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UNIDAD II: Ecuaciones diferenciales ordinarias
de orden superior.
ELABORADO POR: Aldo García Pérez.
PROFESOR: Arturo Montiel Tellez.
ASIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales.
HORARIO: 03:00-04:00 pm.
ENERO-JUNIO 2020.
1.- Las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada en(0, ∞)). Determine la solución general de la ecuación homogénea.
x^2 y′′^ + xy′^ +
x^2 −
y = x (^32)
y 1 = x−^ (^12) cos x, y 2 = x−^ (^12) sin x Solución: Hacemos reducción.
x^2 y′′^ + xy′^ +
x^2 − (^14)
y x^2
x 32 x^2
y′′^ +^1 2 y′^ +
x−^2
= x−^12
yc = C 1 x−^ (^12) cos x + C 2 x−^ (^12) sin x
U 1 ′x−^ (^12) cos x + U 2 x−^ (^12) sin x = 0
U 1 ′
x−^ 32 x cos x − x−^ (^12) sin x
+ U 2
x−^ 32 x sin x + x−^ (^12) cos x
= x−^ (^12)
Buscamos las determinantes de W, W U 1 ′, W U 2 ′.
W =
[
− 12 x x−^12 sin x − 12 x−^32 x^ cos x − x−^12 sin x − 12 x−^32 x^ sin x + x−^12 cos x
]
W =
x
x−^ (^12) sin x + x−^ (^12) cos x
x−^ (^12) sin x
x−^ (^12) cos x − x−^ (^12) sin x
W = −
x−^1 sin x cos x + x−^1 cos^2 x +
x−^1 sin x cos x + x−^1 sin^2 x
W = x−^1
sin^2 x + cos^2 x
W = x−^1 (1)
W = x−^1
W U 1 ′ =
[
0 x−^12 sin x x−^12 − 12 x−^12 sin x + x−^12 cos x
]
W U 1 ′ = −
x−^
x−^ (^12) sin x
W U 1 ′ = −x−^1 sin x
W U 2 ′ =
[
x−^ (^12) sin x 0 − 12 x−^ (^12) sin x + x−^ (^12) cos x x−^ (^12)
]
W U 2 ′ =
x−^
x−^ (^12) cos x
W U 2 ′ = x−^1 cos x Calculamos:
U 1 ′ =
W U 1 ′
W
−x−^1 sin x x−^1 = − sin x
U 2 ′ =
W U 2 ′
W
x−^1 cos x x−^1 = cos x Calculamos:
U 1 =
U 1 ′dx =
− sin xdx = cos x
U 2 =
U 2 ′dx =
cos xdx = sin x
Formamos la solución particular
s 1 =
x^2 , x, 1
s 2 = {x, 1 }
s 3 = { 1 }
x, 1 se repiten, entonces se multiplica s 1 por x^2
s 1 =
x^2 , x, 1
x^2
s 1 =
x^4 , x^3 , x^2
yp = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2
y′ p = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx
y′′ p = 12Ax^2 + 6Bx + 2C
y p′′′ = 24Ax + 6B
Combinación lineal
24 Ax + 6B + 8(12Ax^2 + 6Bx + 2C) = − 6 x^2 + 9x + 2
24 Ax + 6B + 96Ax^2 + 48Bx + 16C = − 6 x^2 + 9x + 2
x^2 (96A) + x(24A + 48B) + (6B + 16C) = − 6 x^2 + 9x + 2
96 A = − 6
A = − 6
24 A + 48B = 9
+ 48B = 9
B =
6 B + 16C = 2
+ 16C = 2
C =
Sustituimos para encontrar la solución particular.
yp = −
16 x
4 +^7
32 x
3 +^11
256 x
2
Ahora formamos la solución general.
y = yc + yp
y = C 1 + C 2 x + C 3 e−^8 x^ +
x^2 +
x^3 −
x^4
3.- Resuelva ecuación diferencial dada por coeciente indeterminados:
1 4 y′′^ + y′^ + y = x^2 − 2 x Solución: Ec. homogenea: 1 4 y′′^ + y′^ + y = 0 Ec. aux: 1 4 m^2 + m + 1 = 0
4 m
(^2) + m + 1 = 0
m^2 + 4m + 4 = 0 Factorizamos usando la formula general.
m =
m ︸ 1 = − (^2) ︷︷ m 2 = − (^2) ︸ Caso II
yc = C 1 e−^2 x^ + C 2 xe−^2 x
y = yc + yp
y = C 1 e−^2 x^ + C 2 xe−^2 x^ + x^2 − 4 x +
4.- Resuelvala ecuacion diferencial dada por coe cientes indeterminados:
y + y = 2xsen(x)
Ec. homogenea:
y + y = 0 Ec. aux:
m^2 + 1 = 0
m^2 = − 1
m = ±
m = ±i a = 0 b = 1
yc = e^0 x^ (C 1 sin x + C 2 cos x)
yc = C 1 sin x + C 2 cos x
Formamos la solución particular:
S 1 = {x sin x, sin x, x cos x, cos x}
Se repiten sen(x) y cos(x) en yc, multiplicamos por x
S 1 = {x sin x, sin x, x cos x, cos x} x
S 1 =
x^2 sin x, x sin x, x^2 cos x, cos x
Formamos la combinacion lineal:
yp = Ax^2 sin x + Bx sin x + Cx^2 cos x + Dx cos x
y′ p = =Cx^2 sin x=Dx sin x+2Ax sin x+B sin x+Ax^2 cos x+2Cx cos x+Bx cos x+D cos x
y′′ p = =
Ax^2 + (2C + B) x + D
sin x+(= 2 Cx=D + 2A) sin x+
=Cx^2 + (2A=D) x + B
cos x+(2Ax + 2C + B
y′′ p = − 4 Cx sin x−Cx^2 cos x− 2 D sin x−Dx cos x+2A sin x+4Ax cos x+2B cos x−Ax^2 sin x+2C cos x−Bx sin x
Sustituimos en la ecuacion: y′′^ + y = 2x sin x
− 4 Cx sin x−Cx^2 cos x− 2 D sin x−Dx cos x+2A sin x+4Ax cos x+2B cos x− Ax^2 sin x + 2C cos x − Bx sin x + Ax^2 sin x + Bx sin x + Cx^2 cos x + Dx cos x = 2 x sin x x sin x(− 4 C − B + B) + x^2 cos x(−C + C) + sin x(− 2 D + 2A) + x cos x(−D + 4 A + D) + cos x(2B + 2C) + x^2 sin x(−A + A) = 2x sin x
x sin x(− 4 C)+x^2 cos x(0)+sin x(− 2 D +2A)+x cos x(4A)+cos x(2B +2C)+ x^2 sin x(0) = 2x sin x
x sin x(− 4 C) + sin x(− 2 D + 2A) + x cos x(4A) + cos x(2B + 2C) = 2x sin x
Determinamos los valores de los coe cientes.
− 4 C = 2
C =
C = −
2 B + 2C = 0
2 B + 2
m^2 + 4 = 0
m = ±
m = ± 2
m ︸ 1 = 2 (^) ︷︷m 2 = − (^2) ︸ Caso I
yc = C 1 e^2 x^ + C 2 e−^2 x
yp = U 1 ′e + U 2 ′e−^2 x^ = 0
= U 1 ′ 2 e^2 x^ + U 2 ′ − 2 e−^2 x^ = e
2 x x
m = 2 m = − 2
W =
[
e^2 x^ e−^2 x 2 e^2 x^ − 2 e−^2 x
]
W U 1 ′ =
[
0 e−^2 x e^2 x x −^2 e − 2 x
]
x
W U 2 ′ =
[
e^2 x^0 2 e^2 x^ e 2 x x
]
e^4 x x
U 1 ′ = W U^
1 ′ W
− (^1) x − 4
4 x
U 2 ′ =
W U 2 ′
W
e^4 x x − 4
e^4 x 4 x
U 1 =
4 x dx
1 4
x dx
ln(x)
U ' = −
e^4 x 4 x dx −
e^4 x x dx
= − 1 4
∫ (^) x
x 0
e^4 t t dt
No existe una antiderivada en termino de funciones elementales
yp = U 1 ´e^2 x^ + U 2 ´e−^2 x
ln(x)
e^2 x^ −
∫ (^) x
x 0
e^4 t t dt
e−^2 x
y = yc + yp
= Ce^2 x^ + C 2 e−^2 x^ +
ln(x)
e^2 x^ −
∫ (^) x
x 0
e^4 t t dt
e−^2 x, x 0 > 0
6.- Resuelva la ecuacion diferencial dada por variacion de parametros
wU 2 ´ =
[
e−t^0 −e−t^ et^ arctan t
]
= et−t^ arctan t − 0
= arctan t
U 1 ´ = W U^1 ´
W
= −(t) arctan^ t e−^2 t^ = −(t)e^2 t^ arctan t
U 2 ´ =
W U ´
W
arctan t e−^2 t^ = e^2 t^ arctan t
U 1 =
−(t)e^2 t^ arctan t
U 1 = −
(t)e^2 t^ arctan t
u = arctan t v =^1 t^2
du =
1 + t^2 dv = tdt
t^2 arctan t −
t^2 1 + t^2 dt
t^2 arctan t +
∫ (^) 1 + t (^2) − 1 1 + t^2 dt
t^2 arctan^ t^ +
1 + t^2 dt
= − 1 t^2 arctan t +^1 2
[∫
dt −
1 + t^2 dt
]
t^2 arctan t +
(t − arctan t)
t^2 arctan t − 1 2 arctan t +^1 2 tU 1
t −
(t^2 + 1) arctan t
U 2 =
arctan t =
arctan t
u = arctan t v = t
du = 1 t^2 + 1 dv = dt
(t) arctan t −
t t^2 + 1 dt Sea: u = t^2 + 1 du = 2tdt dt = du 2 t
= (t) arctan t −
t u
du 2 t = (t) arctan t −
u du
(t) arctan t −
(ln u)
= (t) arctan t − ln u 2 Deshacemos la sustitución.
= (t) arctan t − ln(t^2 + 1) 2 Formamos la solución particular:
yp = U 1 y 1 + U 2 y 2
2 t^ −^ 1 2 (t (^2) + 1) arctan t)^ (e−t) +
(t) arctan t − ln(t
(^2) +1) 2
(te−t)
=
te−t^ −
e−t(t^2 + 1) arctan t + t^2 e−t^ −
te−t^
ln(t^2 + 1)
te−t^ −
e−t^ arctan t +
t^2 e−t^ arctan t −
te−t^ ln(t^2 + 1) Formamos la solució general.
y = yc + yp
= C 1 e−t^ + C 2 te−t^ +
te−t^ −
e−tarctan(t) +
t^2 e−tarctan(t) −
te−tln(t^2 + 1)
U 1 ′ =
W U 1 ′
W =^
−x^2 e^2 x^ ln x e^2 x^ =^ −x
(^2) ln x
U 2 ′ = W U^
2 ′ W = xe
2 x (^) ln x e^2 x^ = x ln x
Calculamos las integrales.
U 1 =
−x^2 ln x
Por integración por partes:
u = ln x v = x^3 3
du =
x dx dv = x^2 dx
ln x
x^3 3
x^3 3
x dx
ln x
x^3 3
x^2 dx
ln x
x^3 3
x^3 3
U 1 = −
x^3 ln x 3
x^3 9
U 2 =
x ln xdx
u = ln x v = x
2 2
du =^1 x dx dv = xdx
ln x
x^2 2
∫ (^) x 2 2
x dx
ln x
x^2 2
xdx
U 2 =
x^2 ln x 2
x^2 4 Formamos la solución particular:
yp =
x^3 ln x 3 +^
x^3 9
ex^ +
x^2 ln x 2 −^
x^2 4
xex
yp = − x
(^3) ex (^) ln x 3
(^3) ex 9
(^3) ex (^) ln x 2 − x
(^3) ex 4
yp = x^3 ex^ ln x 6
5 x^3 ex 36 Formamos la solución general:
y = yc + yp
y = C 1 ex^ + C 2 xex^ + x^3 ex^ ln x 6 −^
5 x^3 ex 36
8.- Resuelva la ecuación diferencial:
x^2 y′′^ − 3 xy′^ − 2 y = 0 Solución: Resolvemos por Cauchy Euler Sustituciones:
x = et ( d^2 y dt^2 −^
dy dt
dy dt
− 2 y = 0
d^2 y dt^2 − 4 dy dt − 2 y = 0
m^2 − 4 m − 2 = 0 Factorizamos usando la formula general.
m =
(−4)^2 − 4 (1) (−2)
m =
m =
m =
yp = U 1 x + U 2 x−^1
U 1 ′x + U 2 ′x−^1 = 0
U 1 ′ (1) + U 2 ′
−x−^2
ln x x^2
W =
[
x x−^1 1 −x−^2
]
−x−^1
− x−^1
= − 2 x−^1
W U 1 ′ =
[
0 x−^1 ln x x^2 −x − 2
]
ln x x^2 · x−^1
ln x x^3
W U 2 ′ =
[
x 0 1 lnx^2 x
]
ln x x
U 1 ′ =
W U 1 ′
W
− lnx^3 x − (^) x^2
x ln x 2 x^3
ln x 2 x^2
U 2 ′ =
W U 2 ′
W
ln x x − (^2) x
x ln x 2 x
ln x 2
U 1 =
ln x 2 x^2 =
x−^2 ln xdx
Resolvemos usando integracion por partes
u = ln x v = −
x
du =^1 x dx dv = x−^2 dx
ln x
x
x
x
dx
ln x x
x^2 dx
− ln^ x x
x
ln x 2 x
2 x
U 2 =
ln x 2
ln x
u = ln x v = x
du =^1 x dx dv = dx
ln x (x) −
x
x
dx
x ln x −
dx
(x ln x − x)
− x ln x 2 +^
x 2 Obtenemos la solución particular.
yp =
ln x 2 x
2 x
x +
x ln x 2
x 2
x
yp = − ln x 2
ln x 2
yp = − 2 ln^ x 2
yp = − ln x
Formamos la solución general:
y = yc + yp
y = C 1 x + C 2 x−^1 − ln x
