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20-9. El disco gira alrededor de la flecha
S
, mientras que ésta gira alrededor del eje z a razón de
ω Z
= 4 rad / s , que está aumentando a 2 rad /s
2
Determine la velocidad y la aceleración del punto
B sobre el disco en el instante mostrado. No ocurre deslizamiento.
Solución:
De los datos dados:
ω Z
= 4 rad / s
ω ˙ Z
= 2 rad / s
2
deje que el disco gire con velocidad angular ω, alrededor del eje s.
No se produce deslizamiento
∴ ω ( r )=ω
z
xL
ω ( 0.1 )= 4 x ( 0.5)
ω= 20 rad / seg
velocidad del punto A
V
A
=V
C
+ωr
¿ ω z
( L) +ωr
¿ 4 ( 0.5) + 20 x 0.
V
A
= 2 + 2 = 4 m/seg
V
A
=− 4 j m/seg
aceleración del punto A. de nuevo ya que no se produce deslizamiento
α ( r )= ω˙ Z
(L)
α ( 0.1)= 2 x( 0.5)
α = 10 rad / se g
2
(aceleración angular del disco sobre los ejes)
∴ ( a
A / C
t
=αxr= 10 x 0.1= 1 m/se g
2
a A /C
n
=ω
2
r= 20
2
x 0.1= 40 m/ se g
2
a C
n
=ω 2
2
L= 4
2
x 0.5= 8 m/ se g
2
( a
C
t
=αxL= 10 x 0.5= 5 m/se g
2
aceleración de Coriolis
¿ 2 ω Z
(V
A /C
)= 2 x 4 x (ωr )= 16 m/ se g
2
⃗ a A
(
a c
n
− 2 ω Z
V
A ¿
i+ ((
−a c
t
−a A ¿ ) t
)
j+(−
a A ¿
n
)k
¿ (− 8 − 16 ) i+ (− 5 − 1 ) j− 40 k
a⃗ A
=− 24 i− 6 j− 40 k
20-14. La rueda gira alrededor de la flecha AB con una velocidad angular de ω S
= 10 rad /s , que
está aumentando a razón constante de ω˙ s
= 6 rad /s ² mientras que el bastidor gira con respecto al
eje z con una velocidad angular de ω p
= 12 rad /s , que está aumentando a razón constante de
ω ˙ p
= 3 rad / s
2
. Determine la velocidad y la aceleración del punto
C
ubicado sobre el borde de la
rueda en este instante.
El marco de referencia fijo XYZ se establece para que coincida con el marco de referencia
giratorio xyzen el instante considerado. Por lo tanto, la velocidad angular de la rueda en este
instante puede obtenerse mediante la suma vectorial de ω s
y ω p
ω=ω s
+ω p
= [ 10 j+ 12 k ]rad /s
La aceleración angular del disco se determina a partir de
−0.8 i−0.1 j+0.6 k
rad /s
2
r B
= 40 cos 30 ° j+ 40 sin 30 ° k ={34.64 j+ 20 k }ft
v B
=ωx r A
=(−0.4 i+0.25 k ) x (34.64 j+ 20 k )
v B
=(−8.661+8.00 j−13.9 k ) ft /s
a B
=αx г B
+ωx v B
=(−0.8 i−0.1 j+0.6 k) x (34.64 j+ 20 k)+(−0.4 i+0.25 k ) x (−8.66i+8.00 j−13.9 k )
a B
=(−24.81+8.29 j−30.9 k) ft /s ²
120-19. La flecha BD está conectada a una junta de rótula en B, y un engrane biselado A está
unido a su otro extremo. El engrane está acoplado con un piñón fijo C. Si la flecha y el engrane A
giran con una velocidad angular constante ω 1
= 8 rad /s , determine la velocidad y la aceleración
angulares del engrane A.
diagrama simplificado del tren de engranajes
reacción trigonométrica para I
2
senβ=
100 mm
β=18.
o
relación trigonométrica para
tan γ=
75 mm
300 mm
γ=14.
0
diagrama de velocidad para tren de engranajes
suma de los ángulos del triangulo
0
=β+ γ +θ
0
0
0
+θ
θ=147.
0
ω
sen θ
ω 1
sen β
ω
sen 147.
0
8 rad /s
sen 18.
0
ω=13.44 rad / s
expresión de la velocidad angular en forma vectorial
⃗ ω=ω sen βi+ω cos βj
ω=13.44 sen18.87 i+13.44 cos 18.
o
j
v A
= 4 k
v B
=v A
+ωx r B ¿
v B
v B
j+
v B
k
A ( 1,0,2) , B=¿
r B ¿
=( 0 − 1 ) i+ ( 0.6− 0 ) j+( 1.2− 2 ) k
¿− 1 i+0.6 j+ 0.8 k
ω AB
=ω x
i+ω y
j+ω z
k
v B
=v A
+ω AB
x r B / A
v B
j+
v B
k= 5 k +
ω x
i+ω y
j+ ω z
k
x (− 1 i+0.6 j+ 0.8 k )
v B
j+
v B
k= 5 k +
−0.8 ω y
−0.6 ω z
i+
0.8 ω z
−ω z
j+
0.6 ω x
+ω y
k
i→ 0 =−0.8 ω y
−0.6 ω z
j →−
v B
=0.8 ω x
−ω z
k →
v B
=0.6 ω x
+ω y
ω AB
es perpendicular a la alineación de rad AB
ω AB
r B / A
(ω x
i+ ω y
j+ω z
k )(− 1 i+0.6 j +0.8 k )= 0
−ω x
+0.6 ω y
−0.8 ω z
∴ ω x
=−1.2 rad /s
ω z
=0.96 rad /s
ω y
=−0.72 rad / s
v B
=3.2 m/s
v B
( 3.2) j+
(3.2)k
¿ (−2.4 j−3.2 k ) m/s
20-32. Si el collarín A del problema 20-31 tiene una desaceleración de a A
={− 5 k ¿ m/ s ² en el
instante mostrado, determine la aceleración del collarín B en este instante.
V
B
=V
A
+V
B / A
las velocidades de la columna son
V
A
= 8 k m/s
V
B
=V
B
( 0 −1.5) i+( 2 − 0 ) j
√
2
2
¿ 0.6 v B
i+ 0.8 v B
j
También r B/ A
=( 0 − 0 ) i+( 2 − 0 ) j+( 0 − 1 ) k= 2 j− 1 k
ω AB
=ω x
i+ω y
j+ω z
k
aplicar la ecuación de velocidad relativa
V
B
=V
A
x r B/ A
igualdad i, j y k componentes
−0.6 a b
=−α y
0.8 a B
=α x
0 = 2 α x
α x
−6.5 rad
s
2
0.8 a B
a B
=−52.5m/ s
2
∴ −0.6 a B
i+0.8 a B
j=a B
∴ a B
i+0.
j=(31.5 i− 42 j)m/ s
2
20-40. En el instante θ= 60 °, la pluma telescópica AB del elevador para construcción gira con una
velocidad angular constante alrededor del eje z de w ₁=0.5 rad /s y una aceleración angular de
ω 1
=0.25 rad /s ² , mientras que la pluma telescópica AB gira alrededor del pasador A con una
velocidad angular de w ₂=0.25 rad /s y una aceleración angular de ω˙ 2
=0.1 rad /s
2
. Al mismo
tiempo, el brazo se extiende con una velocidad de 1.5 ft/s, y tiene una aceleración de 0.5 ft/s²,
ambas medidas con respecto al marco de referencia. Determine la velocidad y la aceleración del
punto B situado en el extremo de la pluma en este instante.
ω 1
=0.5 rad /s
ω 2
=0.25 rad /s
Ω=ω 1
=( 0.5 k ) rad /s
Ω= ω˙ 1
gira alrededor de un eje fijo
V
A
=ω 1
x r OA
¿ 0.5 kx− 2 j= 1 i ft /s
a A
= ω˙ 1
r OA
+ω 1
x (ω 1
x r OA
¿ 0 +0.5 kx ( 0.5 kx − 2 j)=0.5 j ft / s
2
movimiento del punto B relativo al punto A
'
=ω 2
[
0.25 i
]
rad / s
V
B/ A
xyz
r B / A
xyz
r B/ A
x ´ y´ z ´
x r B/ A
r ˙ B / A
xyz
¿ (−2.49 j +3.1740 k ) ft /s
dirección con respecto al marco xyz
'
= ω˙ 2
la directiva del tiempo
r ˙ B / A
xyz
a B / A
xyz
¿ 0.5 cos 60
0
j+ 0.5 sen 60
o
k + 0.25ix
1.5 cos 60
0
j+1.5 sen 60
0
k
- 0.25ix (−2.4976 j +3.1740 k )
¿−0.86865 j ft / s
2
−0.0039 k ft /s
2
Entonces
V
B
=V
A
v B / A
xyz
¿ 1 i+(0.5 k )x
1.5 cos 60
0
j+1.5 sen 60
0
k
−2.49 j+3.1740 k
¿ (−2.75 i−2.4976 j+3.17 k ) m/ s
Y
a B
=a A
Ω x r B / A
+Ωx
Ωx r B / A
v B / A
xyz
a B / A
xyz
a B
=0.5 j+ 0 +0.5 kx (0.5 kx ( 1.5 cos 60
0
j+1.5 sen 60
0
k ) )+( 2 )0.5 kx (−2.49 j+3.1740 k )−0.86865 j−0.0039 k
a B
=( 2.50i−2.24 j−0.003 k ) ft /s
2
20-41. En el instante mostrado, el brazo AB está girando alrededor del eje fijo A con una
velocidad angular ω 1
= 4 rad /s y una aceleración angular ˙ ω ₁= 3 rad / s ². En este mismo instante,
V
c
=V
B
+Ωx r C / B
V
C / B
xyz
= 6 j+ 4 ix 0,6 i+ 3 i− 3 k = 3 i+ 6 j− 3 k m/ s
a c
=a B
Ω ×r C / B
+Ω ×Ω ×r C / B
V
C/ B
xyz
a C / B
xyz
¿ 4.5 j+ 24 k + 7 j( 0.6 i) + 5 j 5 j ( 0.6i) + 2 ( 5 j) ( 3 i− 3 k ) + 2 i−19.2 k
¿ 47 i+ 4.5 j−29.4 k
20-44. En el instante mostrado, la varilla AB gira alrededor del ejez con una velocidad angular
ω 1
= 4 rad /s y una aceleración angular ω˙ 1
= 3 rad /s
2
. En este mismo instante, la varilla circular
tiene un movimiento angular respecto a la varilla de la manera indicada. Si el collarín C se mueve
hacia abajo alrededor de la varilla circular con una rapidez de 3 ∈¿ s, que está aumentando a
8 ∈¿ s ² , ambos medidos con respecto a la varilla. Determine la velocidad y la aceleración del
collarín en este instante.
Calcular la velocidad del collarín B.
V
B
=ωx r B
V
B
=( 4 k) x ( 5 j)
V
B
=(− 20 i) pulgadas/s
Calcule la aceleración del collar B.
a B
= r¨ B
a
B
r
B
+ωx ˙ r
B
ω x r
B
B
¿ [ 4 k ×(− 20 i)]+[( 3 k )×( 5 j)]=(− 151 − 80 j) pulgadas/s ²
Calcule la velocidad del collarín C en relación con el collarín B.
V
C / B
r C / B
+ω C/ B
x r C / B
V
C / B
=(− 3 k )+( 2 i) x ( 4 i− 4 k )
V
C / B
=( 8 j− 3 k) pulg/ s
Calcular la aceleración del collar
C
relativo al collar B.
a C/ B
[
r˙ C/ B
+ω C / B
x r˙ C /B
]
x r C /B
a C/ B
j− 8 k
+( 2 i) x (− 3 k ) + 8 ix ( 4 i− 4 k ) +( 2 i) x ( 8 j− 3 k)
a C/ B
−2.25i+ 44 j+ 8 k
∈¿ s
2
Calcule la velocidad del collarín C.
