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UNIDAD IV. MODELOS GENERALIZADOS DE
LINEAS DE ESPERA
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Modelos Generalizados de Líneas de
Espera.
1. Debido a un reciente incremento en el negocio, una secretaria de una cierta
empresa legal tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas al día; a) ¿Cuál es la tasa de utilización de la secretaria? = 83% b) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta? = 1.6667 horas. c) ¿Cuál es el número promedio de cartas que esperan ser mecanografiadas? = 4.1667 cartas ≈ 4 cartas. d) ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria tenga más de cinco cartas que mecanografiar? = 33.49%
2. Jack, el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en
la preparatoria local. Jack puede vacunar un perro cada 3 minutos. Se estima que los perros llegarán independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada cuatro minutos, de acuerdo con una distribución de Poisson.
También suponga que los tiempos de vacunación de Jack están distribuidos exponencialmente. Encuentre lo que se pide. a) La probabilidad de en qué Jack esté ocioso. = 25% b) La proporción de tiempo en que Sam está ocupado. = 75% c) El número promedio de perros que esperen a ser vacunados. = 2.25 perros ≈ 2 perros d) El tiempo promedio que espera un perro antes de ser vacunado. = 9 minutos e) La cantidad promedio (media) de tiempo que un perro pasa entre esperar en la línea y ser vacunado. = 12 minutos
3. Las llamadas llegan al conmutador del hotel Kevin Duffy a una tasa de dos por
minuto. El tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente, solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el operador esté ocupado? = 66.67% b) ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar una llamada antes de ser tomada por el operador? = 0.6667 min. ≈ 40 segundos. c) ¿Cuál es el número promedio de llamadas que esperan ser contestadas? = 1.333 llamadas ≈ 1 llamada aprox.
4. Al principio de la temporada de fútbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el
día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro cada 10 minutos, y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos. a) ¿Cuál es el número de gente promedio en la línea? = 3.2 clientes ≈ 3 clientes. b) ¿Cuál es el tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos? = 10 minutos
de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponiendo llegadas Poisson y tiempos exponenciales de servicio, encontrar lo que se indica. a) El número promedio de automóviles en la línea. = 1.333 ≈ 1 auto aprox. b) El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado. = 4 minutos c) El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio. = 6 minutos d) La tasa de utilización del lavado de automóviles. = 0.066667 ≈ 40 min. e) La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema. = 0.3333 hrs ≈ 20 min. f) Barry está pensando en cambiar a un lavado de automóviles totalmente automatizado que no utiliza brigadas. El equipo bajo estudio lava un automóvil cada minuto a una tasa constante. ¿Cómo cambiarán sus respuestas (a) y (b) con el sistema nuevo? El número promedio de automóviles en la línea. = 1.667 ≈ 1 auto aprox. El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado. = 0. minutos
7. Jenine Duffey administra un gran complejo de cines llamados Cinemas I, II, III y
IV en Montgomery, Alabama. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente; el programa se estableció dé tal forma que las horas de las funciones se encuentra escalonadas para evitar multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzaran a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día de actividad normal son distribuciones Poisson y promedia 210 por hora. Con el fin de determinar la eficiencia de su operación de boletos, Jenine desea examinar varias características de operación de las colas. a) Encontrar el número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto.
= 2.25 cinéfilos. b) ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el cajero? = 0.75 ≈ 75% c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema? = 0. min. d) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla? = 0.6429 min. e) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en el sistema? ¿Más de tres personas? ¿Más de cuatro? Probabilidad de mas de 2 clientes en el sistema= 42.18% Probabilidad de mas de 3 clientes en el sistema= 31.64% Probabilidad de mas de 4 clientes en el sistema= 23.73%
8. Una línea de la cafetería universitaria en el centro de estudiantes es una
instalación de autoservicio donde el estudiante selecciona los artículos alimenticios que desea, luego hace una sola línea para pagar al cajero. Los estudiantes llegan a una tasa de aproximadamente cuatro por minuto, de acuerdo con una distribución Poisson. El único cajero toma cerca de 12 segundos por cliente, siguiendo una distribución exponencial. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos estudiantes en el sistema? ¿Más de tres estudiantes? ¿Más de cuatro? = más de 2 estudiantes 51.20% = más de 3 estudiantes 40.96% = más de 4 estudiantes 32.77% b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté vacío? = 0.20 ≈ 20% c) ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el estudiante promedio antes de llegar al cajero? = 0.8 min. d) ¿Cuál es el número esperado de estudiantes en la cola? = 3.2 ≈ 3 estudiantes e) Si se añade un segundo cajero (que trabaje al mismo ritmo), ¿cómo cambiarán las características de operación calculadas en b), c) y d)?.
