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Ejercicios de Cálculo de Probabilidades
Ejercicio nº 1.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a ¿Cuál es el espacio muestral? b Describe los sucesos: A "Mayor que 6" B "No obtener 6" C "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos A B , A B y B ' A '.
Ejercicio nº 2.- Extraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son. a ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos: A "Las cartas son de distinto palo" B "Al menos una carta es de oros" C "Ninguna de las cartas es de espadas" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos B C y B ' C****.
Ejercicio nº 3.- En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número quetiene.
a Describe los sucesos: A "Obtener par" B "Obtener impar" C "Obtener primo" D "Obtener impar menor que 9" escribiendo todos sus elementos. b ¿Qué relación hay entre A y B****? ¿Y entre C y D****? c ¿Cuál es el suceso A B****? ¿y C D****?
Ejercicio nº 4.- Consideramos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos: A "Obtener dos caras y una cruz" B "Obtener al menos dos caras"
C "Obtener al menos una cruz" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos B C y C '
Ejercicio nº 5.- Lanzamos dos dados sobre la mesa y anotamos los dos números obtenidos. a ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b Describe los sucesos: A "Obtener al menos un cinco" B "La suma de los resultados es menor que 4" C "La suma de los resultados es igual a 7" escribiendo todos sus elementos c Halla los sucesos A B y B C'****.
Ejercicio nº 6.- A partir de esta probabilidades: P [ A B '] 0,8 P [ A '] 0,5 P [ A B ] 0, Calcula P [ B ] y P [ A B ].
Ejercicio nº 7.- Sabiendo que: P [ A B ] 0,2 P [ B '] 0,7 P [ A B '] 0, Calcula P [ A B ] y P [ A ]****.
Ejercicio nº 8.- De dos sucesos, A y B , sabemos que: P [ A ' B '] 0 P [ A ' B '] 0,5 P [ A '] 0, Calcula P [ B ] y P [ A B ].
Ejercicio nº 9.- Sean A y B los sucesos tales que: P [ A ] 0,4 P [ A ' B ] 0,4 P [ A B ] 0, Calcula P [ A B ] y P [ B ].
Ejercicio nº 16.- Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que lecorresponde?
Ejercicio nº 17.- a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es laprobabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Ejercicio nº 18.- Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Ejercicio nº 19.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dospersonas no piensen el mismo número?
Ejercicio nº 20.- En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si unopositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?
Ejercicio nº 21.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2de una película que se emitieron en horas distintas: 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate? c Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
Ejercicio nº 22.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.Escogemos uno de los viajeros al azar.
a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Ejercicio nº 23.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.Escogemos uno de los viajeros al azar.
a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Ejercicio nº 24.- En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar: a ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? b Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? c ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?
Ejercicio nº 25.- En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que nohan aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Ejercicio nº 26.- Una bola bolsa, A , contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B , contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A ; y si no sale un uno, la extraemos de B. a ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A****?
Ejercicio nº 27.- Tenemos dos bolsas, A y B****. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B****. Después extraemos una bola de B****. a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Ejercicio nº 28.- Una urna,Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A , contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B , hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. A y, si sale cruz, la extraemos de B****. a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? b Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A****?
Ejercicio nº 29.- El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen laenfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población: a ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?
Soluciones
Ejercicios de Cálculo de Probabilidades
Ejercicio nº 1.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a ¿Cuál es el espacio muestral? b Describe los sucesos: A "Mayor que 6" B "No obtener 6" C "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos A B , A B y B ' A '.
Solución: a E { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } b A { 7, 8, 9 } B { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } C { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } A B B A B
AA BB A B
pues ' ' { 6 } '
c) {{7,0,8,1, 9 2,}3,4,5,7,8, 9 }
Ejercicio nº 2.- Extraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son. a ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos: A "Las cartas son de distinto palo" B "Al menos una carta es de oros" C "Ninguna de las cartas es de espadas" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos B C y B ' C****.
