¡Descarga Difraccion de rayos x en conductores y semiconductores y más Tesinas en PDF de Óptica solo en Docsity!
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
II.3 Difracción
Introducción:
Todos estamos habituados a la idea de que el sonido dobla las esquinas. Si así no fuese no podríamos oír una sirena policial que suena a la vuelta de la esquina o lo que nos dice una persona que está de espaldas a nosotros. Lo que quizás resulte sorprendente es que la luz también puede doblar las esquinas. Cuando la luz proveniente de una fuente puntual ilumina un borde recto y proyecta una sombra, el borde de la sombra nunca es perfectamente nítido. Se observa un poco de luz en el área que corresponde a la sombra y franjas brillantes y oscuras en el área iluminada. La razón de estos efectos es que la luz, como el sonido, tiene características de onda. Hasta ahora hemos estudiado los efectos de interferencia que surgen cuando se combinan dos ondas luminosas. Ahora investigaremos los efectos que resultan de la combinación de muchas ondas luminosas. Estos efectos se conocen como difracción. De acuerdo con la óptica geométrica, si se coloca un objeto opaco entre un manantial luminoso puntual y una pantalla, como indica la figura 59, la sombra del objeto forma una línea perfectamente definida. No llegará nada de luz a la pantalla en los puntos situados dentro de la sombra geométrica, mientras que fuera de la sombra la pantalla estará iluminada casi uniformemente. En la figura 60 se presenta un ejemplo de difracción. La fotografía que se muestra ha sido obtenida colocando una hoja de afeitar entre un orificio muy pequeño , iluminado con luz monocromática , y una película fotográfica , de tal modo que la película registró la sombra arrojada por la hoja. La figura de la derecha es una ampliación de una región
PANTALLA MANANTIAL PUNTUAL BORDE RECTILÍNEO (^) GEOMÉTRICASOMBRA
SOMBRA GEOMÉTRICA DE UN BORDE RECTILÍNEO (^) figura 59
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
próxima a la sombra de un borde de la hoja. El área que está afuera de la sombra geométrica está bordeada de bandas brillantes y oscuras alternativa- mente. Una pequeña cantidad de luz ha dado vuelta al borde y ha penetrado dentro de la sombra geométrica , aunque esto no es muy visible en la foto- grafía. La primera banda brillante inmediatamente afuera de la sombra geométrica, es considerablemente más brillante que en la región de iluminación uniforme de la extrema derecha. Este sencillo experimento nos da una idea de la riqueza y complejidad de lo que se considera frecuentemente como el fenómeno óptico más elemental: la sombra arrojada por un objeto opaco. La razón de que este fenómeno no se observe frecuentemente en la vida diaria, es simplemente debido a que la mayor parte de las fuentes ordinarias de luz no son monocromáticas ni tampoco fuentes puntuales. Si la sombra de la hoja de afeitar es producida por una lámpara incandescente blanca esmerilada, la luz procedente de cada punto de la superficie de la lámpara forma su propia figura de difracción, pero éstas se superponen de tal modo que no puede observarse ninguna figura aisladamente. El proceso por el cual se producen los efectos de difracción tiene lugar continuamente en la propagación de cada frente de onda, pero tales efectos sólo pueden observarse si se suprime una parte de este frente mediante algún obstáculo.
