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βτ αηδoη Mα ζφη
Referencias
[1] GROSSMAN, Stanley. “ Algebra lineal”.´ Grupo Editorial Iberoamericana. M´exico. 1984.
[2] LANG, Serge. “ Algebra Lineal”.´ Segunda Edici´on. Fondo Educativo Interamericano, New York 1975.
[3] HORARD, Anton: “Introducci´on al Algebra Lineal”. Ed. Limusa
[4] APOSTOL, Tom. “Calculus”. Vol 1 y II. Segunda Edici´on. Editorial Revert´e.
[5] FLOREY, Francis G. “Fundamentos de Algebra´ Lineal y Aplicaciones”. Prentice-Hall,
Inc.Engelwood, New Jersey.
[6] LIPSCHUTZ, Seymour. “ Algebra Lineal”.´ McGraw-Hill, M´exico 1985.
[7] NERING, Edward. “Linear Algebra and Matriz Theory”.´
[8] NOBLE, Ben. “ Algebra Lineal Aplicada”.´ Tercera edici´on. Prentice-Hall, Inc.Engewood Cliffs, New
Jersey, 1989.
[9] LAY, David C.: “ Algebra Lineal y sus Aplicaciones”.´ 2a edici´on. M´exico. Prentice Hall, 2001
[10] Williams G.: “ Algebra Lineal con aplicaciones”.´ McGraw-Hill, 2002.
[11] Kenneth Hoffman y Ray Kunze, “Algebra Lineal”, Pretince Hall Hispanoamericana, S.A., M´exico,
(1973).
[12] Elon Lages Lima. “Algebra Lineal”, Ed. IMPA, Brasil, (1985).
Cap´ıtulo I. Matrices y Sistemas lineales
1.1 Matrices
- Escribir expl´ıcitamente las siguientes matrices:
a) A = (aij ) ∈ M 3 × 2 (R) definida por aij = i + 2j.
b) B = (bij ) ∈ M 3 × 3 (R) definida por bij = 2
i − j.
c) C = (cij ) ∈ M 3 × 4 (R) definida por cij = m´ın{i, j}.
d) D = (dij ) ∈ M 4 × 3 (R) definida por cij = 2
i − (−1)
j .
e) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = (−i)
j
−j .
f ) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = (i − 1)j.
g) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = i + j.
h) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = i − j.
i) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = |i − j|.
j ) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = ij.
k ) A es la matriz de orden 3 × 3 definida por aij = i
j− 1 .
- Construya un ejemplo de una matriz de orden 3 × 3 , (cij ) que satisfaga cij = −cji.
- Determine la matriz de orden 3 × 4 , A = (aij ) para la cualaij =
i + j, si i 6 = j
0 si i = j
1.2 Adici´on y substracci´on de matrices
- Dadas las matrices A =
, B =
, C =
. realiza los siguientes
c´alculos:
(1) A − 3 B (2) 2 A − 3 B + 5C (3) 3 A + B − C (4) 6 A − 2 C
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- Sea las matrices A =
, B =
y C =
. Hallar la matriz X en
la ecuaci´on
(X + A) = 2
[
X + (2B − C)
]
1.3 Multiplicaci´on de matrices
- Calcular los siguientes productos de matrices:
- SiA =
(^) y B =
(^) y C =
, hallar la matriz D =
2 A −
B
C.
- Dadas las matricesA =
y C =
. Si E = ABC, hallar
S = e 11 + e 23 + e 32. Respuesta.- S = 24.
- Hallar todas las matrices que conmutan con la matriz A =
1.4 Potencia de Matrices
- Sean A =
y B =
a 1
0 a
. Deducir una formula general para A
n y para B
n .
- Para todo m ∈ N demuestre por inducci´on que
x 1
0 x
)m
x
m mx
m− 1
0 x
m
- Dadas las matrices A =
y B =
. (a) Encuentre (A + B)
2
. (b) Encuentre
A
2
2
. (c)¿Es (A + B)
2 = A
2
2 ?.
1.5 Transpuesta de una matriz
- Dadas las matrices siguientes
A =
B =
C =
D =
E =
F =
realiza la operaciones indicadas a continuaci´on: a) A
T
1 2
B. c) F D. d) F E. e) EF. f) ( B
T
+ EF.
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1.7 Matriz escalonada, Matrices equivalentes y Rango de una Matriz
- Mediante operaciones elementales llevar las siguientes matrices a su forma escalonada y a su forma
escalonada reducida. Y hallar el rango de la matriz
A =
B =
C =
- Dadas las matrices empleando el m´etodo de transformaciones elementales, hallar el rango de cada
una de ellas.
