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UNIDAD II: CURVAS PLANAS,
ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y
COORDENADAS POLARES
ELABORADO POR:
SANCHEZ DIAZ KATYA LIZETH
HERNANDEZ SANCHEZ ROBERTO
PROFESOR: FABIOLA VALERIO RAMÍREZ
ASIGNATURA: CÁLCULO VECTORIAL.
AGOSTO-DICIEMBRE 2020
Ejercicio 1. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente al valor del parametro dado.
x = sin^3 θ, y = cos^3 θ, θ = π 6 Solucion. : y = −
3 x +
Solución. Primero calculamos las derivadas de las funciones por separado
dx dθ
d dθ
sin^3 θ
= 3 cos θ sin^2 θ dy dθ = d dθ
cos^3 θ
= −3 sin θ cos^2 θ
y sustituimos en la formula de la dreivada para ecuaciones parametricas
dy dx
−3 sin θ cos^2 θ 3 cos θ sin^2 θ
= cos^ θ^ (−3 sin^ θ^ cos^ θ) cos θ
3 sin^2 θ
−3 sin θ cos θ 3 sin^2 θ = −3 cos θ 3 sin θ = − cot θ
evaluamos dy dx
θ= π 6
= − cot θ = − cot
( (^) π 6
ahora calculamos la x y y correspondientes
x = sin^3 θ = sin^3
( (^) π 6
y = cos^3 θ = cos^3
( (^) π 6
=^3
ahora utilizamos la ecuacion de la recta y − y 1 = m (x − x 1 )
y − y 1 = m (x − x 1 )
y −
x −
y −
3 x +
y = −
3 x +
y = −
3 x +
y = −
3 x +
Ejercicio 2. Encuentre el área encerra por la curva x = t^2 − 2 t, y =
t y el eje y.
Solución. Para resolver este problema ocuparemos la formula
A =
∫ (^) b
a
xdy =
∫ (^) b
a
f (t)g′(t)dt
donde:
f (t) = t^2 = 2 t g′(t) = dx dt
t = 1 2
t Ahora obtendremos a y b,intersección al eje y, x = 0
t^2 − 2 t = 0
t(t − 2) = 0
t = 0
t − 2 = 0
Ejercicio 3. Encuentre la longitud exacta de la curva
x = cos t + ln
tan^1 2 t
, y = sin t, π 4 ≤ t ≤ 3 π 4 , Solucion. : ln 2
Solución. Para el calculo de la longitud de arco de esta curva utilizaremos la siguiente formula
L =
∫ (^) b
a
dx dt
dy dt
dt
primero calculamos las derivadas necesarias
dx dt = d dt
cos t + ln
tan^1 2 t
= − sin t +
sec^2
t
tan
2 t
= − sin t +
sec^2
t
2 tan
2 t = − sin t + csc t
dy dt =^
d dt (sin^ t) = cos^ t y sustituimos
L =
∫ (^3) π/ 4
π/ 4
(csc t − sin t)^2 + cos^2 tdt
L =
∫ (^3) π/ 4
π/ 4
csc^2 t − 2 csc t sin t + sin^2 t + cos^2 tdt
L =
∫ (^3) π/ 4
π/ 4
csc^2 t − 1 dt
L =
∫ (^3) π/ 4
π/ 4
cot^2 tdt
L =
∫ (^3) π/ 4
π/ 4
cot tdt
L = [ln |sin t|]^3 π/π/ 44
L = ln
∣∣sin
3 π 4
∣∣ − ln
∣sin
( (^) π 4
L = ln
∣ −^ ln
L = ln
√^2
como existe una incongruencia en el resultado, procederemos a cambiar los li- mites de intregracion, aprovecando que la curva es simetrica la llevaremos desde π 4 hasta π 2 y la multiplicaremos por dos ∫ (^) π/ 2
π/ 4
cot tdt = 2 [ln |sin t|]π/ π/^24
[
ln
∣sin^
π 2
∣ −^ ln
∣sin^
π 4
]
= −2 ln
= ln
∣∣ = ln
= ln
= ln 2
Ejercicio 4. Graque la curva x = 2 cos θ= cos 2θ, y = 2 sin θ= sin 2θ .Si esta curva rota entorno al eje x,encuentre el área de la supercie resultante.
(Use la gráca para ayudarse a encontrar el intervalo correcto para el pará- metro.)
