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Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de orden superior. Competencia específica: Identificar las ecuaciones diferenciales lineales de orden n para encontrar su solución por medio de métodos algebraicos y analíticos. Objetivo. Determinar el resultado de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas.
Tipo: Ejercicios
1 / 16
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Ecuaciones diferenciales de grado n
Jesus Ivan Marquez Moyron
INSTITUTO TECNOLOGICO DE LOS CABOS
Contenido
Ecuaciones Diferenciales ............................................................................................................... 1
Ecuaciones diferenciales de grado n .................................................................................. 1
𝑎)𝑦′′′ − 3 𝑦′′ + 9 𝑦′ + 13 𝑦 = − 6 𝑒 − 𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 ......................................................... 4
𝑏)𝑦( 0 ) = 5 𝑦 𝑦’( 0 ) = 2 𝑦 ′′ + 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 .............................................................. 7
𝑐) 𝑥
3
3 𝑦′′′ + 3 𝑥
2
2 𝑦 ′′ − 3 𝑥𝑦′ = 𝑥𝑙𝑛𝑥......................................................................... 10
𝑑) 𝑥
3
𝑦 ′′′ − 2𝑥
2
𝑦 ′′ − 17𝑥𝑦 ′ − 7y = 0 ................................................................................. 16
𝑎) Resuelve la siguiente ecuación diferencial
ordinaria, utilizando el método de los coeficientes
indeterminados.
′′′
′′
′
−𝑥
Para resolver esta ecuación diferencial podemos
cambiar a las derivadas de “y” con (m) y para cada
derivada el exponente. Y resolvemos de forma en la que
sea homogénea.
3
2
Para resolver esta ecuación podemos utilizar división
sintética, quedándonos de la siguiente manera.
2
Y reducimos conociendo sus raíces e igualdades.
1
2
3
Tenemos una parte compleja y otra real, entonces
utilizamos la fórmula para dar la respuesta de la
parte compleja y sumamos la real.
Es decir.
𝑐
2 𝑥
1
cos
2
3
−𝑥
Ya tenemos la solución de la parte homogénea, es decir
la solución complementaria. Por lo tanto, propondremos
una solución para la parte no homogénea. Para dicha
solución nos basaremos en la siguiente tabla para
hallar los coeficientes y poder resolver.
Basandonos en la parte no homogenea construimos la
solucion particular.
𝑝
−𝑥
En este caso nuestra solución particular se parece un
poco a nuestra solución propuesta, se parece en esta
parte (𝐴𝑒
−𝑥
) por lo que debemos de arreglarla con una
multiplicación de la variable independiente por
−𝑥
𝑝
−𝑥
𝑝
−𝑥
Y sacamos las derivadas de nuestra propuesta.
′
𝑝
−𝑥
−𝑥
′
𝑝
−𝑥
−𝑥
′
′′
𝑝
−𝑥
−𝑥
Y cambiamos las respectivas derivadas en la ecuación.
′′′
′′
′
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
𝑏) Resuelve la siguiente ecuación diferencial
utilizando el método de variación de parámetros.
Considera las siguientes condiciones iniciales.
𝑏)𝑦( 0 ) = 5 𝑦 𝑦’( 0 ) = 2 𝑦 ′′ + 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑥
Resolvemos con método de variación de parámetros,
resolviendo la parte homogénea.
𝑦 ′′ + 𝑦 = 2 cos (𝑥)
2
1
2
Por lo tanto, nuestra solución complementaria.
𝑐
1
cos
2
Cambiando para obtener nuestra solución particular es.
𝑝
1
cos
2
Por tener nada más dos parámetros, pues aplicaremos
formula.
1
2
2
1
Conociendo que nuestra función es la igualdad,
entonces nuestra función es 𝑓(𝑥) = 2 cos(𝑥) y tenemos que
1
= cos
y 𝑦
2
Entonces calculamos nuestro Wronskiano.
1
2
′
1
′
cos
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
2
2
Utilizando propiedades trigonométricas.
Y tenemos todos los “ingredientes” para desarrollar
la respuesta, por lo tanto, desarrollamos la formula
y integramos.
Tenemos los valores de 𝑢
1
y 𝑢
2
entonces desarrollamos
la multiplicación.
𝑝
1
cos
2
𝑝
2
(𝑥)) cos(𝑥) + (𝑥 +
𝑝
= − cos
2
𝑐
𝑝
1
cos(𝑥) + 𝑐
2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛
2
Ahora que tenemos nuestra ecuación y necesitamos
evaluarla ecuación
1
( 2 cos
1
= − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥
1
2
2
(cos(𝑥))( 2 cos(𝑥))
2
2
2
3
2
Necesitamos cambiar y por 𝑦 = 𝑥
𝑚
y sacarles sus
derivadas para encontrar
𝑑
𝑛
𝑦
𝑑𝑥
𝑛
y cambiarlas en la
ecuación original.
