TALLER CÁLCULO VECTORIAL
1. 𝒓(𝒕) representa la posición de una partícula en el espacio en el instante 𝑡, determine los vectores
velocidad, aceleración, rapidez y la dirección del movimiento en el valor de 𝑡 indicado.
a. 𝒓(𝒕)=(𝑡 + 1)𝒊 + (𝑡2− 1)𝒋 + 2𝑡𝒌, 𝑡 = 1
b. 𝒓(𝒕)=(sec𝑡)𝒊 + (tan𝑡)𝒋 + 4
3𝑡𝒌 𝑡 = 𝜋
6
c. 𝒓(𝒕)= 𝑒−𝑡𝒊 + (2cos3𝑡)𝒋 + (2sin3𝑡)𝒌 𝑡 = 0
d. 𝒓(𝒕)= (√2
2𝑡) 𝒊 + (√2
2𝑡 − 16𝑡2)𝒋 𝑡 = 0
2. Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva dada para el valor proporcionado
para 𝑡
a. 𝒓(𝒕)=(sin𝑡)𝒊 + (𝑡2− cos 𝑡)𝒋 + 𝑒𝑡𝒌, 𝑡 = 0
b. 𝒓(𝒕)=ln𝑡 𝒊 + 𝑡−1
𝑡+2 𝒋 + 𝑡 ln𝑡 𝒌, 𝑡 = 1
c. 𝒓(𝒕)= cos 𝑡 𝒊 + sin𝑡 𝒋 + sin(2𝑡)𝒌, 𝑡 = 𝜋
2
d. 𝒓(𝒕)= 𝑡2𝒊 + (2𝑡 − 1)𝒋 + 𝑡3𝒌, 𝑡 = 2
3. Identifique la trayectoria de la partícula determinando una ecuación cartesiana. Grafique la ecuación
cartesiana, para cada una de las siguientes trayectorias
a. 𝑥 = 4 cos𝑡 , 𝑦 = 2 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
b. 𝑥 = 𝑡
𝑡−1 , 𝑦 = 𝑡−2
𝑡+1, − 1 < 𝑡 < 1
c. 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡6− 2𝑡4, − ∞ < 𝑡 < ∞
d. 𝑥 = sin𝑡 , 𝑦 = cos 2𝑡, − 𝜋
2≤𝑡≤𝜋
2
e. 𝑥 = 1 + sin𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
4. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales:
a. 𝑑𝒓
𝑑𝑡 = −𝑡𝒊 − 𝑡𝒋 − 𝒕𝑘
𝒓(0)= 𝒊 + 2𝒋 + 3𝒌
b. 𝒅𝑟
𝑑𝑡 =3
2(𝑡 + 1)1
2𝒊 + 𝑒−𝑡𝒋 + 1
𝑡+1 𝒌
𝑟(0)= 𝒌
c. 𝑑2𝒓
𝑑𝑡2= −32𝒌
𝑟(0)=100𝒌
𝑟′(0)= −8𝒊 + 8𝒋
5. Una Bola de Baseball es lanzada desde una
plataforma
que
est
á
32 pies sobre el suelo formando un
ángulo de
30
◦
con
la horizontal,
y con una velocidad inicial de 32
pies/seg
undo
.
a. Muestre que la bola se mueve sobre una
parábola.
b.
Determine el
instante
en el que la bola toca el
suelo.
c. Calcule la
distancia horizontal
recorrida por la
b
ola.
6. Encuentre la longitud del astroide 𝑥 = 𝑎cos3𝑥 𝑦 = 𝑎sin3𝑥, con 𝑎 > 0. Además encuentre (si existen) donde la recta tiene
recta tangente horizontal y recta tangente vertical.