(a) A =
2 − 1 3 − 2 4
4 − 2 5 1 7
2 − 1 1 8 9
(^) Rta. r(A) = 2 (b) B =
3 − 1 3 2 5
5 − 3 2 3 4
1 − 3 − 5 0 − 7
7 − 5 1 4 1
Rta. r(B) = 3
- Encuentre valores de α ∈ R para que A =
1 α − 1
2 − 1 α
1 10 − 6
(^) tenga rango igual a 3.
- Estudiar los rangos de las siguientes matrices como funci´on de λ:
5 8 1 λ
λ 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3
1 λ − 1 2
2 − 1 λ 5
1 10 − 6 1
1.8 M´etodo de eliminaci´on de Gauss
- Resolver los siguientes sistemas por el m´etodo de Gauss
x + y + z = 11
2 x − y + z = 5
3 x + 2y + z = 24
y + 2 z + 3 t = 1
2 x + y + 3 z = 1
3 x + 4 y + 2 z = 1
4 x + 2 y + t = 1
2 x − 4 y + 6z = 2
y + 2z = − 3
x − 3 y + z = 4
x + 2 y − 3 z = 4
2 x + 3 y + 4 z = 5
4 x + 7 y − 2 z = 12
- Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
ax − 2 y = 4
ax + (a − 1)y = 4
- La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es:
1 a
a + 1 2
y la de los
t´erminos independientes es:
. a) Plantear las ecuaciones del sistema. b) Estudiar su com-
patibilidad en funci´on de los valores de a. .En que casos tiene soluci´on ´unica?. c) Resolverlo si
a = 2.
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- Determina los valores para a y b, tales que sistema
x − 2 y = 1
ax + by = 5
(A) tenga solucion unica, (B)
no tenga soluci´on, (C) tenga infinitas soluciones.
- Para el siguiente sistema de
ax + y + z = 2
x + ay + z = 2
x + z = 0
a) ¿Para qu´e valor o valores de a el sistema tiene soluci´on ´unica?, para dicho valor o valores
resu´elvelo. b) Encuentra un valor de a para que el sistema no tenga soluciones. c) Determinar el
valor de a de modo que el sistema tenga infinitas soluciones y explicitelas.
- Usando Eliminaci´on de Gauss hallar el valor de a tal que el sistema
3 x − (a + 2)y + 2z = a + 1
2 x − 5 y + 3z = 1
x + 3y − (a + 1)z = 0
tenga: soluci´on ´unica, ninguna soluci´on, infinitas soluciones.
- Un grupo de personas se reune para ir de excursi´on, junt´andose un total de 20 entre hombres,
mujeres y ni˜nos. Contando hombres y mujeres juntos, su n´umero resulta ser el triple del n´umero de
ni˜nos. Adem´as, si hubiera acudido una mujer m´as, su n´umero igualar´ıa al del hombres. a) Plantear
un sistema para averiguar cu´antos hombres, mujeres y ni˜nos han ido de excursi´on. b) Resolver el
problema.
- El precio de entrada a cierta exposici´on es de 200 ptas. para los ni˜nos, 500 para los adultos y 250
para los jubilados. En una jornada concreta, la exposici´on fu´e visitada por 200 personas en total,
igualando el n´umero de visitantes adultos al de ni˜nos y jubilados juntos. La recaudaci´on de dicho d´ıa
ascendi´o a 73.500 ptas. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cu´antos ni˜nos, adultos
y jubilados visitaron la exposici´on ese d´ıa. b) Resolver el problema. Respuesta.- A la exposici´on,
habr´an acudido 30 ni˜nos, 100 adultos y 70 jubilados.
