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Reporte de Actividad Nombre : Alejandra Soto Ramos María José Ibarra Sauceda Ossiel Sicairos Rochin Matrícula : AL AL AL Nombre del curso: Estadística y pronostico para la toma de decisiones. Nombre del profesor : Ing. Christian Ladislao Quintero Sandoval Módulo : 1 estadística Actividad : Ejercicio 4 Fecha : 13/09/ Formato del reporte: Letra Arial 12 Interlineado de 1. Sangría al inicio de cada párrafo. Títulos en negritas y Arial 14 En la bibliografía colocar todo el contenido en formato APA
Reporte de Actividad
- Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal con media de 11.5 puntos. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad, se tomó una muestra de 30 alumnos que ha proporcionado las siguientes puntuaciones: 11 9 12 17 8 11 9 4 5 9 14 9 17 24 19 10 17 17 8 23 8 6 14 16 6 7 15 20 14 15 A un nivel de confianza de 95%, ¿puede afirmarse que el programa es efectivo? Realiza el planteamiento de la prueba de hipótesis y pruébala estadísticamente. Establecemos la hipótesis estadística y nivel de significancia: H 0 : Mediamuestral = Media poblacional hipotetizada H 1 : Media muestral ≠ Media poblacional hipotetizada α : 0.0 5 Calculamos la aritmética muestral s =
∑ x
2 N
− X −^2
2
- 9 2
- 12 2
- 17 2
- 8 2
- 11 2
- 9 2
- 4 2
- 5 2
- 9 2
- 14 2
- 9 2
- 17 2
- 24 2
- 19 2 30
2 ¿
2 =5. s =
∑ x
2 N
= X
− 2 ¿
Conocemos la media poblacional μ =11. Error estándar estimado s
√ n
Reporte de Actividad Lo primero que hicimos fue formular una hipótesis, en este caso, nuestra hipótesis nula estableció que la media es igual a 11.5, lo que significa que nuestra hipótesis alternativa sugiere que la media puede ser cualquier valor diferente de 11.5. Luego, procedimos a calcular la media de un conjunto de datos que consta de 30 valores: 11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14 y 15. La media resultante fue de 12.46. Después, identificamos los otros valores necesarios para resolver el problema estadístico. Tenemos un total de 30 alumnos (n). El nivel de significancia, representado por alpha, se estableció en 0.05, lo que corresponde a un nivel de confianza del 95%. Esto significa que el 5% de significancia se dividió entre 100 para obtener 0.05. Finalmente, calculamos la desviación estándar. Para calcular la desviación estándar, primero calculamos la varianza utilizando la fórmula que involucra las diferencias cuadráticas entre cada dato y la media. La suma de todas estas diferencias cuadráticas fue de 28.1885. Luego, para obtener la desviación estándar, tomamos la raíz cuadrada de esta varianza.
√ δ^
2 =5. Luego, procedimos a reemplazar los datos en la fórmula y, a partir de esos cálculos, obtuvimos los límites inferior y superior del intervalo. Usando estos límites, construimos un gráfico que muestra el rango en el que se espera que esté la verdadera respuesta. En resumen, dado que el valor observado se encuentra fuera de los límites de confianza, tenemos pruebas estadísticas sólidas para rechazar la hipótesis nula. Establecer conclusiones: No es del todo correcto afirmar que al aceptar la hipótesis nula se pueda decir que la media de la muestra es igual a la media poblacional con un 95% de confianza. La afirmación que haces está relacionada con la interpretación de los resultados de un test de hipótesis y la construcción de intervalos de confianza. Cuando realizas un test de hipótesis, generalmente estás tratando de determinar si hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa. La hipótesis nula generalmente representa la afirmación de que no hay diferencia o que no hay efecto, mientras que la hipótesis alternativa representa la afirmación opuesta. El nivel de confianza está relacionado con la probabilidad de cometer un error de tipo I (rechazar
Reporte de Actividad la hipótesis nula cuando es verdadera) y generalmente se establece en un valor como el 95%. Si no se rechaza la hipótesis nula, significa que no se encontró evidencia suficiente para afirmar que la media muestral es diferente de la media poblacional en el contexto de la prueba de hipótesis que se realizó. Esto no necesariamente significa que la media muestral es igual a la media poblacional con un 95% de confianza. En cambio, simplemente indica que no se encontró evidencia suficiente para afirmar que son diferentes dentro de los límites de significación especificados en la prueba de hipótesis. Para afirmar que la media muestral es igual a la media poblacional con un cierto nivel de confianza, normalmente se construye un intervalo de confianza. Un intervalo de confianza es un rango dentro del cual se cree que se encuentra la verdadera media poblacional con cierta probabilidad. Por ejemplo, un intervalo de confianza del 95% indicaría que existe un 95% de probabilidad de que la verdadera media poblacional esté dentro del intervalo calculado a partir de la muestra. En resumen, aceptar la hipótesis nula en un test de hipótesis no significa afirmar con un 95% de confianza que la media de la muestra es igual a la media poblacional. Para hacer esa afirmación, necesitas construir un intervalo de confianza. El test de hipótesis y el intervalo de confianza son herramientas estadísticas complementarias que se utilizan para inferir sobre la población a partir de una muestra de datos.