SOMBRA REAL DE UNA HOJA DE AFEITAR
ILUMINADA CON LUZ MONOCROMÁTICA
DE UNA FUENTE PUNTUAL
figura 60
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
difracción se compone de una banda central brillante , que puede tener un ancho mucho mayor que el de la rendija, rodeada de bandas alternativamente oscuras y brillantes de intensidad decreciente. Alrededor del 85 % de la potencia del haz transmitido se encuentra en la banda central brillante, cuya anchura resulta ser inversamente proporcional al ancho de la rendija. En general, cuanto menos ancha es la rendija, más amplio es el ensan- chamiento vertical del haz. Existe también una pequeña dispersión transversal del haz, pero es insignifi- cante frente a la dimensión horizontal de la rendija. La anchura de la rendija de la figura 61 se ha exagerado mucho para mayor claridad. Para obtener una dispersión vertical como la representada en la figura, el ancho de la rendija tendría que ser del orden de 5 longitudes de onda. La figura 62 es una ampliación de una fotografía obtenida colocando la película fotográfica en el plano de la pantalla en una posición como la de la figura 61. En la figura 63 se representa un corte transversal de una rendija sobre la cual inciden ondas planas desde la izquierda. De acuerdo con el principio de Huygens, cada elemento de área de la abertura de la rendija puede ser consi- derado como una fuente de ondas secundarias. Dividiendo la rendija en varias franjas estrechas de igual anchura, paralelas a los bordes longitudinales de la misma, obtendremos pequeños elementos de área. En la figura 63a se muestran dos de estas franjas , a partir de las cuales se propagan pequeñas ondas secundarias cilíndricas en todas direcciones. En la figura 63b se ha colocado una pantalla a la derecha de la rendija. Podemos calcular la intensidad de la luz que llega a un punto P de la pantalla, aplicando el principio de superposición a todas las ondas secundarias que llegan al mismo. Pero siendo las distancias y los ángulos variables, las amplitudes y fases de las ondas serán distintas. El problema se simplifica considerablemente si la pantalla está lo suficientemente alejada como para que todos los rayos que parten de la rendija a un punto de la pantalla, puedan considerarse paralelos como se indica en la figura 63c. El primer caso (pantalla
FOTOGRAFÍA DE LA IMAGEN DE DIFRACCIÓN DE UNA SOLA RANURA
figura 62
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
cercana) , se denomina difracción de Fresnel. El segundo caso (pantalla lejana) , se denomina difracción de Fraunhofer. No existe diferencia en la naturaleza del proceso de difracción de ambos casos, la difracción de Fresnel se convierte gradualmente en la difracción de Fraunhofer cuando la pantalla se aleja de la rendija (que es lo mismo que disminuir el ancho de la rendija). Una situación equivalente a la difracción de Fraunhofer es la que se representa en la figura 63d , donde los rayos que inciden en la lente son paralelos, y por lo tanto, la lente forma en su plano focal una imagen reducida de la figura que se formaría sobre una pantalla infinitamente distante (en ausencia de la lente). La fotografía de la figura 62 es una imagen de difracción de Fraunhofer. Podemos deducir muy fácilmente algunas de las características más impor- tantes de la difracción de Fraunhofer por una rendija. Consideremos, en el frente de onda que pasa por la rendija, dos franjas extremadamente estrechas (infinitesimales) : una justamente por debajo del borde superior de la rendija y la otra exactamente por debajo de su línea central (figura 64). Supongamos que las ondas secundarias procedentes de estas franjas se propagan en una
dirección que forma un ángulo α con la dirección de la luz incidente. Los dos
trenes de onda parten en fase desde el plano del frente de onda, pero el superior ha de recorrer una distancia mayor que el inferior antes de alcanzar la
pantalla. Esta distancia adicional es (D/2) sen α, donde D es el ancho de la
rendija. Para aquellos puntos de la pantalla que se encuentran sobre una recta horizon-
DIVISIÓN DE LA RANURAEN FRANJAS DIFRACCIÓN DE FRESNEL rayos no paralelos (pantalla cercana)
DIFRACCIÓN DEFRAUNHOFER (pantalla lejana)^ rayos paralelos^ DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER^ en pantalla cercanamediante una lente
cada franja actúa como una fuente de pequeñas ondas ondas planas^ secundarias cilíndricas que inciden en la ranura
ancho de ranura
división imaginaria de la ranura en franjas lente cilíndrica convergente
pantalla pantalla
f
DIFRACCIÓN PRODUCIDA POR UNA SOLA RANURA
(a) (b) (^) (c) (d)
figura 63
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
cierto ángulo por encima o por debajo de la dirección inicial de la luz, formándose así una banda oscura. Esto ocurre siempre que:
(El signo ± significa que hay franjas oscuras simétricas arriba y abajo del punto O)
Dividiendo la rendija en cuartas partes, sextas partes, etc., se puede demos- trar, mediante un razonamiento análogo, que la pantalla es oscura de nuevo
cuando: sen α = ± 2 λ/D , ± 3 λ/D , etc.
Luego, la condición para que haya una banda oscura es:
Podemos llegar a las mismas conclusiones a partir del esquema de la figura 65.
Si el ancho de rendija es, por ejemplo, igual a 10 longitudes de onda (D = 10 λ ),
aparecerán bandas oscuras en sen α = ± 1/10, ± 2/10, ± 3/10,... Entre las bandas
oscuras hay bandas brillantes. El ángulo correspondiente al primer mínimo a cada lado del centro se llama anchura semiangular de la banda central. La anchura angular de toda la banda central es doble.
