − 60 + X 3 + X 4 ≥ 70 ↔ X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ≥ 170 d) El número de manteles mandados a lavar el primer día, puede a lo mas ser igual al número de manteles usados ese día. X 2 + X 3 ≥ 40 e) El número de manteles mandados a lavar hasta el segundo día, puede a lo mas ser igual al número de manteles usados hasta ese día. X 2 + X 3 + X 4 ≥ 40 + 60 ↔ X 2 + X 3 + X 4 ≥ 100 f ) No negatividad. X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ≥ 0