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Lista 2. Algebra Lineal I´
20-enero-
Resuelve los siguientes ejercicios. Si tienes alguna DUDA, no DUDES en preguntar.
- Sean definidas las siguiente matrices:
A =
, B =
, C =
, D =
Calcular (si es posible):
- A + B, • A + C, • A + C, • DtD, • (BC)Ct,
- 3 A − 5 B, • 6 D, • AB, • DDt, • (BI + A)D,
- BD, • BC, • AC, • (AAt)^2 , • (DtD)D,
- AD, • CD, • At, • 32 D, • (BC)t,
- AtC, • DtAt, • BtA, • (DDt)^3 , • (BI^3 + I^2 A)t,
- (BI^3 + I^2 A)t, • (A − B)(B + I).
- Si A =
, hallar todas las matrices en M 2 × 2 tales que
(a) AB = O, (b) BA = O, (c) AB = O y BA = O.
- Encontrar los valores α y β tales que las matrices
A =
α 0 β
, B =
conmuten, es decir, AB = BA.
- Supongamos que A =
. Hallar la matriz An^ para cualquier n ∈ N.
- Supongamos que A =
cos θ −sen θ sen θ cos θ
. Hallar la matriz An^ para cualquier n ∈ N.
- Encontrar todas las matrices A ∈ M 2 × 2 tales que A^2 = O.
- Encontrar todas las matrices A ∈ M 2 × 2 tales que A^2 = I.
- Probar que si A ∈ Mm×n, entonces B = A + At^ es una matriz sim´etrica.
- Supongamos que las matrices A, B y C tienen los tama˜nos adecuados para poder efectuar las corre- spondientes operaciones. Determina si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y demu´estralos:
(a) A = B ⇒ AC = BC. (b) A^2 = In ⇒ A = In o A = −In. (c) AB = O ⇒ A = O o B = O. (d) C + A = B + A ⇒ C = B. (e) Existe una matriz A tal que A^2 = −In, (f) (A + B)^2 = A^2 + 2AB + C^2.
- Para el sistema
x 1 − x 2 + 2x 3 + x 4 + x 5 + 3x 6 = − 1 − 3 x 1 + 2x 2 + 4x 3 − x 4 + x 5 + 2x 6 = 2 − 2 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 − x 5 + x 6 = − 1 x 1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 − x 6 = − 1
Determar si a) (− 1 , − 1 , 0 , − 1 , 0 , 0), b) (− 10 , − 14 , − 2 , − 6 , − 4 , 3), c) (− 13 , − 16 , − 4 , − 5 , 0 , 3), d) (1, 1 , 2 , 1 , 1 , −2) son soluciones.
- Resolver los siguientes sistemas por el m´etodo de Gauss y determinar si el sistema es consiste o no. Determinar la soluci´on al sistema homog´eneo correspondiente.
(a)
3 x 1 + x 2 + x 3 − x 4 + 2x 5 = 1 2 x 1 − x 2 + 2x 3 − x 4 + x 5 = 2 3 x 1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 − 2 x 5 = 1
(b)
x 1 + 5x 2 + 4x 3 − 13 x 4 = 5 3 x 1 − x 2 + 2x 3 + 5x 4 = − 3 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 − 4 x 4 = 1
(c)
2 x 1 − x 2 + x 3 = − 1 −x 1 + x 2 + 2x 3 = 6 − 2 x 1 + x 2 + x 3 = 5 6 x 1 − 2 x 2 + 8x 3 = 8 4 x 1 − 3 x 2 + 3x 3 = − 1
(d)
x 1 + 2x 2 + 2x 3 = − 1 3 x 1 − 2 x 2 − x 3 = 4 2 x 1 − 5 x 2 + 3x 3 = − 1 x 1 + 4x 2 + 6x 3 = − 5
- tenga soluci´on ´unica,
- sea inconsistente,
- tenga una unfinidad de soluciones.
- Determinar un valor de α para que el sistema
x − 3 y = − 3 2 x + αy − z = − 2 2 x + 2y + (α − 3)z = − 2
- tenga soluci´on ´unica,
- sea inconsistente,
- tenga una unfinidad de soluciones.
- Determinar los valores de α para que el sistema homog´eneo
x + 3y + (1 − α)z = 0 x + αy − z = 0 (2 − α)x + 3y = 0
tenga soluci´on no trivial.
- Pedro es dos veces m´as viejo que Alma y la suma de edades de ambos es igual a 39, ¿cu´ales son sus edades?
- La par´abola y = a + bx + cx^2 pasa por los puntos (x, y) = (1, 4), (2, 8), (3, 14). Determina los valores de a, b y c.
- Juan pag´o 50 pesos por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compr´o 5 cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que pagar 74 pesos. ¿Cu´al es el precio de cada caja de taquetes y de cada caja de clavos?
- En una f´abrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamamos I, II y III. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo I se necesitan 30min para cortarlas, 40min para coserlas y 50min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo II, 50min para cortar, 50min para coser y 50min para planchar y empaquetar. Para el tipo III, 65min para cortar, 40min para coser y 15min para planchar y empaquetar. ¿Cu´antos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?
- Una poblaci´on estable de 35, 000 aves vive en tres islas. Cada a˜no 10% de la poblaci´on de la isla A emigra a la isla B, 20% de la poblaci´on de B emigra a la isla C y 5% de la poblaci´on de C emigra a A. Calcula el n´umero de aves que vive en cada isla si la poblaci´on de cada una no var´ıa de un a˜no a otro.