2 ^ ^ =^ ±^2 ^ ^ =^ ±^
o sea ⇒
∝ = ± (^) donde:^ m^ =^ ±^ 1,^ ±^ 2,^ ±^ 3,...^ (1)
D
y O
P
x
α α
D 2 sen α
D
(a)
(b)
DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER
POR UNA SOLA RENDIJA
(campo lejano) (a) CUANDO LA DISTANCIA x ES MUCHO MAYOR QUE EL ANCHOPROVENIENTES DE PUNTOS SEPARADOS POR UNA D DE LA RENDIJA, LOS RAYOS DISTANCIAPARALELOS. D/2 SE PUEDEN CONSIDERAR (b)PROCEDENTE DEL PUNTO MEDIO DE LA RENDIJA VISTA AUMENTADA DE ½ RENDIJA. EL RAYO RECORRE(HASTA EL PUNTO UNA DISTANCIA P) QUE EL RAYO PROVENIENTE D/2 SEN m MÁS DEL BORDE SUPERIOR DE LA RENDIJA. figura 65
α
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
Se advierte que sen α = 0 corresponde a una banda brillante , por lo que en
este caso la luz de toda la ranura llega a P en fase. En consecuencia, sería erróneo incluir m = 0 en la ecuación (1). Dijimos anteriormente que para obtener una divergencia del haz como el de la figura 61 , el ancho de la rendija debería ser de unas 5 longitudes de onda. Esto lo podemos verificar ahora, calculando la anchura semiangular de la banda central: sen α = ± λ/D = ± λ/5λ = 0,2 ⇒ α = ± 12º (que coincide aproximadamente con la divergencia angular de la figura 61) Cuando la anchura de la rendija es exactamente una longitud de onda , sen α = ± 1, α = ± 90º y la banda central se extiende sobre un ángulo de 180º.
La figura 66 es una fotografía de una figura de difracción de una sola ranura, en la que se han identificado los mínimos m = ± 1, ± 2, ± 3.
Sabemos que los valores de α en la ecuación (1)
suelen ser tan pequeños (λ<<D), que la aproximación
sen α ≈ α (radianes) es muy buena. En tal caso, pode-
mos reformular la ecuación (1) como sigue:
Por otra parte, si la distancia de la ranura a la pantalla es x , como en la figura 65a , y la distancia vertical de la banda oscura número m al centro de la
figura es ym , entonces tg α = ym / x. Como α es pequeño, también podemos
tomar como aproximación tg α ≈ α (radianes) , con lo que resulta:
Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación correspondiente al patrón de doble rendija (página 83). Pero la ecuación (2) proporciona las posiciones de las franjas oscuras en un patrón de una sola rendija, en lugar de las franjas brillantes de un patrón de doble rendija. En consecuencia, se debe evitar cualquier confusión al respecto.
∝ = (^) (m = ± 1, ± 2, ± 3,...) ( α pequeño)
=^ ^ (si^ ym^ <<^ x)^ (2)
DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER DE UNA SOLA RANURA HORIZONTAL figura 66
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
Red Plana de Difracción:
Una serie muy numerosa de ranuras paralelas, todas del mismo ancho y separadas por distancias iguales entre sus centros, recibe el nombre de red de difracción o rejilla de difracción. Se suele llamar rayas o líneas a lo que hasta ahora hemos llamado ranuras o rendijas. En el último tema del capítulo de Interferencias (páginas 92/94) se expuso la teoría básica de una red plana de difracción, denominando al dispositivo simplemente “red”. Podemos ver ahora que esta red combina un problema de difracción con otro de interferencias. Esto es, cada rendija de la red origina un haz difractado en el que la distribución de intensidad es función de la anchura de la rendija , y estos haces difractados interfieren entre sí para producir la figura final. En dicha oportunidad habíamos determinado que si se aumenta el número de ranuras en un experimento de interferencia, manteniendo constante la sepa- ración entre ranuras adyacentes, se obtienen patrones de interferencia donde los máximos ocupan las mismas posiciones que con dos ranuras , pero son pro- gresivamente más brillantes y estrechos. Complementando lo anterior puede demostrarse que, si N es el número de ranuras , entre los máximos principales se producen (N−2) pequeños máximos secundarios y (N−1) mínimos. La intensidad de los máximos secundarios se
m = −1 m = 0 m = 1 m = −1 m = 0 m = 1 m = −1 m = 0 m = 1
4 I 0 6 4 I 0 256 I 0 I I^ I
N = 2 N^ = 8^ N = 16
PATRONES DE INTERFERENCIA CORRESPONDIENTES A N RANURAS MUY ANGOSTAS