1.9 M´etodo de eliminaci´on de Gauss Jordan
- Discutir por el m´etodo de Gauss Jord´an los siguientes sistemas:
x + y + z = 2
2 x − y − z = 1
x + 2y − z = − 3
x + 3y + z = 6
3 x − 2 y − 8 z = 7
4 x + 5y − 3 z = 17
x + y + z = 1
x − y + 3 z = − 3
x + z = 1
- Encuentre las soluciones de los siguiente sistema utilizando el m´etodo de Gauss-Jordan. (escriba
todos los pasos que realice)
{ x + y = 2
2 x + 2y = − 1
x − 3 y + 5z + w = 3
4 x + 5z − w = 1
v + 3w = 0
3 u − 3 v + w = 1
2 u + 5w = − 1
5 z 1 + 2z 2 − z 4 = 0
z 1 − z 2 + z 3 = 0
2 z 2 − 5 z 4 = 0
x − 5 y + z = 0
− 2 x + 3y − 4 z = 0
x + y + z = 0
x − y + 3z = 0
x + y − z = 0
x − z = 0
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a)
b)
c)
d )
e)
f )
g)
h)
- Hallar los determinantes :
a)
b)
c)
d )
6 1 c 2
− 1 1 0 0
5 2 0 3
e)
f )
g)
h)
i)
j )
- Considere las matrizces
A =
a d a
b e b
c f c
B =
a b c
a b c
d e f
a) ¿Qu´e caracter´ısticas tienen tanto la matriz A y la matriz B.
b) Calcule el determinante de cada una de ellas.
c) Sin hacer operaciones podr´ıa decir cu´al es el determiante de las matrices
A =
B =
C =
D =
i 2 − i 0
1 3 − 4 i 1
i 2 − i 0
Justifique su respuesta.
- Sea In la matriz identidad n × n. Encuentre Det (−In) para todos los valores de n.
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- Hallar los determinantes aplicando el m´etodo de Cofactores o desarrollo por Adjuntos.
(a)
(b)
1 z −y
−z 1 x
y −x 1
(c)
(d)
a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a
(e)
1 b + c a a
1 1 c + a b
1 1 c a + b
(f )
- Sabiendo que
a b c
d e f
g h i
= 5, calcular los siguientes determinantes:
d e f
g h i
a b c
−a −b −c
2 d 2 e 2 f
−g −h −i
a + c b f
d + f e f
g + i h i
a b c
d − 3 a e − 3 b f − 3 c
2 g 2 h 2 i
- Considere la matriz A =
x y z
1 1 1
4 5 6
(^) con |A| = 4. a) Calcule | 3 AAtA−^1 |. b) Encuentre el determi-
nante de la siguiente matriz B aplicando ´unicamente propiedades del determinante
B =
3 x 3 y 3 z
4 + 2x 5 + 2y 6 + 2z
- Sin desarrollar directamente, demuestre que: si A =
b + c c + a a + b
bc ca ab
, el determinante de
A es igual a (a − b)(a − c)(b − c).
- Aplicando propiedades de determinante, demostrar:
1 1 + a 1 1
1 1 1 + b 1
1 1 1 1 + c
= abc
- Verificar que
1 a bc
1 b ac
1 c ab
= (b − a)(c − a)(c − b)
- Demuestre que
a b c
a
2 b
2 c
2
= (b − a)(c − a)(c − b)
- Suponga que
a b c
d e f
g h i
= 7. Encuentre
a + d b + e c + f
d e f
g h i
- Si det(A) = 3, hallar det(A
5 ).
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- Calcular
det
a
2 b
2 c
2 d
2
a
3 b
3 c
3 d
3
a
4 b
4 c
4 d
4
det
1 + a 1 + b 1 + c 1 + d
1 + a
2 1 + b
2 1 + c
2 1 + d
2
1 + a
3 1 + b
3 1 + c
3 1 + d
3
1 + a
4 1 + b
4 1 + c
4 1 + d
4
- Sea A ∈ Mn(k).
a) Mostrar que rk A ≥ s sii A posee un menor s × s con determinante no nulo.
b) Mostra que rk A es el mayor entero s tal que A posee un menor s × s con determinante no
nulo.
- a) Si A ∈ Mn(k) es antisimetrica A
T = −A y n es impar, mostrar que det A = 0. (Sugerencia:
det(A) = det(A
T ) y det(−A) = det(−I) det(A)).
b) Si A ∈ Mn(k) es ortogonal, es decir, si A · A
T = Id, mostrar que es det A = ±1.
2.2 Regla de Cramer para resolver un sistema lineal
- Resuelva por la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones
x + y − 2 z = 1
2 x − y + z = 2
x − 2 y − 4 z = − 4
- Resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer.
(a)
2 x + 3 y + z = 3
x − y + z = 5
y + z = − 2
(b)
x − 2 z = 3
− y + 3 z = 1
2 x + 5 z = 0
- Usando el m´etodo de Cramer (cuando proceda ) y el determinante principal del sistema, discutir
en qu´e casos existe ninguna, una ´unica o varias soluciones para el sistema
ax + by + z = 1
x + aby + z = b
x + by + az = 1
con a, b reales.