Solución. Para resolver este ejercicio usaremos la formula
S =
∫ (^) b
a
2 πy
dx dt )
(^2) + ( dy dt )
(^2) dt
Obtenemos las derivadas d dt (2 cos θ= cos 2θ) = =2 sin θ + 2 sin 2θ
d dt (2 sin θ= sin 2θ) = 2 cos θ=2 cos 2θ Para encontrar nuestro intervalo nos apoyaremos gra cando
S =
∫ (^) π
0
2 π(2 sin θ= sin 2θ)
(=2 sin θ + 2 sin 2θ)^2 + (2 cos θ=2 cos 2θ)^2 dθ
= 2π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
4 sin^2 θ=8 sin θ sin 2θ + 4 sin^2 2 θ + 4 cos^2 θ=8 cos θ cos 2θ + 4 cos^2 2 θ)dθ
Agrupamos los terminos semejantes
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
4(sin^2 θ + cos^2 θ) + 4(sin^2 2 θ + cos^2 2 θ)=8 sin θ sin 2θ=8 cos θ cos 2θ)dθ
Ocupamos las identidades sin^2 θ + cos^2 θ = 1 sin^2 2 θ + cos^2 2 θ = 1
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
8 =8 sin θ sin 2θ=8 cos θ cos 2θdθ
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
8 =8(sin θ sin 2θ + cos θ cos 2θ)dθ
Utilizaremos la identidad cos(x=y) = sin(x) sin(y) + cos(x) cos(y)
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
8 =8(cos −θ)dθ
La indentidad cos(=x) = cos(x)
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
8 =8(cos θ)dθ
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
8(1 − cos θ)dθ
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
(1 − cos θ)dθ
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
(1 − cos θ)dθ
2 ∗ 2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ= sin 2θ)
(1 − cos θ)dθ
Ocuparemos la identidad sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
4
2 π
∫ (^) π
0
(2 sin θ=2 sin θ cos θ)
(1 − cos θ)dθ
2 π
∫ (^) π
0
ba2 sin θ(1= cos θ)√(1 − cos θ)dθ
2 π
∫ (^) π
0
sin θ(1= cos θ)^1 (1 − cos θ) (^12) dθ
2 π
∫ (^) π
0
sin θ(1= cos θ) (^32) dθ
Para integrar realizaremos un cmbio de variable
u = 1= cos θ du = sin θdθ dθ =
sin θ du
2 π
∫ (^) π
0
(sin θ(u) (^32) )
sin θ du = 8
2 π
∫ (^) π
0
sin θ(u) 32 sin θ du
2 π
∫ (^) π
0
(u) (^32) du
2 π
[
5 u^
(^52)
]
Regresamos a la variable original
= 8
2 π
[
( 1 = cos θ) (^52)
]
Ahora procedemos a evaluar
8
2 π
[
( 1 = cos θ) 52
]π
0
= 8
2 π
[
(1= cos (π)) (^52) ) − (
( 1 = cos θ(0) (^52) )
]
2 π
[
(^52) )
]
2 π
[
(^52) )
]
2 π(
2 π(
2 π(
2 π 8
2 π 5 =
64 ∗ 2 π 5 =
128 π 5
S = 128 π 5 u^2
El área de la super cie resultante es 1285 πu^2
L =
θ^2 + 4
2 π
0
=^1
(θ^2 + 4)^
2 π
0
L =^1
(2π)^2 + 4
(0)^2 + 4
L =
( 4 π^2 + 4)^
L =
[√
(4π^2 + 4)^3 − 8
]
L =^1
[√
64 π^6 + 192π^4 + 192π^2 + 64 − 8
]
L =
[√
64 (π^6 + 3π^4 + 3π^2 + 1) − 8
]
L =^1
[√
(π^2 + 1)^3 − 8
]
L =
8 (π^2 + 1)^
L =^8
(π^2 + 1)^
(^) u
Ejercicio 6. ncuentre la longitud de arco r = cos^2 θ 2
Solución. Para resolver el problema ocuparemos la formula
L =
∫ (^) b
a
r^2 +
dr dθ
dθ
Obtenemos la derivada dr dθ cos^2 θ 2 = = cos θ 2 sin θ 2 Para encontrar nuestro limite nos apoyaremos del gra co
Figura 4: GRAFICA
Si utilizamos el deslizador nos damos cuenta que nuestra curva empieza a formarse de 0 hasta 2 π Por lo tanto ese sera nuestro intervalo. Sustituimos en la formula
L =
∫ (^2) π
0
(cos^2 θ 2
)^2 +
= cos θ 2 sin θ 2
dθ
∫ (^2) π
0
cos^4 θ 2
∫ (^2) π
0
cos^2 θ 2
cos^2 θ 2
Utilizamos la identidad sin^2 θ + cos^2 θ = 1
∫ (^2) π
0
cos^2 θ 2 dθ ∫ (^2) π
0
cos θ 2 dθ
Para integrar utilizaremos un cambio de variable
u = θ 2 du =^1 2 dθ dθ = 2du
∫ (^) π
0
(cos u)2du = 4
∫ (^) π
0
(cos u)du
