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ejercicios del calculo matemático, Ejercicios de Matemáticas

Universidad Libre de Colombia - CúcutaMatemáticas

ejercicios del calculo de las matemáticas con problemas difíciles

Tipo: Ejercicios

2018/2019

Subido el 15/10/2021

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UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CÚCUTA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES
Guia No.2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Ing. LILIANA CASADIEGO P.
Docente Área de Ciencias Básicas
UNILIBRE- CÚCUTA
1. Presentación
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden que presenta la forma:
donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente
a decir que existe una función tal que:
2. Competencias
• Soluciona EDOS por Separación de Variables
• Resuelve problemas de aplicación, utilizando el método de Variables separables.
3. Recursos
• Texto guía:Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
México:Cengage Learning.
• Páginas de internet
• Guia de aprendizaje
• Plataforma Teams
• Base de datos de la Biblioteca de la Universidad Libre
4. Bibliografía
Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México :Cengage Learning.
Boyce, William E.(2002) Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.México: Limusa.
Páginas Electrónicas:
http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDPdf/apM2/m24.pdf
http://ocw.uc3m.es/matematicas/ampliacion-de-matematicas-ii/material-de-clase-1/apuntes-edp-OCW-
2.pdf
http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/2.PrimerOrden/ImpSeparables.pdf
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FACULTAD DE INGENIERÍAS

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Ing. LILIANA CASADIEGO P. Docente Área de Ciencias Básicas

1. Presentación

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer

orden que presenta la forma:

donde las derivadas parciales de las funciones M y N : y son iguales. Esto es equivalente

a decir que existe una función tal que:

2. Competencias

  • Soluciona EDOS por Separación de Variables
  • Resuelve problemas de aplicación, utilizando el método de Variables separables.

3. Recursos

  • Texto guía:Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.

México:Cengage Learning.

  • Páginas de internet
  • Guia de aprendizaje
  • Plataforma Teams
  • Base de datos de la Biblioteca de la Universidad Libre

4. Bibliografía

Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México :Cengage Learning.

Boyce, William E.(2002) Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera .México: Limusa.

Páginas Electrónicas:

http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDPdf/apM2/m24.pdf

http://ocw.uc3m.es/matematicas/ampliacion-de-matematicas-ii/material-de-clase-1/apuntes-edp-OCW-

2.pdf

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/2.PrimerOrden/ImpSeparables.pdf

FACULTAD DE INGENIERÍAS

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Ing. LILIANA CASADIEGO P. Docente Área de Ciencias Básicas

5.Sesión de Construcción Conceptual

El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar soluciones

de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de

funciones (integral definida de una función) que contienen las variables separadas.

Una ecuación diferencial 𝑦′^ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =^ 𝑓(𝑥,^ 𝑦)^ es de^ variables^ separables^ si podemos escribirla

en forma :

5.1.SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1ER ORDEN POR VARIABLES

SEPARADAS.

5.1.1.Procedimiento:

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en:

1. Dada la ecuación diferencial

𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0 ó

2.Integramos separando variables para obtener la solución General

∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 ó ∫

𝑑𝑦 𝑓(𝑦)

⥤ 𝛼(𝑦)^ + 𝐶 1 = 𝛽(𝑥)^ + 𝐶 2 ⥤ 𝛼(𝑦)^ − 𝛽(𝑥)^ = 𝐶 2 − 𝐶 1 ⥤

⥤ ∅(𝑥, 𝑦)^ = 𝐶, 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷.

En general, la solución queda definida de manera implícita.