Encontrar las soluciones en cada caso.
- Usando el m´etodo de Cramer, discutir en qu´e casos existe ninguna, una ´unica o varias soluciones
para el sistema
ax + by + z = 1
x + aby + z = b
x + by + az = 1
con a, b reales. Encontrar las soluciones en cada caso. (No usar la regla de Sarrus).
- Verificar que la matriz del sistema
x + 2z − w = 3
x + y + 2z + w = 2
4 x + 2y + 2z − 3 w = 1
2 y + z + 4w = 1
es invertible y usar la regla de Cramer para hallar la soluci´on del sistema.
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- Discute, y resuelve aplicando la regla de Cramer cuando sea posible, los siguientes sistemas de
ecuaciones en funci´on del par´ametro m:
(m + 2)x + (m − 1)y − z = 3
mx − y + z = 2
x + my − z = 0
- Sean a, b y c n´umeros reales. Usando el m´etodo de Cramer, estudiar seg´un los valores de w si el
siguiente sistema no tiene soluciones, tiene una ´unica soluci´on o infinitas soluciones:
x + y + z = a
x + wy + w
2
z = b
x + w
2
y + wz = c
- Una empresa dispone de 27200 $ para actividades de formaci´on de sus cien empleados. Despu´es
de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La
subvenci´on por persona para el curso A es de 400 $, para el curso B es de 160 $, y de 200 $ para
el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B,
¿cu´antos empleados siguen cada curso?.
- Arizmendi y Amigos, empresa de bienes ra´ıces, planea construir un nuevo complejo de apartamentos
de 1, 2 y 3 habitaciones. Se planea un total de 192 apartamentos, y el n´umero de apartamentos
familiares (de dos o tres habitaciones) ser´a igual al n´umero apartamentos de una habitaci´on. Si el
n´umero de apartamentos de una habitaci´on ser´a igual al triple de apartamentos de 3 habitaciones,
determinar cu´antas unidades de cada tipo de apartamento habr´a en el conjunto.
Cap´ıtulo III. Matriz inversa
3.1 Matriz inversa
- Sea A una matriz cuadrada.
a) Si A
2 = 0, demuestre que I + A es invertible.
b) Si A
3 = 0, demuestre que I + A es invertible.
c) Suponga que A
2 − 3 A + I = 0. Demuestre que A es invertible y que A
− 1 = 3I − A.
d ) Suponga que A
3 − 4 A
2
- 5A − 2 I = 0. Demuestre que A es invertible y encuentre A
− 1 .
e) Calcular det(adj A).
- Sea θ ∈ R y sea la matriz de rotaci´on del plano de ´angulo θ dado por R(θ) =
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
a) Demuestre que para cualesquiera dos n´umeros θ 1 y θ 2 , tenemos que R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 1 + θ 2 ).
b) Demuestre que R(θ) es invertible y encuentre R(θ)
− 1 .
- Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. Decimos que A es semejante a B si existe
una matriz invertible P tal que B = P AP
− 1
. Suponga que A es semejante a B y demuestre que:
(A) B es semejante a A. (B) A es invertible si y solo si B es invertible. (C) A
T es semejante a B
T .
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- En un consejo municipal del ayuntamiento de una ciudad se decide comprar 2 impresoras, 5 or-
denadores y 3 esc´aners. Para determinar el costo de los art´ıculos se sabe que 1 impresora m´as 4
ordenadores m´as 3 esc´aners valen 2 , 600 euros, 2 impresoras m´as 5 ordenadores m´as 4 esc´aners
valen 3 , 500 euros y 1 impresora m´as 3 ordendores m´as 2 esc´aners valen 2 , 000 euros. ¿Cu´al es el
coste total de los art´ıculos?
- Una persona dispon´ıa de 60000 euros y los reparti´o en tres fondos de inversi´on diferentes (A, B y
C), obteniendo as´ı 4500 euros de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirti´o el doble que en los
fondos B y C juntos; sabemos tambi´en que el rendimiento de la inversi´on realizada en los fondos
A, B y C fue del 5 %, 10 % y 20 % respectivamente. a) Plantear un sistema para determinar las
cantidades invertidas en cada uno de los fondos. b) Resolver el sistema anterior.
- Una empresa fabrica tres productos. Para ello necesita tres materiales en las cantidades indicadas
en la tabla:
Producto 1 Producto 2 Producto 3
Material 1 2 2 2
Material 2 1 2 0
Material 3 2 1 3
Es decir, se necesitan 2 unidades del material 1 para obtener una unidad del producto 1, etc.