Solución: a E { O , O , O , C , O , Es , O , B , C , O , C , C , C , Es , C , B , Es , O , Es , C , Es , Es , Es , B , B , O , B , C , B , Es , B , B } DondeTiene 16 elementos. O representa oros; C , Copas; Es , espadas y B , bastos.
b A { O , C , O , Es , O , B , C , O , C , Es , C , B , Es , O , Es , C , Es , B , B , O , B , C , B , Es } B { O , O , O , C , O , Es , O , B , C , O , Es , O , B , O } C { O , O , O , C , O , B , C , O , C , C , C , B , B , O , B , C , B , B } c B C { O , O , O , C , O , Es , O , B , C , O , C , C , C , B , Es , O , B , O , B , C , B , B } B ' C { C , C , C , B , B , C , B , B }
Ejercicio nº 3.- En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a Describe los sucesos: A "Obtener par" B "Obtener impar" C "Obtener primo" D "Obtener impar menor que 9" escribiendo todos sus elementos. b ¿Qué relación hay entre A y B****? ¿Y entre C y D****? c ¿Cuál es el suceso A B****? ¿y C D****?
Solución: a A {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} B {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C {2, 3, 5, 7, 11, 13} D {3, 5, 7} b B A '; D C c A B E Espacio muestral ; C D D
Ejercicio nº 4.- Consideramos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos: A "Obtener dos caras y una cruz" B "Obtener al menos dos caras" C "Obtener al menos una cruz" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos B C y C '
Solución: a E { C , C , C , C , C , , C , + , C , , C , C , C , , , , C , , , , C , , , } Tiene 8 elementos.
P [ B '] P [ A B '] P [ A B ] 0,8 0,2 0,
P [ B ] 1 P [ B '] 1 0,6 0,
Calculamos ahora P [ A B ]: P [ A '] 1 P [ A ] 0,5 P [ A ] 0, P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 0,5 0,4 0,2 0,
Ejercicio nº 7.- Sabiendo que: P [ A B ] 0,2 P [ B '] 0,7 P [ A B '] 0, Calcula P [ A B ] y P [ A ]****.
Solución:
P [ A ] P [ A B '] P [ A B ] 0,5 0,2 0,
P [ B ] 1 P [ B '] 1 0,7 0,
P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 0,7 0,3 0,2 0,
Ejercicio nº 8.- De dos sucesos, A y B , sabemos que: P [ A ' B '] 0 P [ A ' B '] 0,5 P [ A '] 0, Calcula P [ B ] y P [ A B ].
Solución:
P [ A ' B '] P [ A B '] 1 P [ A B ] 0 P [ A B ] 1
P [ A ' B '] P [( A B )'] 1 P [ A B ] 0,5 P [ A B ] 0,
P [ A '] 1 P [ A ] 0,4 P [ A ] 0,
Así: P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 1 0,6 P [ B ] 0,5 P [ B ] 0,
Ejercicio nº 9.- Sean A y B los sucesos tales que: P [ A ] 0,4 P [ A ' B ] 0,4 P [ A B ] 0, Calcula P [ A B ] y P [ B ].
Solución: Calculamos en primer lugar P [ B ]:
P [ B ] P [ A ' B ] P [ A B ] 0,4 0,1 0,
P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 0,4 0,5 0,1 0,
Ejercicio nº 10.- Teniendo en cuenta que: P [ A B ] 0,9 P [ B '] 0,4 P [ A B ] 0, Halla P [ A ] y P [ A ' B ].
Solución: P [ B ] 1 P [ B '] 1 0,4 0, P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 0,9 P [ A ] 0,6 0, Por tanto: P [ A ] 0, Para calcular P [ A ' B ], hacemos un diagrama:
P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 0,82 0,5 P [ B ] 0,12 P [ B ] 0,
Así, tenemos que:
P A B P ^ A B ^ P ^ A ^ P B^
P A PB
Luego, A y B no son independientes. b Como
P B '/ A P B^ P ' A A
necesitamos calcular P [ B ' A ]:
P [ B ' A ] P [ A ] P [ A B ] 0,5 0,12 0,
Por tanto:
P B ' / A P B^ P ' A A ^00 ,,^385 0 , 76
Ejercicio nº 13.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P [ A '] 0,6 P [ B ] 0,3 P [ A ' B '] 0, a ¿Son independientes A y B****? b Calcula P [ A ' / B ].
