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2 - 38 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
Regla de los cuatro pasos
La derivada de una función también se puede obtener como el límite del cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos.
0
´( ) (^ )^ ( )
x f x lím f^ x^ x^ f^ x x
^
El procedimiento en este caso consiste en los pasos siguientes:
- Se da un incremento, x a la variable independiente x
- Se obtiene el incremento correspondiente a la función f x ( x ) f x ( )
- Se obtiene el cociente de los incrementos f^ (^ x^ x )^^ f^ ( ) x x
- Se calcula el límite del cociente de incrementos lím x 0 f^^ (^ x^ x )^^ f^ ( ) x x
y esto proporciona la derivada de f ( ) x En la aplicación de esta regla, además de las operaciones de factorización que ya recordamos, será necesario utilizar el desarrollo de binomios como: 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
( ) 4 6 4 , etc
a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b
Y también recordar cómo racionalizar el numerador o denominador de una fracción.
Veamos otros ejemplos para obtener la derivada de una función, aplicando esta definición de la regla de los cuatro pasos.
Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 39
Solución
- Damos un incremento x a x ,
- Obtenemos el incremento de la función f x ( x ) f x ( ) 5( x x ) ( 5 ) x 5 x 5 x 5 x 5 x
- Obtenemos el cociente de incrementos^ f^ (^ x^ x )^^ f^ ( ) x^^5 x 5 x x
y
- aplicamos el límite lím x 0 ( 6) 6
Por lo tanto, f ´( ) x 6
Solución
- Damos un incremento a x y obtenemos el incremento correspondiente a
f(x)
f x ( x ) f x ( ) 5( x x )^2 13( x x ) 3 5 x^2 13 x 3 Obtenemos el cociente de incrementos
5( x x )^2 13( x x ) 3 (5 x^213 x 3) x
Desarrollamos el binomio al cuadrado y eliminamos paréntesis
Ejemplo 2.14 Obtén la derivada de la función f x ( ) 5 x 10
Ejemplo 2.1 5 Obtén la derivada de f ( ) x 5 x^2 13 x 3
Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 41
Finalmente, la derivada de f x ( ) 2 x^3^ 6 x^2^ 7 x 11 es f ´( ) x 6 x^2 12 x 7
Solución
- Calculamos el incremento de f(x) al incrementar la variable x
- ( ) ( ) 11 ( ) 4 7( )^3 11 4 4 4 3
f x x f x x x x x ^ x x
- Obtenemos ahora el cociente de incrementos (^11) ( ) (^4 7) ( ) 3 11 4 7 3 f ( x x ) f ( ) x 4^ x^ x^ 3 x^ x^ 4 x^ 3 x x x
^
^
Desarrollamos los binomios a la cuarta y al cubo para después simplificar términos semejantes
(^11) ( 4 4 3 6 2 2 4 3 4 ) 7 ( 3 3 2 3 2 3 ) (^11 4 ) 4 3 4 3
x x x x x x x x x x x x x x x x
x
^
x x x x x x x x x x x x x
Ahora dividimos cada término entre x y aplicamos el límite
- 011 3 33 2 11 2 11 3 7 2 7 7 2 11 3 7 2 x 2 4 3 ^ lím^^ ^ x^ ^ x^ x^^ x^ ^ x^ ^ ^ x^ ^ x^ ^ x x ^^ ^ x^ ^ x^ x
Por consiguiente, la derivada de ( )^11 4 4 3
^ f^ x^ ^ x^ x es f^^ ´( ) x^^ ^11 x^3^^ ^7 x^2
Ejemplo 2.17 Obtén la derivada de ( ) 11 4 7 3 4 3
f x x x
2 - 42 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
Solución
- Nuevamente, iniciamos obteniendo el incremento de la función, al incrementar a la variable x
- f x ( x ) f x ( ) 11 2( x x )^2 6( x x )^5 (11 2 x^2^ 6 x^5 )
- Obtenemos ahora el cociente de los incrementos f ( x x ) f ( ) x 11 2( x x ) 2 6( x x )^5 (11 2 x^2^6 x^5 ) x x
Desarrollamos los binomios 11 2( x^2 2 x x^2 x ) 6( x^5^5 x^4 x 10 x^3 2 x 10 x^2 3 x 5 x^4 x^5 x ) 11 2 x^2^6 x^5 x
Eliminamos paréntesis y simplificamos términos semejantes 4 x x 2 2 x 30 x^4^ x 60 x^3^2 x 60 x^2 3 x 30 x^4 x 6 5 x x
Dividimos por Δ x y aplicamos el límite
4. lím x 0 4 x 2 x 30 x^4^ 60 x^3 x 60 x^2^ ^2 x 30 x 3 x 6 ^4 x 4 x 30 x^4
Por lo tanto, la derivada de f ( ) x 11 2 x^2 6 x^5 es f ´( ) x 4 x 30 x^4
Ejemplo 2.18 Obtén la derivada de f ( ) x 11 2 x^2 6 x^5
Ejemplo 2.19 Obtén la derivada de f ( ) x 3 x
2 - 44 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
3 2 2 3 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Simplificamos términos semejantes en el numerador, tendremos 2 2 2 2
x x x x x x x x x x
- Ahora obtenemos el cociente de los incrementos y simplificamos x 2 2 (^2 2 ) 2 2
( ) ( ) (^ )^ 8(^ ) (^ 8 )
x x x x f x x f x x^ x^ x^ x^ x^ x x x x x x x x x x x x
^ ^ ^ ^
- Calculamos el límite cuando x tiende a cero de éste último cociente 2 2 2 x (^0) ( ) 2 8( ) ( 2 8 ) ( 2 8 )( 2 8 ) ( 2 8 )^2 lím x^ x^ x^ x^ x x x x x x x x x x x x x
Y éste último resultado es la derivada de la función ( ) (^2) 8
f x x x x
- f ( ) x 2 x^3^ 6 x^2 ,en x 2
- ( ) 1 3 2 4,en 3 3
f x x x x
- f ( ) x x 3^ 6 x^2 ,en x 1
- f ( ) x x^4^ 4 x^3 ,en x 4
- f ( ) x 4 7 x 12,en x 3
- ( ) 5 , 2 3 4
f x en x x
Ejercicio 2. Obtén la derivada de las siguientes funciones utilizando ya sea el límite de Fermat o la regla de los cuatro pasos y después calcula la pendiente de la tangente a la curva en el punto que se indica