Supongamos que s´olo se dispone de 12 , 5 y 13 unidades respectivamente de cada material.
(a) Hallar el plan de producci´on (x, y, z) con el que se agotan las disponibilidades de cada material.
(b) Si los precios de venta de cada producto son 15 , 10 y 9 , respectivamente, hallar el plan de
producci´on con el que se obtenga mayores beneficios.
Cap´ıtulo IV. Espacios vectoriales
4.1 Espacios vectoriales
- Demuestre que R
n es un R-espacio vectorial, con las operaciones de suma por coordenadas y mul-
tiplicaci´on por un escalar.
- Demuestre que C
n es un R-espacio vectorial, con las operaciones de suma por coordenadas y mul-
tiplicaci´on por un escalar.
- Demuestre que el conjunto Mn×m(K) de las matrices de orden n × m es un espacio vectorial sobre
el campo K con la suma de matrices y multiplicaci´on por escalar.
- Demostrar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:
R[x] =
∑n
k=
akx
k : n ∈ R, ak ∈ R
con las cl´asicas operaciones de suma y producto por n´umeros reales, es un espacio vectorial real.
Si cambiamos R por un cuerpo cualquiera K obtenemos el K -espacio vectorial K [x] de polinomios
con coeficientes en K.
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- Demostrar que el conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de grado
menor o igual que n:
Rn[x] =
n ∑
k=
akx
k : ak ∈ R
con las mismas operaciones anteriores es un espacio vectorial sobre R. Sin embargo, el conjunto de
los polinomios en una variable x, de grado igual a n, con coeficientes reales, K = R y la suma y el
producto definidos como en el ejemplo 1.5, no forman un espacio vectorial ( Estudiar por qu´e no).
- Sea V un espacio vectorial sobre k. Mostrar las siguientes afirmaciones:
a) 0v = 0, ∀v ∈ V ;
b) λ0 = 0, ∀λ ∈ k;
c) (−1)v = v, ∀v ∈ V ;
d ) −(−v) = v, ∀v ∈ V ;
e) λv = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0;
f ) −0 = 0.
- a) Sea X un conjunto no vac´ıo. Sea R
X = {f : X → R} el conjunto de todas las funciones de X
a R. Mostrar que las operaciones
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λ · f )(x) = λf (x)
hacen de R
X un espacio vectorial sobre R. Decimos que estas operaciones est´an definidas punto
a punto.
b) ¿Bajo que condiciones es R
X de dimensi´on finita? Cuando se cumplen, encuentre una base.
- Sea X ⊂ R un abierto no vac´ıo. Muestre que los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre
R.
a) C
∞ (X) = {f : X → R : f es infinitamente diferenciable};
b) R
X ;
c) C
0 (X) = {f : X → R : f es continua};
d ) L = {f ∈ C
1 (X) : ∀x ∈ X, f
′ (x) = f (x)};
e) C
0 (X) = {f : X → R : f es derivable};
f ) V (x 0 ) = {f ∈ C
1 (X) : ∀x ∈ X, f (x 0 ) + 3f
′ (x 0 )} para x 0 ∈ X.
Determine todas las inclusiones entre estos espacios.
4.2 Subespacios Vectoriales
- Estudiar si son subespacios vectoriales de R
2 los siguientes subconjuntos:
a) S 1 = {(x, y) ∈ R
2 : y − x = 0},
b) S 2 = {(x, y) ∈ R
2 : y − x = 1},
c) S 3 = {(x, y) ∈ R
2 : xy = 0},
d ) S 4 = {(x, y) ∈ R
2 : y = |x|},
e) S 5 = {(x, y) ∈ R
2 : |y| = |x|},
f ) S 6 = {(x, y) ∈ R
2 : x ≥ 0 }.
- ¿Cuales de los siguientes subconjuntos de R
n son subespacios vectoriales de R
n ?
a) S 1 = {(x 1 , ..., xn) ∈ R
n : ∀i, xi ≥ 0 },
b) S 2 =
(x 1 , ..., xn) ∈ R
n :
n ∑
i=
xi = 0
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c) S = {ai : a ∈ R}, V = C, K = C;
d ) S = {f ∈ K[x] : f = 0 ∨ deg f ≥ 2 }, V = K[x];
e) S = {f ∈ K[x] : f = 0 ∨ deg f ≤ 5 }, V = K[x];
f ) S = {f ∈ C
∞ (R) : f
′′ (1) = f (2)}, V = R
R , K = R.