d) La probabilidad de que haya más de tres camiones en el sistema en cualquier momento dado. = 53.98% ≈ 54%. e) El costo diario total que implica, para los granjeros, tener sus camiones en el proceso de descarga. = (0.2) ($US 18) (16hrs/dia) (30 camion/hr)= $US 1728 por día. f) La cooperativa, como se mencionó, utiliza el silo de almacenamiento fuertemente sólo durante dos semanas al año. Los granjeros estiman que agrandar el silo cortaría los costos de descarga en el 50% el año próximo. Costará 9000 dólares hacer eso fuera de temporada. ¿Valdrá la pena agrandar el área de almacenamiento? **Costo anual por la espera= (2 semanas/año) (7dias/semana) ($US 1728/día) = $US 24192 Ampliando el silo, los costos se reducirian a la mitad, obteniendo un ahorro de $US 12096. Por tanto, debido a que el costo por ampliar el silo saldría en $US
Los ahorros netos son de $US 12096 - $US 9000 = $US 3096, así que si vale pena agrandar el áera de almacenamiento.**
10. Kamal´s Departament Store en Dubuque, Iowa, mantiene satisfactoriamente
un departamento de ventas por catálogo en el cual un empleado toma órdenes por teléfono. Si el empleado está ocupado en una línea, las llamadas telefónicas que entran al departamento de catálogo son contestadas automáticamente por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto como el empleado está libre, se comunica con el cliente que ha esperado más. Las llamadas llegan a una tasa de aproximadamente 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienden a seguir una distribución Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan 5 dólares por hora, pero debido a la buena voluntad perdida y a las ventas, Kamal´s pierde aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado tome la orden.
a) ¿cuál es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las órdenes? = 16 min. b) ¿cuál es el número promedio de llamadores que esperan para colocar una orden? = 3.2 ≈ 3 llamadores. c) Kamal´s está considerado añadir un segundo empleado para tomar llamadas. La tienda le puede pagar a esa persona los mismos 5 dólares por hora. ¿debe contratar otro empleado? Explíquese. *= Una hr de funcionamiento del depto. Supone un coste de ($US 5 1
- $US25* 3.2) = $US 85 tomando en cuenta el salario más los costes de espera. Si se contara con un segundo empleado: El promedio de llamadores en espera =0. Por lo tanto con la nueva situación, una hora de funcionamiento costaría ($US 5* 2 + $US25* 0.1524) = $US 13. Con lo que vemos que si es menor al coste actual, por lo tanto si es factible contratar a otro empleado.**
11. Los clientes llegan a una máquina automática vendedora de café a una tasa
de cuatro por minuto, siguiendo una distribución de Poisson. La máquina de café sirve una taza de café a una tasa constante de 10 segundos. a) ¿Cuál es el número promedio de gente esperando en línea? =1.33 ≈ 1 cliente. b) ¿Cuál es el número promedio en el sistema? = 2 clientes. c) ¿Cuánto tiempo espera una persona promedio en la línea antes de recibir servicio? = 0.333 min. ≈ 20 seg.
9 a.m. – 3 p.m. 6 pacientes /hora 3 p.m. – 8 p.m. 4 pacientes /hora 8 p.m. - medianoche 12 pacientes /hora Estas llegadas siguen una distribución de Poisson, y los tiempos de tratamiento, 12 minutos en promedio, siguen el patrón exponencial. ¿Cuántos médicos debe haber de guardia durante cada periodo con el fin de mantener el nivel esperado de cuidado de los pacientes? Respuestas: De 9 am – 3 pm: 2 médicos De 3 pm – 8 pm: 3 médicos De 8 pm – 12 am: 4 médicos
14. Un mecánico ofrece cinco taladros a un fabricante de láminas de acero. Las
máquinas de descomponen en un promedio de una vez cada seis días de trabajo, y las descomposturas tienden a seguir una distribución de Poisson. El mecánico puede manejar un promedio de un trabajo de reparación por día. Las reparaciones siguen una distribución exponencial. a) ¿Cuántas máquinas esperan el servicio, en promedio? = 1.1511 máquinas b) ¿Cuántos taladros se encuentran trabajando, en promedio? = en promedio 1, el porcentaje de utilización es de 0.8082. c) ¿Cuánto tiempo se reduciría el tiempo de espera si se contratara un segundo mecánico? Se reduciría a = 1.1511 / 2 = 0.
15. Dos técnicos monitorean un grupo de cinco computadoras que controlan una
instalación de manufactura automatizada. Toma un promedio de 15 minutos (distribuidos exponencialmente) ajustar una computadora que presenta un problema. Las computadoras trabajan un promedio de 85 minutos (distribución por Poisson) sin requerir ajustes. a) ¿Cuál es el número promedio de computadoras que esperan ser ajustadas? = 2.6479 computadoras ≈ 2 computadoras aprox. b) ¿Cuál es el número promedio que está siendo ajustado? = 0. c) ¿Cuál es el número promedio de computadoras que están en estado de trabajar? = 2.1975 computadoras en promedio.
c) Utilizando tres cajeros y un tiempo de espera de 4 minutos / cliente. Tiempo de espera total de los clientes = 300 clientes (1/15 hr) = 20 hrs. Costo por hr de espera = $US 5.^00 Costos totales de espera = (20 hrs) ($US 5.^00 ) = $US 100.^00 Salario por hr de los cajeros = $US 4.^00 Pago total de los 3 cajeros (8 hrs de trabajo) = (3) (8 hrs) ($US 4.^00 ) =$US 96.^00 COSTO TOTAL ESPERADO = $US 100.^00 + $US 96.^00 = $US 196.^00 d) Se utilizarán cuatro cajeros y un tiempo de espera de 3 minutos / cliente. Tiempo de espera total de los clientes = 300 clientes (1/20 hr) = 15 hrs. Costo por hr de espera = $US 5.^00 Costos totales de espera = (15 hrs) ($US 5.^00 ) = $US 75.^00 Salario por hr de los cajeros = $US 4.^00 Pago total de los 4 cajeros (8 hrs de trabajo) = (4) (8 hrs) ($US 4.^00 ) =$US 128.^00 COSTO TOTAL ESPERADO = $US 75.^00 + $US 128.^00 = $US 203.^00