= 4 sin u Regresamos a la variable original
4 sin θ 2 Evaluamos [ 4 sin θ 2
]π
0
[(
4 sin π 2
4 sin
)]
= [(4(1)) − 0]
= 4u La longitud de la curva es 4 u
Ejercicio 7. Trace la curva y encuentre el area que encierra
r = 1 + 5 sin θ, Solucion. : 27 π 2 Solución. Vamos a utilizar la formula de area para curvas polares
A =
∫ (^) b
a
r^2 dθ
∫ (^2) π
0
(1 + 5 sin θ)^2 dθ
=^1
∫ (^2) π
0
1 + 10 sin θ + 25 sin^2 θ
dθ
[
θ + 10 cos θ + 25 θ 2
cos 2θ
] 2 π
0 =^1 2
[
θ + 10 cos θ − 25 cos 2θ
] 2 π
0
[
27 (2π) 2 + 10 cos (2π)^ −^ 25 cos (4π)^ −
2 + 10 cos (0)^ −^ 25 cos (0)
)]
[27π + 10 − 25 − (0 + 10 − 25)]
=
[27π − 15 + 15]
=
[27π]
A =
27 π 2 u^2
Ejercicio 8. Trace la curva y en cuentre el área que encierra r = 1 + 2 sin θ. Bucle interno
Solución. Para resolver este problema utilizaremos la formula
A =
∫ (^) b
a
2 r
(^2) dθ
Para encontrar a y b debemos ver donde inicia y donde termina a formarse nuestro bucle interno
Figura 6: GRAFICA
Al utilizar el deslizador vemos que inicia en el polo y termina en el polo. Asi que igualamos nuestra función a 0
1 + 2 sin θ = 0
2 sin θ = − 1
sin θ = −
Esto quiere decir que nuestro bucle se empieza a formar cuando el sin θ = − (^12) por primera vez y termina cuando vuelve a tomar ese valor, con nuestro circulo unitario vemos que esto ocurre en 76 π y 116 π , comprobemos que efectivamente se forma lo que necesitamos
[(
11 π 6
− 4 cos
11 π 6
− sin 2 11 π 6
7 π 6
− 4 cos
7 π 6
− sin 2 7 π 6
)]
[
11 π 2 −^2
2 −^
7 π 2 −^2
]
[
2 π − 3
]
= π −
u^2
El área que encierra el bucle interno es de π − 3
√ 3 2 u 2
Ejercicio 9. Encuentre el area de la region que esta dentro de las curvas
r =
3 cos θ y r = sin θ, Solucion. :^5 π 24
Solución. Calcularemos las areas por separado y luego sumaremos, basandonos en la representacion de GeoGebra. La prime intrgral se llevara de 0 a π 3
A 1 =
∫ π 3 0
sin^2 θdθ
∫ π 3 0
cos 2θ
[
θ 2
sin 2θ
] π 3 0
π 3 2
sin 2 π 3
sin 0
[
π 6 −
]
π 12 −
La segunda integral la llevaremos de π 3 a π
A 2 =
∫ (^) π π 3
cos^2 θdθ
∫ (^) π π 3
cos 2θdθ
[
θ 2
sin 2θ
] π 2 π 3
=^3 2
π 2 2
+^1
sin π −
π 3 2
+^1
sin^2 π 3
[
π 2
π 6
)]
[
π 12
]
3 π 24
sumamos las areas AT = A 1 + A 2
AT = π 12
3 π 24
2 π 24
3 π 24
=^5 π 24
5 π 24
u
Ejercicio 10. Encuentre el área dentro del bucle más grande y fuera del bucle más pequeño de la limaçon r = 12 + cos θ
Solución. Para resolver este problema ocuparemos la formula
A =
∫ (^) b
a
2 r
(^2) dθ
Para encontrar el intervalo de los bucles nos apoyaremos de geogebra
Figura 9: GRAFICA
Para el bucle menos observamos que empieza a formarse en el polo y termina en el polo, por lo tanto igualamos la funcion a 0 ,como vimos antes esto nos da cos θ = − 12 , por lo tanto nuestro limite menor es cuando este toma por primera vez el valor de cos θ = − 12 , esto es en 23 π y el limite superior es cuando este toma el mismo valor por segunda vez esto es en 43 π , por lo tanto nuestro intervalo es
( (^2) π 3 ,^
4 π 3
, como este es del área completa no es necesario multiplicar por 2 .comprobamos
Figura 10: GRAFICA
Realizaremos la integral inde nida y despues evaluaremos para cada uno de los intervalos.
A =
r^2 dθ
cos 2θdθ
cos 2θdθ
[
θ + sin θ +
sin 2θ
]
Primero evaluamos para el limite superios,(0, 23 π ).Recordemos que multipli- caremos por 2.
[
θ + sin θ +^1 4 sin 2θ
] 23 π
0
=
[
θ + sin θ +
sin 2θ
] 23 π
0