- Demostrar que los ´unicos subespacios de R
2 son: a) {(0, 0)}. b) R
2
. c) {α(x, y) : α ∈ R} para
(x, y) 6 = 0.
- Dados E = {(2a, a) : a ∈ R} y B = {(b, b) : b ∈ R} ¿Cu´ales de los siguientes son subespacios de
R
2 ? E, B, E ∩ B, E ∪ B.
4.3 Combinaci´on lineal
- Determinar si (1, 2 , 1) es combinaci´on lineal de los vectores (− 1 , 2 , 1), (1, 1 , −2), (1, 2 , 3) en R
3 .
- Determinar si 1 + x + x
2 es combinaci´on lineal de los vectores −1 + x + 2x
2 , 1 + 3x + 2x
2 , 1 − x + x 2
en R[x].
- Encuentre una combinaci´on lineal de los vectores ui, que expresen v en los siguientes casos:
a) u 1 = (1, 2 , −3), u 2 = (− 1 , − 3 , 2), v = (1, 1 , −4)
b) u 1 = 2x − 1, u 2 = − 1 / 2 x + 1, v = x
c) u 1 = (1, − 2 , 3), u 2 = (4, − 2 , 4), v = (1, 1 , 1)
d ) u 1 = 1 − 2 i, u 2 = 3i + 2, u 3 = i − 1, v = 1 − 5 i
e) En este caso, con la condici´on que todos los escalares sean diferentes de cero, u 1 = (1, 2 , 0),
u 2 = (2, − 2 , 0), u 3 = (− 1 , 1 , 0), u 4 = (0, 1 , 1), v = (1, 1 , 0).
- Demostrar que (a, b, c, d) ∈ R
4 es combinaci´on lineal de (1, 1 , 1 , 1), (2, 3 , 1 , 0) y (− 2 , 1 , 4 , 1) si y s´olo
si a + c = b + d.
- Demostrar que
es combinaci´on lineal de
y
- Demostrar que sin
2 x y cos
2 x son combinaci´on lineal de 1 y cos 2x.
- Demostrar que x
2
- x + 1 es combinaci´on lineal de 1, x − 2, (x + 2)
2 .
4.4 Independencia lineal
- Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente independiente o linealmente dependiente:
a) { 2 } en R.
b) {(− 2 , 3), (4, 7)} en R
2 .
c) {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} en R
2 .
d ) {(1, 2 , 3), (− 1 , 1 , −1), (4, − 1 , 1)} en R
3 .
e) {(1, 2 , 1), (1, 1 , 0), (1, 3 , 2)} en R
3 .
f ) {(1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 1 , 0)} en C
3 .
g) { 1 , x, xe
x } en R[x]
h) {1 + x − x
2 , x + x
2 } en R[x]
i)
en M 2 × 2 (R).
j )
1 i
en M 2 × 2 (C).
- Demostrar que {1 + x + x
2 , 1 + 2x − x
2 , 1 + x
2 } es un conjunto linealmente independiente en R[x].
βτ αηδoη Mα ζφη
- Decidir si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o no. En caso no serlo, determine
que elementos pueden eliminarse de manera que el conjunto residual sea linealmente independientes
y genere el mismo subespacio que el conjunto original. Finalmente, complete cada conjunto a una
base del espacio ambiente.
a) {(1, 2 , 3), (1, 2 , 4), (1, 2 , 5)} en R
3 .
b) {(1, 0 , −1), (1, 1 , 2), (0, 1 , 1)} en C
3 .
c) {(1, 1 , 2), (1, 4 , 3), (3, 3 , 3), (e, π,
2)} en R
3 .
d ) {(1, 1 , 1), (1, α, α
2 ), (1, β, β
2 )} en R
3 con α, β ∈ R.
e) {(1, 1 , 1 , 1), (1, α, α
2 , α
3 ), (1, β, β
2 , β
3 )} en R
4 con α, β, γ ∈ R.
f ) {(
1 2
(X − 1)(X − 2), (X − 1)(X − 3), (X − 2)(X − 3)} en R 2 [X].
g)
0 i
1 i
0 i
0 0
en M 2 × 2 (C).