5. 2. Ejemplos : Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

𝑑𝑥 𝑦

𝑑𝑦 𝑥

Solución:

𝑥 𝑑𝑥 = 4 𝑦 𝑑𝑦 Separo Variables

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 4 𝑦 𝑑𝑦 Integro a ambos lados de la ecuación

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PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Ing. LILIANA CASADIEGO P. Docente Área de Ciencias Básicas

5 .3. APLICACIONES:

- Crecimiento Natural 𝒅𝒑 𝒅𝒕

- Ley de Enfriamiento 𝒅𝑻 𝒅𝒕 =^ (𝑻^ −^ 𝑻𝒎)𝑲

- Trayectorias ortogonales [

] 𝒇𝒐 =

[

𝒅𝒚 𝒅𝒙

]𝒇𝒊

5.3.1. CRECIMIENTO NATURAL- MALTUSIANO (trabajo en bacterias y microorganismos) Condiciones: - Hay suficiente espacio para cualquier cantidad de población

  • Hay suficiente alimento para esta población
  • No hay mortalidad P 𝑑𝑝 𝑑𝑡

= 𝐾𝑃 K= constante de proporcionalidad, +crecimiento, - decrecimiento

directamente proporcional Po 𝑑𝑝 𝑑𝑡

1 𝐾

𝑃 K= constante de proporcionalidad , inversamente proporcional

t P= Población , Po= población inicial Para aplicar este método en seres humanos se debe hacer en lapsos de tiempo cortos y se obtiene un resultado con el 10% de error. EJEMPLO Cierta ciudad tenía una población de 25.000 habitantes en 1960 y 30.000 en 1970, suponiendo que su población continuó creciendo exponencialmente. En esa época qué Población podrían esperar los urbanistas para el 2014?? dP = k.P separo variables dP = K dt dt P Integro ∫ dP = K ∫dt Ln(P)= k t +C despejo P eLn(P)^ = e(kt+C)^ == P= Cekt P Aplico CI 25.000= C ek(0)^ C= 25. Reemplazo P= Cekt^ P= 25.000ekt Aplico CM 30.000= 25.000ekt^ 30/25=e10k^ == 1,2= e10k^ == ln(1,2)=10k ==k=0, Reemplazo P= 25.000e0,01823t Aplico CF P= 25.000e0,01823(54)^ == P= 66.914 habitantes

CI CM CF

P 25.000 30.000 ¿?

t(años) 0 10 54

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PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Ing. LILIANA CASADIEGO P. Docente Área de Ciencias Básicas

6 GUIA DE TRABAJO EN CLASE

6.1 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, utilizando el método de separación de variables.

  1. dy = 3 √xy RTA/ y = (x3/2+ C)^2 dx
  2. y’ + 2xy^2 =0 {d/dx RTA/ y= 1. x^2 + C
  3. y y’ = x (y^2 + 1) {d/dx RTA/ y = √ C ex2– 1 4 ) (x^2 +1) dy tan y = x RTA/ y = arc sec C(x^2 + 1)1/ dx 5 ) (2 + x) dy = 3y RTA/ y= (C(2+x))^3 dx
  4. Y’y = sen x RTA/ y = √C – 2cos x
  5. dy = x. RTA/ y= 1 (1+x^2 )1/2^ + C dx 4√1+x^2
  6. dy = 1+y RTA/ y=Cex- 1 dx 9 ) dr= b(cos Ɵdr + r sen Ɵ dƟ) RTA/ r= C(1–bcosƟ)
  7. (1+x^2 )(1+y^2 )dx – xy dy= 0 RTA/ y= √ eLn x² + x² + C^ - 1
  8. xy dx + e-x²^ (y^2 – 1) dy = 0 RTA/ ex²+y^2 – Ln y^2 = C 6.2. Resolver los siguientes problemas de aplicación

1) Un moho crece a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Inicialmente había 2 grs; en dos dia

pasó a existir 3 grs.

a) Demostrar que la cantidad del moho en el instante t es P(t)= 2(3/2)t/2. RTA/a) P(t)= 2(3/2)t/

b) Calcular la cantidad de moho a los 10 días. b) P(10)=15,18 gramos

2) La población de determinada ciudad crece a un ritmo proporcional a dicha población, en 2 años se

duplica y un

año más tarde había 10.000 habitantes. Calcular la población inicial. RTA/ Po= 3535,53 hab

3) En cierto cultivo el numero de bacterias se quintuplico en 10 horas, qué tiempo tardo la población en

triplicar su número?? RTA/ t= 6,8 horas