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Ecuación de la curva elástica
Yira Muñoz Sánchez[a], Martín Ortiz Domínguez[a], Arturo Cruz Avilés[a], F. Medel González[b], A. J. Morales Robles[b], L. E. Martínez-Martínez[a]
[a] (^) Profesor Investigador de la Escuela Superior de Ciudad Sahagún en la Lic. En Ing. Mecánica-Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo [b] (^) Estudiante de Ingeniería Mecánica en la Escuela Superior de Ciudad Sahagún de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, Hidalgo, México
Resumen
En este trabajo de investigación se analizarán los esfuerzos y las deformaciones en elementos prismáticos sujetos a flexión. La flexión es un concepto muy importante, ya que se utiliza en el diseño de muchos componentes estructurales y de máquinas, tales como vigas y trabes. Un ejemplo de flexión pura es, por ejemplo, lo que le ocurre a una barra de una pesa gimnástica como las que sostienen los levantadores de pesas encima de su cabeza. La barra tiene pesos iguales a distancias iguales de las manos del levantador de pesas. Debido a la simetría del diagrama, las reacciones en las manos deben ser iguales y opuestas a los pesos. A pesar de lo interesantes que pueden ser las aplicaciones directas de la flexión pura, el estudio no estaría justificado si no fuera por el hecho de que los resultados obtenidos serán utilizados en el análisis de otros tipos de carga, como las cargas axiales excéntricas y las cargas transversales.
Palabras clave: Esfuerzo, Deformación unitaria, Ley de Hooke, Flexión, Constante del resorte, Modulo de elasticidad
Abstract
In this research work will be analyzed the stresses and deformations in prismatic elements subject to flexion. Flexing is a very important concept as it is used in the design of many structural components and machines, such as beams and girders. An example of pure bending is, for example, what happens to a barbell of a
gymnastic weight such as those held by weight lifters above its head. The bar has equal weights at equal distances from the hands of the weight lifter. Because of the symmetry of the diagram, the reactions in the hands must be equal and opposite to the weights. In spite of how interesting the direct applications of pure bending can be, the study would not be justified were it not for the fact that the results obtained will be used in the analysis of other types of load, such as eccentric axial loads and cross loads.
Key words: Stress, Unitary deformation, Hooke´s Law, Flexion, Spring constant, Young´s modulus
1. Introducción
Para el estudio de Flexión pura, vamos a analizar los esfuerzos y las deformaciones en elementos prismáticos sujetos a flexión. La flexión es muy utilizado en el diseño de muchos componentes estructurales y de máquinas, tales como vigas y trabes. El análisis de elementos prismáticos sometidos a pares iguales y
opuestos M y M ´que actúan en el mismo plano longitudinal, se dice que están sujetos a flexión pura. Los
esfuerzos y deformaciones por la flexión pura en un elemento homogéneo que posea un plano de simetría y que esté elaborado de un material que siga la ley de Hooke. Un análisis preliminar de esfuerzos debidos a flexión se utilizarán métodos de estática para deducir tres ecuaciones fundamentales que deben satisfacerse por los esfuerzos normales en cualquier sección transversal dada por el elemento. Las secciones transversales permanecerán planas en un elemento sometido a flexión pura [1–6].
2. Flexión pura
Las deformaciones de un elemento prismático que posee un plano de simetría y está sometido en sus extremos a pares iguales y opuestos (^) M y (^) M ´que actúan en el plano de simetría. El elemento se flexionará bajo la acción de los pares, pero permanecerá simétrico con respecto a dicho plano (Figura 1).
círculo (^) DE (Figura 2a), el ángulo central que corresponde a (^) DE , y observando que la longitud de DE
es igual a la longitud L del elemento no deformado, se tiene la Ec. (1).
DE L^ (1)
Considerando ahora el arco JK ubicado a una distancia y sobre la superficie neutra, se observa que su
longitud L ´es
JK L ´^ (2)
Asimismo se tiene que
tan L
Reescribiendo la ec. (3) la podemos expresar de la siguiente manera
L
Despejando a L tenemos:
L (5)
Haciendo lo mismo para obtener L ´
tan L ´
y
^ (6)
L ´
y
L ´ (^) y (8)
Como a longitud original del arco JK era igual a (^) L , la deformación es igual a:
L ´ L^ (9)
Sustituyendo las Ecs. (5) y (8) en la Ec. (9), se obtiene que:
y (10)
Multiplicando la Ec. 10, se llega a:
y (11)
Reescribiendo la Ec. 11, se tiene:
y (12)
Recordando la Ecuación de la deformación unitaria longitudinal, se tiene que:
x L
^ (13)
Sustituyendo las Ecs. (5) y (8) en la Ec. (9), se obtiene que:
x ^ y^ y
La deformación unitaria x , alcanza su máximo valor absoluto cuando (^) y es máxima, si c es la distancia
máxima a la superficie neutra (que corresponde a la superficie superior o inferior del elemento), y x max es el máximo valor absoluto de la deformación unitaria.
max x ^ c
El esfuerzo en la dirección x , se expresa como:
(^) x E x^ (20)
Multiplicando por E a la Ecuación (19), se obtiene:
x max x
E E y
c
^ (21)
Considerando la Ec. (20), en la Ec. (21), se llega a:
max x x
y
c
Recordando que el esfuerzo normal es igual a:
x^ Fx
A
Asimismo:
x^ dFx
dA
Igualando las Ecs. (22) y (24)
x max x
dF y
dA c
max x x
dF y dA
c
Integrando la ecuación y multiplicado por −𝑦 en ambos lados dela ecuación se tiene que:
max 2 0 0
A A
y xdA x y dA M
c
^ (27)
Recordando que:
2 0
A
^ y dA^ I^ (28)
Sustituyendo la Ec. (28) en la Ec. (27), se llega a:
máxx I
M
c
Y por lo tanto el esfuerzo máximo en x es igual a:
máxx^ Mc
I
Asimismo:
máxx^ My
I
Para la obtención de la ecuación de la curva elástica tenemos que:
xmáx^ c
Figura 4. Elemento diferencial de la viga para la determinación de la ecuación diferencial de la curva elástica [1].
Por otro lado, considerando la Figura 4, se tiene:
tan y
x
tan dy
dx
Tomando en cuenta que latan
dy
dx
Ahora derivamos el ángulo respecto a x :
d d dy
dx dx dx
^ (41)
2 2
d d y
dx dx
(42)
Tomando en cuenta de la Figura 4 que: ds d
1 d
ds
Considerando que (^) ds dx , entonces:
2 2
1 d d y
dx dx
Recordando que^1 M
EI
, tenemos que:
2 2
d y M
dx EI
Obtenemos la ecuación diferencial de la curva elástica. Las condiciones adicionales de frontera requeridas pueden obtenerse observando que aunque la fuerza cortante y el momento flector pueden ser discontinuos en varios puntos de una viga, la deflexión y la pendiente de la viga no pueden ser discontinuas en ningún punto.
Conclusión
La flexión es muy usada para determinar las propiedades de los materiales como son flexibilidad y ductilidad. El ensayo de flexión se basa en la aplicación de una fuerza puntual y simplemente apoyada, para determinar la resistencia del material hacia una carga estática o aplicada lentamente. Normalmente se usa para materiales tenaces, y los más importante nos ayuda a determinar la magnitud de la fuerza a la cual el material fallara.
Agradecimientos