𝑚
′
𝑚− 1
′′
𝑚− 2
′′′
𝑚− 3
Resolvemos la parte homogénea cambiando las derivadas
por lo que valen y dejando a 𝑥
𝑛
multiplicando y
igualamos a cero.
3
𝑚− 3
2
𝑚− 2
𝑚− 1
Multiplicamos y factorizamos.
𝑚
𝑚
𝑚
3
2
2
𝑚
𝑚
2
𝑚
𝑚
3
2
2
𝑚
2
𝑚
𝑚
𝑚
3
2
2
2
𝑚
3
𝑚
3
2
1
2
3
Por lo que tenemos 3 soluciones {𝑚
1
2
3
Y realizamos nuestra solución complementaria.
𝑐
1
0
2
2
3
− 2
𝑐
1
2
2
3
2
Ahora buscaremos nuestra solución particular
cambiando las constantes por funciones.
𝑝
1
2
2
3
− 2
1
2
2
3
− 2
Lo que haremos será trabajar de la siguiente manera,
buscando el Wronskiano y los determinantes con ayuda
de la función, para poder encontrar 𝑢
′
𝑛
2
− 2
− 3
− 4
Para el Wronskiano aplicamos su determinante (una
forma es repitiendo las dos primeras columnas)
2
− 2
− 3
− 4
2
2
− 2
− 3
ln(𝑥)
2
− 4
2
− 2
− 3
ln(𝑥)
2
− 4
ln(𝑥)
2
ln(𝑥)
2
− 3
2
2 ln
5
3
2
ln(𝑥)
2
3
2
ln
2
2
ln
2
2 ln
3
2 ln(𝑥)
1
− 3
2
2 ln
5
3
2 ln(𝑥)
Y ya tenemos [𝑤
1
2
3
] por lo que recordando lo
explicado anterior, podemos tomar todo lo obtenido
para encontrar 𝑢
′
𝑛
𝑢′
1
=
𝑊
1
𝑊
𝑢
′
1
− 3
− 3
𝑢
′
1
( 𝑥
)
′
1
𝑢
1
𝑢
1
No agregaremos
las constantes de
integración ya
que al final se
cancelan
𝑢
′
2
=
𝑊
2
𝑊
𝑢
′
2
2 ln(𝑥)
5
3
Simplificamos
𝑢
′
2
( 𝑥
)
2
′
2
2
Integración por partes
− 2
𝑢
2
( 𝑥
) ) (−
) (
)
𝑢
2
)
𝑢
′
3
=
𝑊
3
𝑊
𝑢
′
3
=
2 ln
( 𝑥
)
16
3
Simplificamos.
𝑢
′
3
=
𝑥
2
𝑖𝑛(𝑥)
8
∫ 𝑢′
3
= ∫
𝑥
2
𝑖𝑛
( 𝑥
)
8
𝑑𝑥
∫ 𝑢
′
3
=
1
8
∫ 𝑥
2
𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
Integración por partes.
𝑟 = 𝑖𝑛
( 𝑥
)
𝑑𝑟 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥
2
𝑣 =
𝑥
3
3
𝑢
3
=
1
8
[(𝑖𝑛
( 𝑥
) ) (
𝑥
3
3
) − ∫ (
𝑥
3
3
) (
1
𝑥
) 𝑑𝑥]
𝑢
3
=
1
8
[
𝑥
3
𝑖𝑛(𝑥)
3
−
1
3
∫ 𝑥
2
𝑑𝑥]
𝑢
3
=
1
8
[
𝑥
3
𝑖𝑛(𝑥)
3
−
𝑥
3
9
]
3
2
𝑦 ′′ − 17𝑥𝑦 ′ − 7y = 0
Aplicamos la misma forma de solución que la anterior,
pero en este caso nuestra ecuación esta igualada a
cero por lo que es homogénea.
𝑚
′
𝑚− 1
′′
𝑚− 2
′′′
𝑚− 3
3
′′′
2
′′
′
3
𝑚− 3
2
𝑚− 2
𝑚− 1
𝑚
Simplificamos.
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
3
2
2
𝑚
2
𝑚
𝑚
𝑚
3
2
2
2
𝑚
3
2
𝑚
3
2
2
Por lo tanto, tenemos 3 soluciones.
1
2
3
1
2
3
7