Solución: a P [ A ' B '] P [ A B '] 1 P [ A B ] 0,9 P [ A B ] 0, P [ A '] 1 P [ A ] 0,6 P [ A ] 0,
P A B P ^ A B ^ P A^ ^ P B
P A PB
Por tanto, A y B no son independientes. b Como:
P A '/ B P P^ A ' B B
necesitamos calcular P [ A ' B ]:
P [ A ' B ] P [ B ] P [ A B ] 0,3 0,1 0,
Por tanto:
P A ' / B P A^ P ' BB 00 ,, 32 0 , 67
Ejercicio nº 14.- De dos sucesos A y B sabemos que: P [ A '] 0,48 P [ A B ] 0,82 P [ B ] 0, a ¿Son A y B independientes? b ¿Cuánto vale P [ A / B ]?
Solución: a P [ A '] 1 P [ A ] 0,48 P [ A ] 0, P [ A B ] P [ A ] P [ B ] P [ A B ] 0,82 0,52 0,42 P [ A B ] P [ A B ] 0,
P A B P ^ A B ^ P ^ A ^ P B
P A PB
No son independientes.
b) P A / B PP ^ A B B 00 ,,^1242 0 , 29
Ejercicio nº 15.- Sabiendo que: P [ A ] 0,5 P [ B '] 0,6 P [ A ' B '] 0, a ¿Son A y B sucesos independientes?
Ejercicio nº 17.- a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es laprobabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución: a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es aprobabilidad de que el segundo elija el mismo número?
P 51 0 , 2
b) P 51 51 251 0 , 04
Ejercicio nº 18.- Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución:
a) P ^1040 399 523 0 , 058
b) P 2 ^1040 3910 395 0 , 128
c) P 1 P NINGUNA DEOROS 1 4030 3929 1 5229 5223 0 , 442
d) P ^1040 ^1039 785 0 , 064
Ejercicio nº 19.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dospersonas no piensen el mismo número?
Solución: Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es laprobabilidad de que el segundo elija el mismo número?
P 10010 101 0 , 1
Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será: 1 101 109 0 , 9
Ejercicio nº 20.- En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si unopositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?
Solución: Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso: A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas" Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe;entonces: P [ A ] = 1 - P [ A '] = 1 - P ["no sabe ninguno de los tres"] = 1 8550 8449 8348 1 0 , 198 0 , 802 Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802.
Ejercicio nº 21.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2de una película que se emitieron en horas distintas: 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate? c Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
Solución: Organizamos la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamamos D "Vio el debate" y P "Vio la película".
a) P D P 21450500 5029 0 , 58
b) P P / D 11500450 3029 0 , 97
Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francés". a Tenemos que hallar P [ I F ]:
P I F P I P F P I F ^48 12036 ^12 12072 53 0 , 6
b) P F/I ^1248 41 0 , 25
c) P F no I 12024 51 0 , 2
Ejercicio nº 24.- En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar: a ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? b Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? c ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?
Solución: Hacemos una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
a) P Chico 1055 2011 0 , 55
b) P Chica /Tenis 7535 157 0 , 47
c) P Chica Notenis 10015 203 0 , 15
Ejercicio nº 25.- En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Solución: Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:
Llamamos M "Aprueba matemáticas", I Aprueba inglés".
a) P M I 3010 31 0 , 33
b) P I /M 1810 95 0 , 56
c) P M P I ^1830 3016 53 158 7524 258
P M I 31 258
Como P M I P M P I, losdossucesosnosonindependientes.
Ejercicio nº 26.- Una bola bolsa,Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A , contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B , contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. A ; y si no sale un uno, la extraemos de B. a ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A****?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
a) P R 161 21 169
b) P A / R P ^ PA y R R 911616 91
Ejercicio nº 27.- Tenemos dos bolsas,blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y B****. En la bolsa A (^) A y la pasamos a hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B****. Después extraemos una bola de B hay 6 bolas B****.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Solución:
