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PARA INGENIEROS
UNIDAD II: GEOMETRÍA ANALÍTICA
SEMANA 04: ECUACIÓN DE LA RECTA
SOLUCIÓN
Ejercicios de reforzamiento
1. Dado el par de puntos de coordenadas: a) y b) y c) y d) y Determine: a) La gráfica de línea recta que pasa por dichos puntos. b) La pendiente de la línea recta que pasa por dichos puntos. Solución: a) La pendiente de la recta que pasa por los puntos y es: Gráfica: b) La pendiente de la recta que pasa por los puntos y es: Gráfica:
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c) La pendiente de la recta que pasa por los puntos y es: Gráfica: d) La pendiente de la recta que pasa por los puntos y es: (No existe) Gráfica:
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c. L 1 :^ 0,2^ x^ +0,1^ y =1,1^ y L 2 :^ x^ +^3 y =^18
Determine: a) La gráfica del par de líneas rectas en el mismo plano cartesiano. b) La intersección del par de líneas rectas. Solución: a) y. Resolvemos simultáneamente las ecuaciones:
Eliminando x :
Luego, el valor de x es:
Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es. b) y. Resolvemos simultáneamente las ecuaciones:
Eliminando x :
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Luego, el valor de x es:
Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es. c) y. Resolvemos simultáneamente las ecuaciones:
Eliminando x :
Luego, el valor de x es:
Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es.
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La recta pedida es: Grafica: b) Pase por el punto (-2,3) y no tenga pendiente. La recta pedida es: c) Pase por los puntos (2,1) y (3,4). Primero hallaremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4) Luego: La recta pedida es:
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d) Pase por el punto ( 3,4 ) y que sea perpendicular a la línea recta 2 x − 2 y + 4 = 0.
La recta tiene pendiente m=1, entonces la pendiente de la recta “L” que se busca y a la vez perpendicular a la anterior debe cumplir: . Por lo tanto, la ecuación de la recta es: . e) Pase por el punto (0,-1) y que sea paralela a la línea recta formada por los puntos (3,5) y (1,13). La recta que pasa por los puntos (3,5) y (1,13) tiene pendiente:
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2. Internet. Nicolás desea tener conectividad a internet en un punto P en su casa. El necesita
saber la distancia mínima (en metros) de cable necesario para realizar la conexión desde el
punto P^ hacía AB^ que es el cable de donde se debe extraer la conexión, sabiendo que puede
ubicar en un plano cartesiano los puntos A^ ,^ B y P^ con coordenadas (^1 , −^2 )^ , (^4 , −^1 )^ y (^1 ,^^4 )
respectivamente ¿Podrías ayudarle? (el cable de internet tiene un comportamiento lineal).
a) Determine la ecuación de la recta AB.
b) Grafica el problema planteado en el plano cartesiano. c) Calcula la distancia mínima de cable para realizar la conexión a internet. Solución: a) A(1,-2) y B(4,-1) La pendiente de la recta AB es: Ecuación de la recta AB es: . b) Gráfica: c) Calcula la distancia mínima de cable para realizar la conexión a internet. La distancia mínima entre la recta y el punto P(1,4) está dada por:
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- El propietario de un taller de maquinaria compra un torno en $1970 y espera que dure diez años. Se puede vender como chatarra en un valor de salvamento estimado de $270. Si y representa el valor del torno después de x años de uso, y x e y están relacionados por la ecuación de la recta. Encuentre: a) La ecuación de la recta. b) El valor del torno después de 2 ½ años. c) El significado económico de la intersección de la recta con el eje Y. d) El significado económico de la pendiente. Solución: a) La ecuación de la recta. Sea x el número de años. Cuando se compra la maquinaria: x =^0 ⇒ C =^1970 ⇒(^0 ,^^1970 ) Después de 10 años: x =^10 ⇒ C =^1970 ⇒(^10 ,^^270 ) La pendiente es: m = 1970 − 40 0 − 10 = 1700 − 10 =− 170 Usando la formula punto-pendiente: y − y 1 = m ( x − x 1 ) y − 1970 =− 170 (^ x − 0 ) y =− 170 x + 1970 Por lo tanto, el costo de la maquinaria está en función del número de años. b) El valor del torno después de 2 ½ años. Para x =^2.^5 ⇒^ y^ =−^170 (^2.^5 )^ +^1970 =^1545 Por lo tanto, el valor del torno después de 2.5 años es de $1545. c) El significado económico de la intersección de la recta con el eje Y. La intersección del Eje Y con la recta se obtiene haciendo Si x =^0 ⇒^ y^ =−^170 (^0 )^ +^1970 =^1970. Lo que significa que cuando se compró la maquinaria el precio fue de $1970. d) El significado económico de la pendiente. Como la pendiente es negativa, esto quiere decir que el valor de la maquinaria se está depreciando. Además, cada año que pasa la maquinaria se deprecia $170.
- Un fabricante de filtros para agua tiene costos fijos mensuales por $2000, costos de producción de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30. Determina: a) La ecuación de la utilidad.
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Además, en la superficie del mar la profundidad es d=0 y la presión es p=15 luego la ecuación es:
P − 15 = 0. 434 d ⇒ P = 0. 434 d + 15
b) Gráfica: c) ¿Qué representan la pendiente y la ordenada en el origen de la gráfica? La pendiente representa el aumento de la presión por pie de descenso. La ordenada en el origen representa la presión en la superficie.
d) ¿A qué profundidad se tiene una presión de 100
lb
pulg
100 = 0. 434 d + 15 ⇒ d = 195. 85 ≈ 196 pies (^).
- Constructora de Puentes. Especialistas en construcción de puentes, la empresa le encarga a su ingeniero civil que haga algunos cálculos. Desean saber la cantidad de material utilizado en la construcción de cierto puente, para ello necesitan algunas longitudes del puente. Le puedes ayudar al ingeniero. a) Determine la pendiente y la ecuación de las vigas 1 y 2. b) Calcule el punto medio de las vigas 1 y 2. c) Halle la longitud total de las vigas que sostienen la estructura. Solución: a) Determine la pendiente y la ecuación de las vigas 1 y 2. Determinamos las pendientes de las vigas 1 y 2. m 1 = − 5 + 8 6 − 0 = 3 6 = 1 (^2) y m 2 = − 5 + 8 6 − 12 = 3 − 6 =− 1 (^2). Luego, las ecuaciones de las vigas 1 y 2 son:
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Viga 1: y + 8 = 1 2 ( x − 0 ) ⇒ y = 1 2 x − 8 Viga 2: y + 8 =− 1 2 ( x − 12 ) ⇒ y =− 1 2 x − 2 b) Calcule el punto medio de las vigas 1 y 2. Viga 1:
Pm
1
Viga 2:
Pm
2
c) Halle la longitud total de las vigas que sostienen la estructura.
V 1 = V 2 =√( 6 − 0 )
2 +(− 5 + 8 ) 2 =√ 45 V (^) 3 = V (^) 7 = 8 V (^) 4 = V (^) 6 =
( 3 − 3 ) 2
0 + 13
2
13 2 V (^) 5 = 5 V (^) 8 = 12 Por lo tanto, la longitud total de las vigas es: V (^) T = (^2) √ 45 + 2 ( 8 )+ 2
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Para responder a la pregunta, hacemos y =^0.
0 =−0.02 t +12,5.
Resolviendo la ecuación se tiene t = 625 meses.
Respuesta. Las reservas probadas se acabarán dentro de 625 meses. Aproximadamente en 52 años.
- El propietario de un taller de maquinaria compra un torno en $1970 y espera que dure diez años. Luego, pasado ese lapso se puede vender como chatarra en un valor de salvamento
estimado de $270. Si y representa el valor del torno después de x años de uso, y x e y están
relacionados por la ecuación de la recta. Encuentre: a) La ecuación de la recta. b) El valor del torno después de 2 ½ años.
c) El significado económico de la intersección de la recta con el eje Y.
d) El significado económico de la pendiente Solución Definición de variables
x es el tiempo en años
y es el precio de la maquinaria en dólares.
Datos del problema:
Cuando x = 0 , el precio es y = 1970 dólares.
Cuando x = 10 , el precio es y =¿270 dólares.
La relación es lineal Relación por utilizar:
y = mx + b … (*)
Desarrollo: Evaluamos los datos en (*) y se tiene:
1970 = b
270 = 10 m + b
Resolviendo el sistema se tiene
m =− 170
Así la ecuación de la recta es: y =− 170 x + 1970.
Dentro de 2,5 años, el precio será:
y =− 170 ( 2,5 )+ 1970 = 1545
Respuesta
a) La ecuación de la recta es: y =− 170 x + 1970.
b) El valor del torno después de 2 años y medio es: 1545 dólares. c) El número 1970 indica el valor de la maquinaria en el momento de compra, es decir cuando pasan cero años. d) La pendiente de la ecuación de la recta nos indica la depreciación de la maquinaria en el tiempo.
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