- Determinar todos los k ∈ R de manera que los siguientes conjuntos resulten linealmente indepen-
dientes:
a) {(1, k), (−k, −1)} en R
2 .
b) {(1, 2 , k), (1, 1 , 1), (0, 1 , 1 − k)} en R
3 .
c) {1 + x − x
2 , 1 + kx + x
2 , k + x + x
2 } en R[x].
d ) {kx
2
2
2 x} en R 2 [x].
e)
1 k
− 1 2
k 1
0 2 k
en M 2 × 2 (R).
- Sea V un espacio vectorial real, demostrar que: a) Si dos vectores v 1 y v 2 son linealmente indepen-
diente, entonces v 1 + v 2 y v 1 − v 2 tambi´en lo son. b) Si tres vectores v 1 , v 2 y v 3 son linealmente
independiente, entonces v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 3 + v 1 tambi´en lo son.
4.5 Espacios generados
- Demostrar que {(1, 0 , 1), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} genera R
3 .
- ¿Cuales de las siguientes familias de vectores forman un sistema de generadores de R
3 ?
a) {(1, 2 , 3), (1, 2 , 5)}
b) {(1, 2 , 3), (1, 2 , 5), (0, 0 , −4)}
c) {(1, 2 , 3), (1, 2 , 5), (0, 0 , −4), (1, 1 , 1)}
- Determine si los siguientes conjuntos H son subespacios de R
n para alg´un valor adecuado de n. De
serlo, encuentre un conjunto S de vectores tal que el espacio generado por S sea H.
a) {(s, 3 s, 2 s) : s ∈ R}
b) {(2t, 0 , t) : t ∈ R}
c) {(5a + 2b, a, b) : a, b ∈ R}
d ) {(s + 3t, s − t, 2 s − t, 4 t) : s, t ∈ R}
e) {(3a + b, 4 , a − 5 b) : a, b ∈ R}
f ) {(a − b, b − c, c − a, b) : a, b.c ∈ R}
- Determine si los vectores dados generan el espacio indicado:
a) ¿R
3 = 〈{(1, 2 , 3), (− 1 , 2 , 3), (5, 2 , 3)}〉?.
b) ¿R
3 = 〈{(0, 5 , 1), (0, − 1 , 3), (− 1 , − 1 , 5)}〉?.
c) ¿R 2 [x] = 〈{1 + x
2 , −1 + x
2 , 6 + x}〉?.
d ) ¿R 2 [x] = 〈{ 1 − x, 3 − x
2 , 2 + x − x
2 }〉?.
(e) ¿M 2 × 2 (R) =
βτ αηδoη Mα ζφη
a) Demostrar que B = {α, β} es una base de R
2
. b) Hallar las coordenadas del vector (a, b) en la
base ordenada B = {α, β}. (Las condiciones impuestas a α, β dicen geom´etricamente que α, β son
perpendiculares y de longitud 1).
- Demostrar que
es una base de M 2 × 2 (R).
- Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. ¿Verdadero o falso? (Justificar)
a) Ning´un par de vectores en R
3 pueden generar R
3 .
b) Los subespacios de R
3 son exactamente todas las rectas y planos en R
3 .
c) Si B = {b 1 ,... , bn} es independiente, entonces B es una base para V.
d ) Si B = {b 1 ,... , bn} genera a V , entonces B es una base para V.
- Pruebe que el conjunto sl(2) de las matrices 2 × 2 con coeficientes en R de traza nula es dado
por sl(2) =
a b
c −a
: a, b, c ∈ R
y adem´as pruebe que una base de sl(2) esta formada por las
matrices
e 1 =
, e 2 =
, e 3 =
- Encuentre bases para los siguientes espacios vectoriales
a) V = {A ∈ Mn×n(R) : A
t = A} sobre R.
b) V = {A ∈ Mn×n(R) : A
t = −A} sobre R.
c) V = {A ∈ Mn×n(R) : tr A = 0} sobre R.
d ) V = {A ∈ Mn×n(C) : A¯
t = A} sobre R y luego sobre sobre C.
e) V = {(an)n∈N 0 ∈ R
N 0 : ∀n ∈ N 0 , an+1 = 2an} sobre R.
f ) V = {(an)n∈N 0 ∈ R
N 0 : ∀n ∈ N 0 , an+2 = an+1 + an} sobre R.
g) V = {p ∈ Rn[x] : p(0) = p(1) = 0} sobre R.
h) V = {p ∈ Rn[x] : p(0) = p
′ (1) = 0} sobre R.
