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Ecuaciones trigonométricas resueltas
1.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) sen 2 x 0
conk Z k 2
x
x 0 k
2 x 2 k
2 x 0 2 k sen 2 x 0 2
1
b) x 1 3
cos (^)
2 kπ conk Z 3
x 0 2 k x 3
x 1 3
cos (^)
c) sen 2 x senx 0
conk Z 2 k 3
x^5
x /3 2k
Si 2 cosx 1 0 cosx
conk Z x 2 k
x 0 2 k Sisenx 0
2 cosx 1 0
senx 0 sen 2 x senx 0 2 senxcosx senx 0 senx 2 cosx 1 0 portanto:
4
3
2
1
d) cos 2 x sen x 1 0
2
conk Z x 2 k
x 0 2 k 3 sen x 0 sen x 0 senx 0
cos 2 x sen x 1 0 cos x sen x sen x 1 0 1 sen x sen x sen x 1 0
2
2 2 1
2 2 2 2 2 2 2
e) cos 2 x 12
conk Z
k 3
x
k 3
x
2 k 3
2 x
2 k 3
2 x
cos 2 x 12
2
1
f) senx cosx 0
2 k conk Z. 4
2 k ;x 4
Portanto,pasandoaradianes:x
tienenelmismovalor.Estosólopasaen45ºyen225º.
senx cosx 0 senx cosx;esdecirbuscoaquellosángulosdondeelsenoyelcoseno
g) sen 2 x cosx 0
conk Z
2 k 6
x
2 k 6
x
2 senx 1 0 senx
conk Z
2 k 2
x
2 k 2
x
cosx 0
2 senx 1 0
cosx 0 sen 2 x cosx 0 2 senxcosx cosx 0 cosx 2 senx 1 0 portanto
4
3
2
1
h) tgx 2 senx 0
conk Z
2 k 3
x
2 k 3
x
1 2cosx 0 cosx
conk Z x 2 k
x 0 2 k senx 0
1 2 cosx 0
senx 0 senx( 1 2 cosx) 0 portanto
0 senx 2 senxcosx 0 cosx
senx 2 senxcosx 2 senx 0 cosx
senx tgx 2 senx 0
4
3
2
1
i) cos x 3 sen x 2 2
conk Z
2 k 6
x
2 k 6
x
senx
conk Z
2 k 6
x
2 k 6
x
senx
Portanto:
senx 4
cos x 3 sen x 1 sen x 3 sen x 4 sen x 1 sen x
4
3
2
1
2 2 2 2 2 2
j) cos 2 x 1 4 senx
valorescomprendidosentre 1 y 1.
senx 2 0 senx 2 Notienesoluciónpueselsenosolopuedetomar
conk Z x 2 k
x 0 2 k senx 0
senx 2 0
senx 0 2 sen x 4 senx 0 sen x 2 senx 0 senxsenx 2 0
cos 2 x 1 4 senx 0 cos x sen x 1 4 senx 1 sen x sen x 1 4 senx
2
1
2 2
2 2 2 2
c) sen x cosx 1 0 2
cosx 1 0 cosx 1 x 0
x
x
senx 0
sen x cosx 1 0 1 cos x cosx 1 0 cos x cosx 0 cosx(cosx 1 ) 0
3
2
1
2 2 2
d) sen x senx 6 0
2
ambasecuacionesnotienen solución.
senx 3
senx 2
z 3
z 2
2
Portanto z z 6 0 z
sen x senx 6 0 Laresuelvocomounaecuacióndesegundogradodondesenx z
2
2 1
2
e) 2 cos x sen x 1
2 2
x
x
senx
x
x
senx
senx 4
4 sen x 1 sen x
2 cos x sen x 1 21 sen x sen x 1 21 2 sen x 1 2 4 sen x 1
2
1
2
1
2 2
2 2 2 2 2 2
f) cos x cos 3 x 0
;x 4
;x 4
;x 4
x
conloquerestringiéndonosaángulosdelintervalo0,2 obtenemoslassoluciones:
k 4
x
k 4
x
2 k 2
2 x
2 k 2
2 x
cos2x 0
x
x
cosx 0
cos 2 x 0
cosx 0 2cos2xcosx 0
yobtenemos: 2
A B
cos 2
A B
cosx cos 3 x 0 ;aplicoquecosA cosB 2 cos
3 4 5 6
2
1