- Se somete a prueba a todos los integrantes del magisterio de enseñanza básica (primaria) de un país. Un experto en educación afirma que el promedio de la calificación, sobre una base de 100, fue de 76. Un representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con desviación estándar de 16. Comprueba dicha afirmación con una prueba de hipótesis y un nivel de significancia del 1%. Ho : M = 76 x ̄̄ = 74 N = 400 Ha : M ≠ 76 δ = 16 α =0.01 Ic = 99 % Ic = x ̄̄ ± z α / 2 δ
√ N
Ic = 74 ± z (0.01/ 2 )
Ic = 74 ± z (0.005)(0.8)
Reporte de Actividad Paso 2: Establecer el nivel de significancia Determinamos un nivel de significancia (α) del 10%, lo que significa que estamos dispuestos a aceptar un 10% de probabilidad de cometer un error de tipo I. α = 0. Paso 3: Calcular el estadístico de prueba Calculamos el estadístico de prueba (t) utilizando la fórmula: t = (x̄ - μ) / (s / √n) Donde: x̄ = media de la muestra μ = media poblacional (hipótesis nula) s = desviación estándar de la muestra n = tamaño de la muestra En este caso, tenemos x̄ = 20.75, μ = 20, s = 2.4 y n = 36. Paso 4: Calcular el valor crítico El valor crítico es el valor t correspondiente al nivel de significancia y los grados de libertad (n - 1). En este caso, los grados de libertad son 36 - 1 = 35. Paso 5: Tomar una decisión Comparamos el valor t calculado con el valor crítico. Si el valor t calculado es mayor que el valor crítico, rechazamos la hipótesis nula. Si es menor o igual, no tenemos suficiente evidencia para rechazarla. Paso 6: Calcular el p-valor Calculamos el p-valor, que es la probabilidad de obtener un valor t igual o mayor que el valor t calculado, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Solución Calculamos el estadístico de prueba: t = (20.75 - 20) / (2.4 / √36) = 1. El valor crítico correspondiente al nivel de significancia α = 0.10 y los grados de libertad 35 es aproximadamente 1.690. Como el valor t calculado (1.875) es mayor que el valor crítico (1.690), rechazamos la hipótesis nula. Calculamos el p-valor: El p-valor es la probabilidad de obtener un valor t igual o mayor que 1.875, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Consultando una tabla de distribución t de Student o utilizando software estadístico, encontramos que el p-valor es aproximadamente 0.035.
Reporte de Actividad Conclusión Con un nivel de significancia del 10%, tenemos suficiente evidencia para rechazar la afirmación del fabricante de que el tiempo de secado promedio de la pintura es de 20 minutos. El p-valor de 0.035 es menor que el nivel de significancia α = 0.10, lo que indica que es poco probable obtener una muestra con una media de tiempo de secado de 20.75 minutos si la media poblacional es realmente 20 minutos. Por lo tanto, podemos concluir que hay evidencia suficiente para afirmar que el tiempo de secado promedio de la pintura es mayor a 20 minutos. O puede ser Ho : M = 20 min x̄ =20.75 n = 36 Ha : M ≠ 20 min s =2.4 α =0.10 Ic = 90 % Ic = x̄ ± z α / 2 s
√ N
Ic =20.75 ± z (0.10/ 2 )
√^36
Ic =20.75 ± z (0.05)(0.4) Ic =20.75 ± (0.5199)(0.4 ) Ic =20.75 ± 0. Ics =20.75+ 0.20796=20. Ics =20.75−0.20796=20. En primer lugar, formulamos nuestra hipótesis, que en este caso es que la media es igual a 20. Por lo tanto, nuestra hipótesis alternativa sugiere que la media puede tomar cualquier valor diferente de 20. Luego, recopilamos los datos necesarios para resolver el problema. El problema nos indica que la media es 20.75 y tenemos un total de 36 tableros (n). También se nos proporciona la desviación estándar, que es de 2.4. Luego, calculamos el nivel de significancia, que en este caso es del 10%, lo que se traduce en un nivel de confianza del 90%. Después, utilizamos estos datos en la fórmula adecuada, que es similar a la de problemas anteriores, excepto que en lugar de la desviación estándar utilizamos la desviación muestral (s). Con estos cálculos, encontramos los límites inferior y superior del intervalo de confianza y representamos este intervalo en una gráfica. En conclusión, dado que el valor observado cae fuera de la región de aceptación dentro de los límites de confianza, tenemos suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa.
Reporte de Actividad El intervalo de confianza resultante es aproximadamente (255.33, 282.67) kg. Interpretación del intervalo de confianza: Con un nivel de confianza del 95%, estamos bastante seguros de que la verdadera media del índice de resistencia a la rotura de estas cuerdas se encuentra dentro del intervalo de (255.33, 282.67) kg. En otras palabras, estamos 95% seguros de que la media real de la población de índices de resistencia a la rotura cae en este rango. Esto significa que podemos hacer afirmaciones sobre la resistencia promedio de estas cuerdas con un alto grado de confianza, y que es probable que esté en el rango especificado.
