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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta
Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergencia de una serie y otra es calcular su
suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de forma exacta.
Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas para sumar series, sino
en comprender y en aplicar los métodos que permiten calcularlas.
Series geométricas. Las series de la forma
X
n> 0
˛x
n donde ˛ 2 R y jxj < 1 , cuya suma viene dada por
X^1
nD 0
˛x n D
1 x
Series aritmético - geométricas. Son series de la forma
X
n> 0
p.n/x n donde p es una función polinómica
de grad0 m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fácilmente que estas series convergen
absolutamente si jxj < 1. Es claro que no convergen si jxj > 1 pues entonces fp.n/xng es una sucesión
no acotada y, por tanto, no converge a 0. Supongamos que jxj < 1 y pongamos:
S D
X^1
kD 0
p.k/x k D lKım n!
X^ n
kD 0
p.k/x k
Definamos las diferencias de primer orden de p, que notaremos,
1 p
, como el polinomio dado para
todo k 2 N por
1 p
.k/ D p.k C 1 / p.k/. Observa que 1 p es un polinomio de grado m 1.
Tenemos:
S xS D. 1 x/S D lKım n!
X^ n
kD 0
p.k/x k
X^ n
kD 0
p.k/x kC 1
D
D lKım n!
nX 1
kD 0
p.k C 1 / p.k/
x kC 1 C p. 0 / p.n/x nC 1
D p. 0 / C x
X^1
kD 0
1 p
.k/x k :
Pongamos S 1 D
P 1
kD 0
1 p
.k/x k
. La igualdad anterior nos dice que. 1 x/S D p. 0 / C xS 1. Este
procedimiento puede volver a aplicarse a la serie
X
k> 0
1 p/.k/x k
. De la misma forma obtenemos
ahora. 1 x/S 1 D
1 p/. 0 / C xS 2 , donde S 2 D
P 1
kD 0
2 p
.k/xk^ y
2 p
son las diferencias de
segundo orden de p definidas para todo k 2 N por:
2 p
.k/ D
1 p
.k C 1 /
1 p
.k/:
Observa que
2 p
es un polinomio de grado m 2.
Repitiendo este proceso m veces llegaremos a obtener finalmente
Sm D
X^1
kD 0
mp
.k/x k D
1 x
porque las diferencias de orden m, .mp
, de un polinomio de grado m son constantes, .mp
.k/ D ˛
para todo k 2 N. Conocido Sm calculamos Sm 1 a partir de la igualdad. 1 x/Sm 1 D
m 1 p
. 0 / C
xSm. A partir de Sm 1 podemos calcular Sm 2 , etcétera, hasta llegar a obtener finalmente el valor de
S.
Series hipergeométricas. Consideremos una serie
P
an de términos positivos tal que para todo n 2 N
es: anC 1
an
D
˛n C ˇ
˛n C
; .˛ > 0 ; ˇ; 2 R/:
Escribiendo esta igualdad para n D k en la forma:
˛kakC 1 C akC 1 D ˛kak C ˇak
y sumando desde k D 1 hasta k D n se obtiene:
˛nanC 1 C .anC 1 C Sn a 1 / D ˛Sn C ˇSn: (1)
Donde Sn D
X^ n
kD 1
ak. Supuesto que la serie sea convergente y que su suma es S D lKımfSng, se deduce
de la igualdad anterior que la sucesión fnanC 1 g también converge y necesariamente su límite debe ser
cero (si fuera nanC 1! > 0 se tendría que an n lo que implicaría que la serie diverge).
Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si > ˛ C ˇ y diverge
si < ˛ C ˇ. También diverge si D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de la igualdad 1 que:
˛nanC 1 C anC 1 a 1 D 0 ÷ anC 1 D
a 1
˛n C
y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.
Supuesto que, > ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad 1 deducimos que:
S a 1 D ˛S C ˇS ÷ S D
a 1
˛ ˇ
Series cuyo término general es una función racional. Se trata de series de la forma
X (^) P .n/
Q.n/
don-
de P y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas series tie-
nen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D C1 o que
lKımx!C1 P .x/Q.x/ D 1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado del denomina-
dor es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador. Cuando esta condición se cumple y,
además, las raíces del polinomio Q son todas reales y simples es posible calcular la suma de la serie
descomponiendo la función racional
P .x/
Q.x/
en fracciones simples, Se tendrá una descomposición de la
forma: P .x/
Q.x/
D
A 1
x ˛ 1
C
A 2
x ˛ 2
C C
Am
x ˛m
donde ˛ 1 ; ˛ 2 ; : : : ; ˛m son las raíces de Q. Sustituyendo en la igualdad anterior x D k y sumando desde
k D 1 hasta k D n resulta:
X^ n
kD 1
P .k/
Q.k/
D
X^ n
kD 1
A 1
k ˛ 1
C
A 2
k ˛ 2
C C
Am
k ˛m
Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta que finalmente nos quede una sucesión
que sea convergente. Observa que las series de la forma
X A
n ˛
son divergentes (por comparación
con la serie armónica) pero la suma de todas las que hay en el paréntesis anterior tiene que ser, en
las hipótesis hechas, una serie convergente. Lo usual es que los coeficientes Ak sean unos positivos y
otros negativos y que las raíces ˛k sean números enteros, de manera que se produzcan cancelaciones
que finalmente permitan calcular la suma de la serie. Es frecuente que en los cálculos aparezca la serie
armónica alternada.
Series de diferencias o telescópicas. Se llaman así las series
P
an cuyo término general puede escri-
birse en la forma an D bnC 1 bn. Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad
X^ n
kD 1
ak D bnC 1 b 1 ;
Con ello tenemos que:
X^1
nD 0
p.n/
n!
D
X^1
nD 0
a 0
n!
C
X^ m
j D 1
aj n.n 1 / .n j C 1 /
n!
A D
D a 0 e C
X^ m
j D 1
X^1
nD 0
aj n.n 1 / .n j C 1 /
n!
D
D a 0 e C
X^ m
j D 1
X^1
nDj
aj n.n 1 / .n j C 1 /
n!
A D
D a 0 e C
X^ m
j D 1
X^1
nDj
aj
.n j /!
A (^) D a 0 e^ C
X^ m
j D 1
X^1
nD 0
aj
n!
D
D .a 0 C a 1 C a 2 C C am/ e :
Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desde n D 0 hay que hacer los ajustes necesarios.
El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipo
X
n> 0
p.n/
n!
x n .
De la igualdad (3) se deduce fácilmente que el número e es irracional. En efecto, para todo n 2 N
tenemos que:
0 < e
X^ n
kD 1
k!
D
X^1
kDnC 1
k!
D
n!
X^1
kD 1
.n C 1 /.n C 2 / .n C k/
n!
X^1
kD 1
n C 1
k
D
n!
n
Si e fuera racional, e D
p
q
con p; q 2 N, multiplicando por q! la desigualdad:
0 < e
X^ q
kD 1
k!
q!
q
se tiene que:
0 < .q 1 /!p q!
X^ q
kD 1
k!
q
Pero el número .q 1 /!p q!
X^ q
kD 1
k!
es un número entero y por tanto es imposible que sea mayor que
0 y menor que 1. Esta contradicción muestra que e es irracional.
