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INDICE
INTRODUCION .............................................................................................................................................
OBJETIVOS ...................................................................................................................................................
General ........................................................................................................................................................ Específicos .................................................................................................................................................
DATOS O FORMULAS OCUPADOS .........................................................................................................
MARCO TEORICO ....................................................................................................................................... DESARROLLO ..............................................................................................................................................
VECTOR .........................................................................................................................................................
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ..........................................................................................................
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE SUMA Y RESTA .............................................................................. PROPIEDAD TRASLATIVA( VECTORES Y PUNTO DE REFERENCIA) ..........................................
PRODUCTO CRUZ .....................................................................................................................................
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION ........................................................................ ANGULO ENTRE VECTORES .................................................................................................................
AREA ENTRE VECTORES .......................................................................................................................
ECUACION DE LA RECTA ....................................................................................................................... ECUACION DEL PLANO ...........................................................................................................................
ECUACION ESCALAR DE UN PLANO ..................................................................................................
ECUACIONES SIMÉTRICAS ....................................................................................................................
ECUACIONES PARAMETRICAS ............................................................................................................. ANALISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS ........................................................................................
REFERENCIAS ...........................................................................................................................................
INTRODUCION
EL cálculo vectorial es muy importante en la vida de los seres humanos. Esta rama de las matemáticas proporciona un conjunto de herramientas y técnicas que permiten describir y analizar problemas que involucran magnitudes y direcciones en el espacio tridimensional.
Una de las principales razones por las que es importante resolver problemas de cálculo vectorial es su aplicabilidad en campos como la ingeniería. En esta rama el cálculo vectorial se utiliza para diseñar estructuras, modelar sistemas eléctricos y mecánicos, y resolver problemas de transferencia de calor y flujo de fluidos. Además, el cálculo vectorial es esencial en la geometría analítica y la geometría diferencial. Permite calcular áreas, volúmenes y longitudes, así como determinar la curvatura de superficies y trayectorias curvas en el espacio. De otra manera nos ayuda con la capacidad de dar soluciones a problemas de cálculo vectorial que es fundamental en disciplinas científicas y tecnológicas, y tiene una amplia aplicabilidad en la resolución de fenómenos físicos y en el diseño y modelado de sistemas complejos.
OBJETIVOS
General
Obtener el conocimiento para resolver problemas con vectores
Específicos
- Plantear y resolver problemas que requieran del concepto de función de una variable para modelar en un plano.
- Aplicar el concepto del cálculo vectorial para la solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas qué requieren de aproximaciones.
DATOS O FORMULAS OCUPADOS
Funciones trigonométricas
Operaciones y propiedades de vectores
Angulo entre vectores
Diferencial e Integral de varias variables, así como sus significados geométrico y
físico. Estos campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar
la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección
de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.
Un vector es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza
por tener módulo (o longitud) y una dirección (Orientación).
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector
geométrico.
Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir
tres características:
Módulo: la longitud del segmento.
Dirección: la orientación de la recta
Un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo,
siempre positivo por definición, y su dirección
DESARROLLO
DE todos los temas vistos en clase se tuvieron que realizar 5 ejercicios de cada
uno para tener una mayor comprensión de estos, asimismo se fueron describiendo los pasos para la resolución de los ejercicios para poder entenderlos mejor.
Los temas son: vector, funciones trigonométricas, propiedad conmutativa de la
suma y la resta, propiedad traslativa(vectores y punto de referencia), escalar=numero, producto cruz, producto punto, propiedad asociativa de la multiplicación, ángulo entre vectores, área entre vectores, ecuación de la recta, ecuación del plano, ecuación escalar de un plano, ecuación vectorial de un plano ecuaciones simétricas, intersección de la recta, ecuación paramétrica.
Se presentarán los 5 ejercicios de cada tema con su respectiva solución.
5.- Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de son B=(3,-4)
6.- Resolviendo de la misma forma que para B, tenemos que C=(0,1).
Problema 3 :Calcular la distancia entre los puntos A=(2,1) y b=(-3,2).
Solución 1.- La fórmula para la distancia entre dos puntos es
2.- Sustituimos los valores de A y B fórmula de distancia entre dos puntos y obtenemos
Problema 4: Si es un vector de componentes(3,4) hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Solución 1.- La fórmula para que un vector sea unitario es
2.- Calculamos la magnitud de
3.-Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario
Problema 5: Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector (8,-6).
Solución 1.-La fórmula para que un vector sea unitario es
2.- Calculamos la magnitud de
3.- Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Problema 1: Dado el triángulo rectángulo ABC, rectángulo en el ángulo A, se
conoce que a= 5m y B= 41.7°. Encuentra los otros ángulos y lados.
SOLUCION
Ahí podemos ver los datos que nos faltan (los lados , y el ángulo C ). El más
sencillo es el ángulo C, puesto que A+B+C= 180°. Por lo que
C=180°-90°-41.7°=48.3°
Como el triángulo es rectángulo, entonces podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la longitud de los lados restantes. Sabemos que
por lo que
Similarmente, como cos B=c/a, entonces
Problema 2: Del triángulo ABC, rectángulo en el ángulo A, conocemos que a=6m y b=4m. Encuentra los ángulos agudos y el lado restante.
Por lo tanto. Con esto, ya podemos calcular cualquiera de los ángulos restantes utilizando la ley de los senos:
de donde se sigue que
de donde se sigue que B=arcsen (0.4484)=26.64°.
Por último,
C=180°-105°-26.64°=44.36°
Problema 4: Un árbol de 50 metros de altura proyecta una sombra de 60 metros de longitud. Encuentra el ángulo de elevación del Sol en ese momento.
SOLUCION
Notemos que no es necesario calcular el lado. Buscamos el ángulo , cuya tangente está dada por
Utilizando el arco tangente, obtenemos
Problema 5: Calcular el área de una parcela triángulo, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y el ángulo entre ellos es de 70°
SOLUCION
Donde y.
Si trazamos la altura que es perpendicular a b, notemos que se forma un triángulo rectángulo donde h es un cateto y es la hipotenusa. Además, notemos que el seno de C es
de modo que Por lo tanto, el área es
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE SUMA Y RESTA
Problema 1: Resuelva el ejercicio −5+4+1−3−5+4+1− SOLUCION -5+4+1- 3 4+1-5- 5-5- 0- R= - Problema 2: Resuelve el ejercicio 7 3+8−4−
SOLUCION
PROPIEDAD TRASLATIVA( VECTORES Y PUNTO DE
REFERENCIA)
Problema 1 : Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
Solución: Al ser paralelogramo, los vectores ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ y ⃗𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ deben ser equivalentes, es decir ⃗𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ = ⃗ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ Esto es (5-𝑋𝐷,2-𝑌𝐷)=(4-(-1),-1-(-2) (5-𝑋𝐷,2-𝑌𝐷)=(4+1.-1+2) (5-𝑋𝐷,2-𝑌𝐷)=(5,1) Y asi 5=5-𝑋𝐷 𝑋𝐷= 1=2-𝑌𝐷 𝑌𝐷= D=(0,1)
Problema 2: Dados 𝑢⃗ =(1,-1,1),𝑣 =(2,0,2) y 𝑤⃗⃗ =(-1,3,-1)¿Existen alfa, beta E R tales que
Problema 2: Si los vectores fueran
Problema 3: Dados los vectores =(1,4) y (1,3) que constituyen una base, expresar en esta base al vector (-1,-1)
Consideramos la siguiente ecuación
(-1,-1)=a+b=a(1,4) +b (1,3)
Después obtenemos las siguientes ecuaciones
-1= a +b, .a=-1-b,-1=4ª+3b(-1)=4(-1-b)+3b=-
Finalmente, a=1-b=-1-(-3)=3 lo que nos da que= 2-
Problema 4: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB, de extremo A=(3,9) B= (-1,5).
1 Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son
en las dos fórmulas anteriores
2 Sustituimos los valores de^ y
3 El punto medio es
Problema 5: Averiguar si están alineados los puntos A=(-2,-3), B=(1,0), C=(6,5) y y.
Solución
Los puntos son colineales si las pendientes de los
segmentos
Como ambas pendientes son iguales, entonces los tres puntos si están alineados.
PRODUCTO CRUZ
Problema 1: Cuál es el producto cruz de a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6) Solución:
A diferencia de los dos ejemplos anteriores, no podemos hacer uso de la fórmula de manera directa, ya que los vectores tienen tres coordenadas que lo hacen estar en un espacio 3D, entonces aplicamos la siguiente fórmula:
y son iguales.
Solución: Ordenando las determinantes, para aplicar la regla de multiplicación.
Realizando las operaciones básicas de multiplicación:
Por lo que el resultado del vector es:
Problema 5: Sea los vectores A y B que forman entre si un ángulo de 30°, y sabiendo que | a | = 6 y | b | = 5, calcular el producto cruz de ambos vectores Solución:
Cuando se tienen las magnitudes de ambos vectores, es muy fácil poder calcular el producto cruz, ya que solamente debemos aplicar la fórmula:
Sustituyendo nuestros datos:
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION
Problema 1: (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
Solución: Lado izquierdo: (2 * 3) * 4 = 6 * 4 = 24
Lado derecho: 2 * (3 * 4) = 2 * 12 = 24 Ambos lados son iguales a 24, lo que demuestra la propiedad asociativa.
Problema 2: (5 * 7) * 2 = 5 * (7 * 2)
Solución: Lado izquierdo: (5 * 7) * 2 = 35 * 2 = 70
Lado derecho: 5 * (7 * 2) = 5 * 14 = 70
Ambos lados son iguales a 70, lo que demuestra la propiedad asociativa.
Problema 3 : (8 * 2) * 6 = 8 * (2 * 6)
Solución: Lado izquierdo: (8 * 2) * 6 = 16 * 6 = 96
Lado derecho: 8 * (2 * 6) = 8 * 12 = 96
Ambos lados son iguales a 96, lo que demuestra la propiedad asociativa.
Problema 4: (4 * 9) * 3 = 4 * (9 * 3)
Solución: Lado izquierdo: (4 * 9) * 3 = 36 * 3 = 108
Lado derecho: 4 * (9 * 3) = 4 * 27 = 108
Ambos lados son iguales a 108, lo que demuestra la propiedad asociativa.
Problema 5: (6 * 5) * 10 = 6 * (5 * 10)
Solución:
Lado izquierdo: (6 * 5) * 10 = 30 * 10 = 300
Lado derecho: 6 * (5 * 10) = 6 * 50 = 300 Ambos lados son iguales a 300, lo que demuestra la propiedad asociativa.
ANGULO ENTRE VECTORES
Problema 1 : Dados los vectores u = (3, -2) y v = (-1, 4), encuentra el ángulo entre
ellos. Solución: Utilizamos la fórmula del producto escalar y la función inversa del coseno.