- Para cada uno de los siguientes espacios vectoriales, determine su dimensi´on y d´e una base para
´este:
a) V = {~x = (x 1 ,... , xn) ∈ R
n : xn = 0}.
b) V = {~x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 : ~x ⊥ ~e 1 }.
c) Mn×m(R).
d ) Rn[x].
e) V = {A ∈ Mn×m(R) : A es diagonal y
∑n
1
aii = 0}.
f ) V = {A ∈ Mn×m(R) : A es sim´etrica y
∑n− 1
1 aii^ = 0}.
g) V = {p(x) ∈ Rn[x] : p(x) = a + bx + bx
2
n , a, b ∈ R}.
- En cada caso, encontrar las coordenadas de v en t´erminos de la base B dada para cada uno de los
siguientes espacios vectoriales.
a) V = R
3 , v = (1, 2 , 3), B = {(1, 2 , 1), (1, − 2 , 1), (0, 3 , 0)}.
b) V = Rn[x], v = x
3 − x
2
i : i = 0,... , 3 }.
c) V = M 2 × 2 (R), v =
, B = {
- Hallar las coordenadas de
en la base
⊂ M 2 × 2 (R)
- Calcular la dimensi´on y extraer una base del subespacio de R
5 generado por
βτ αηδoη Mα ζφη
- Encontrar una base de R
4 que contenga a los vectores {(0, 0 , 1 , 1), (1, 1 , 0 , 0)}.
- Calcular seg´un los valores de α, β y γ la dimensi´on del subespacio vectorial generado por:
E = {(1, 1 , 0), (2, 1 , α), (3, 0 , β), (1, γ, 1)}
- Dado el subespacio vectorial de las matrices cuadradas 2 × 2 generado por
{( 1 0
0 1
extraer una base del subespacio considerado, de este sistema de generadores.
- Dado el subespacio vectorial de los polinomios de grado 3 generado por los vectores: {x
2 − 1 , x
2
1 , x
3
3 } extraer una base de este sistema de generadores.
- ¿Para qu´e valor de c, B = {(c, 1 , 0), (1, 0 , c), (1 + c, 1 , c)} es una base para R
3 ?
4.7 Matriz de cambio de base
- Siendo B 1 = {v 1 = (1, 1 , 0 , 0), v 2 = (0, 1 , 0 , −1), v 3 = (0, 1 , 1 , 0), v 4 = (0, 0 , 0 , 1)} y B 2 = {w 1 =
(1, 0 , 0 , 1), w 2 = (1, 0 , 1 , 0), w 3 = (0, 2 , 1 , 0), w 4 = (0, 1 , 0 , 1)} dos bases de R
4 , hallar:
a) Las coordenadas del vector 3w 1 + 2w 2 + w 3 − w 4 en la base B 1 = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }.
b) Las coordenadas del vector 3v 1 − v 3 + 2v 2 en la base B 2 = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 }.
c) La matriz de cambio de base de B 1 a B 2.
d ) La matriz de cambio de base de B 2 a B 1.
- Calcular la matriz de cambio de base de B 0 a B 1 en cada uno de los siguientes casos:
a) B 0 = {1 + x − x
2 , 1 − x + x
2 , −1 + x + x
2 } y B 1 = {x + x
2 , 1 + x
2 , 1 + x}.
b) B 0 = {(3, − 4 , 3), (0, 1 , −4), (− 3 , 2 , −5)} y B 1 = {(− 4 , − 2 , −4), (− 3 , 1 , 1), (− 2 , − 2 , −5)}.
c) B 0 =
y
B 1 =
- En el espacio vectorial R
3 se consideran las bases B 1 = {(5, 3 , 1), (1, − 3 , −2), (1, 2 , 1)} y B 2 =
{(− 2 , 1 , 0), (− 1 , 3 , 0), (− 2 , − 3 , 1)} calcule la matriz de cambio de base de B 1 a B 2 denotada por
MB 1 B 2. Probar que [v]B 2 = MB 1 B 2 [v]B 1 para v = (3, 4 , 2).
- En el espacio vectorial R
3 , se consideran dos bases: B 1 = {u 1 = (1, 0 , 1), u 2 = (1, 1 , 0), u 3 = (0, 0 , 1)}
y B 2 = {v 1 , v 2 , v 3 }. Si la matriz de cambio de base de la base B 1 a la base B 2 es MB 1 B 2 =
. Calcular los vectores de la base B
Respecto a las bases del ejercicio anterior, calcular [v]B 1 sabiendo que:
a) [v]B 0 =
. b) [v] B 0 =
c) [v]B 0 =