V
C
=V
B
+ω x r C /B
+V
C/ B
V
C
=(− 20 i+ 24 j− 3 k ) pulgadas/s
Calcule la aceleración del collarín C.
a c
=a B
ω × r C/ B
+ω × ω × r C/ B
V
C / B
a C /B
¿ (− 15 i− 80 j) +( 3 k ) x ( 4 i− 4 k )+ 4 kx
4 kx ( 4 i− 4 k )
+( 2 ( 4 k ) x ( 8 i− 3 k ))+(−2.25i+ 44 j+ 8 k )
a c
={(− 15 i− 80 j)+[( 12 j)]+(− 64 i)+( 64 j )+(−2.25i+ 44 j+ 8 k ) }
a=(− 145 i− 24 j+ 8 k ) pulg ./ s ²
20-47. En el instante mostrado, el manipulador industrial gira alrededor del eje z a ω 1
= 5 rad /s y
ω 1
= 2 rad /s ² , y alrededor de la junta B a ω 2
= 2 rad /s y ˙ ω 2
= 3 rad /s ²
. Determine la velocidad y
la aceleración de la tenaza A en este instante, cuando ϕ = 30 °, θ= 45 ° y r =1.6 m.
La respuesta proporcionada a continuación se ha desarrollado de manera clara paso a paso.
Paso 1
respuesta:
Respuesta:
a A
= A
B
Ω x
(
μ A
B
)
(
a A
B
) xyz
(
V
A
B
) xyz
¿− 15 j+ 5 kx ( 5 k ) ( 1.1314 j−1.1314 k )+ (−4.5256 j+ 4.5255 k ) + 2 ( 5 k ) ( 2.2627 j+2.2627 k )
¿−22.627 i−47.807 j+4.5255 j m/s
2
20-51. En el instante mostrado, el brazo
OA
de la banda transportadora gira alrededor del eje z
con una velocidad angular constanteω ₁= 6 rad /s; mientras que, en el mismo instante, el brazo
gira hacia arriba a una velocidad angular constante ω 2
= 4 rad /s
. Si la banda transportadora gira a
razón de ˙ r = 5 ft / s , que está aumentando a ¨ r = 8 ft / s ² , determine la velocidad y la aceleración del
paqueteP en el instante indicado. Desprecie el tamaño del paquete.
Cálculo de velocidad y aceleración del paquete P
Datos dados
⃗ ω ₁= 6 k ⃗ω 2
= 4 i
velocidad constante, ˙r =v= 7 ft / s
El paquete se encuentra en r = 6 pies
θ= 45 °
La aceleración angular del transportador es
Para ⃗ω 1
= 6 k , ( ω⃗ 1
) xyz
x ⃗ω 1
= 0 rad /s ²
Para⃗ω 2
= 4 i, (
⃗ω 2
) xyz
x ⃗ω 1
= 0 + 6 kx 4 i= 24 j rad /s ²
La aceleración angular del transportador es de 24 rad /s
La velocidad relativa del paquete sobre el transportador desde el punto O
V
P/ O
=vcosθj +vsen θk
V
P/ O
√
( j+k ) pies/ s
Pero la posición relativa del paquete desde el punto
O
es.
r⃗ P /O
=rcos θi+r sen θj
r⃗ P /O
√
( j+k ) m
Entonces la velocidad del paquete
V
P
V
P/ O
Sustituye los valores
V
P
√
( j+ k)+(− 18 √ 2 − 12 √
√ 2 k ¿
V
P
√ 2 i−9. √ 2 j+14. √ 2 k ft /s
Por lo tanto, la velocidad del paquete
√ 2 i−9. √ 2 j+14. √ 2 k ft / s
Aceleración del paquete.
⃗ a c
=a B
⃗ω × ⃗r P /O
⃗ω × ω⃗ × ⃗r P / O
2 ⃗ω (
V
P /O )
Sustituye los valores
a⃗
P
= 0 +( 24 j) ×( 3
√ 2 j+ 3 √ 2 k ) +( 4 i+ 6 k ) × [ ( 4 i+ 6 k ) × ( 3 √ 2 j+ 3 √ 2 k ) ] + 2 ( 4 i+ 6 k ) × 5
√ 2
( j+k )
√ 2 i− 176 − √ 2 j− 28 √ 2 kft / s ²
por lo tanto, aceleración del paquete 114 √ 2 i− 176 − √ 2 j− 28 √ 2 kft / s ²
20-54. En el instante mostrado, el brazo AB está girando sobre el cojinete fijo con una velocidad
angular ω 1
= 2 rad /s y una aceleración angular ˙ ω 1
= 6 rad / s ². En el mismo instante, la varilla BD
gira con respecto a la varilla AB a ω ₂= 7 rad /s, que está aumentando a ˙ ω 2
= 1 rad /s ². Además, el
collarín C se mueve a lo largo de la varilla BD con una velocidad r˙ = 2 ft /s y una desaceleración
r =−0.5 ft /s ² , ambas medidas con respecto a la varilla. Determine la velocidad y la aceleración
del collarín en este instante.
¿− 2 i−6.368 j+7.06 k ft / s
a C
=a B
Ω x r C / B
+Ωx
Ωx r C / B
v C / B
xyz
a C / B
xyz
¿ 10.58 i− 12 j + 6 kx ( 0.866 j+0.5 k ) +2.3 kx
2.3 kx ( 0.866 j+0.5 k )
- 2 ( 2.3 k ) x (−1.768 j+ 7.062k )+(−57.37 j+ 0.
a C
=13.514 i−73.27 j+0.364 k ft / s
2
7/36 El pequeño motor M gira alrededor del eje x a través de O y le da a su eje OAuna velocidad
constante p rad /s en la dirección que se muestra en relación con su carcasa. A continuación, toda
la unidad se pone en rotación alrededor del eje vertical Z a una velocidad angular constante en
Ω rad /s. Simultáneamente, el motor gira alrededor del eje x a una velocidad constante
ẞdurante
un intervalo de movimiento. Determine la aceleración angular a del eje OA en términos de B.
Exprese su resultado en términos de los vectores unitarios para los ejes giratorios x-y-z.
ω=−
β i+ psen βj+( pcos
β +Ω) k
α =
dω
dt
dω
dt
xyz
dω
dt
x ´ y´ z ´
dω
dt
xyz
= 0 + p
β cos β j+ ( 0 − p
β sen β ) k
∴ α=p
β cos β j+( 0 −p
β sen β ) k +
ω k
x ¿
¿ p
β cos β j−( p
β sen β ) k +(−Ωpsen β i−Ω
β j)
¿−Ωpsen β i+
β p cos β−
βΩ j−p
β senβk
7/37 El simulador de vuelo está montado en seis actuadores hidráulicos conectados en pares a sus
puntos de fijación en la parte inferior de el simulador. Al programar las acciones de los actuadores,
un Se puede simular una variedad de condiciones de vuelo con traslación y desplazamientos
rotacionales a través de un rango de movimiento limitado. Los ejes x-y-z están conectados al
simulador con origen
B
en el centro del volumen. Para el representado instantáneamente, B tiene
una velocidad y un Aceleración en la dirección horizontal Y de 3.0 ft /seg y 2,9 pies/se g
2
respectivamente. Simultáneamente las velocidades angulares y sus tasas temporales de cambio
son ω x
=2,3 rad / seg , ω˙ x
=2,9 rad / se g
2
, ω y
=2.8 rad / seg , ˙ ω y
=2,7 rad / seg 2 , y ω z
=ω z
.
Para esto Determinar instantáneamente las magnitudes de la velocidad y la aceleración del
punto A.
ω x
=2.3 rad / s
ω ˙ x
=2.9 rad / s
2
ω y
=2.8 rad / s
ω ˙ y
=2.7 rad / s
2
ω z
ω z
r A / B
i=4.5833 i ft
ω=( 2.3 i+2.8 j) rad /s
ω ˙=2.9 i+ 2.7 j rad /s
2
V
A
=V
B
+ωxr A /B
V
A
= 3 j+( 2.3 i+ 2.8 j) x 4.583 i
¿ 3 j−12.8324 k
V
A
=13..17841 ft /s