UNIFORMEMENTE ESPACIADAS
I 0 ⇒ Intensidad máxima correspondiente a una sola ranura Imáx ⇒ Intensidad máxima con N ranuras = N^2 I (^0) figura 68
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
reduce a medida que N aumenta , hasta prácticamente desaparecer (Con N = 20 ya es despreciable). Cuanto mayor es el valor de N , tanto más estrechos se tornan los máximos principales. Desde el punto de vista energético, la potencia total del patrón en su totalidad es proporcional a N. La altura de cada máximo principal es proporcional a N^2 , de modo que, por la conservación de la energía, la anchura de cada máximo principal debe ser proporcional a 1/N. Los patrones de intensidad correspondientes a 2, 8 y 16 ranuras que se ilustran en la figura 68 , muestran el aumento gradual de agudeza de los máximos a medida que crece el número de ranuras. Por ser estos máximos tan definidamente marcados, se puede medir con una precisión muy grande su posición angular y con ello una determinación más exacta de la longitud de onda. Como veremos, este efecto tiene aplicaciones prácticas muy importantes. En la figura 69 , GG’ es una sección transversal de una rejilla de transmisión. El diagrama sólo muestra 6 ranuras, pero sabemos que una rejilla real puede contener varios miles. La separación d entre los centros de ranuras adya- centes, se conoce como “constante de la red”. Una onda monocromática plana incide en dirección normal sobre la red desde el lado izquierdo. Suponemos condiciones de campo lejano (Fraunhofer), es decir, la imagen se forma sobre una pantalla lo suficientemente alejada como para considerar paralelos a todos los rayos que emergen de la rejilla y se dirigen hacia un punto determinado de la pantalla. Anteriormente hemos visto que los máximos principales de intensidad con ranuras múlti- ples se forman en las mismas posiciones que en el caso del patrón de dos ranuras. Estas posiciones son aquellas respecto a las cuales la diferencia de recorridos correspondiente a ranuras adyacentes es un número entero de
PARTE DE UNA REJILLA
DE TRANSMISIÓN
d
d
d
d
d (^) θθθθ
G
G’
figura 69
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
(donde d = 2.500 a 833 nm). En una rejilla de reflexión, la serie de ranuras se sustituye por una serie de crestas o surcos en una superficie reflectora. La luz reflejada en las rayas interfiere para producir máxi- mos y mínimos exactamente igual que en una red de transmisión. En la figura 70 se muestra una red de reflexión grabada con LASER.
Los reflejos de colores del arco iris que vemos en la superficie de un disco compacto, como se observa en la figura 71 , son efectos de rejilla de reflexión. Las redes de difracción se utilizan mucho en espectrometría, en lugar de los prismas, como medio de dispersar la luz para obtener un espectro. Si se conoce la constante de la red, midiendo el ángulo de desviación se puede deducir el valor de la longitud de onda. Esto no sucede en el caso de un prisma, pues los ángulos de desviación no están relacionados de modo sencillo con las longitudes de onda, sino que dependen de las
5 μm
1 μm
RED TALLADA CON LASER (^) figura 70
LOS SURCOS MICROSCÓPICOS DE LA SUPERFICIE DE ESTE CD ACTÚAN COMO UNA REJILLA DE DIFRACCIÓN Y DIVIDEN LA LUZ BLANCA EN LOS COLORES QUE LA COMPONEN. LA SEPARACIÓN ENTRE SURCOS ES DE 1,6 μm, LO CUAL REPRESENTA 625 RENDIJAS/mm.
figura 71
400
400
500
500
600
600
700
700
ESPECTRO RACIONAL (RED)
ESPECTRO IRRACIONAL (PRISMA)
UN PRISMA FORMA UN ESPECTRO IRRACIONAL UNA RED ORIGINA UN ESPECTRO RACIONAL (^) figura 72
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
características de la sustancia que lo forma. Dado que el índice de refracción de los vidrios utilizados en óptica varía más rápidamente en el violeta que en el rojo, el espectro formado por un prisma tiene mayor dispersión en el extremo violeta que en el rojo. En la figura 72 se compara el espectro de un prisma (llamado irracional) con el espectro de una red (llamado racional) que tiene la misma dispersión. Se observa que mientras el prisma desvía al mínimo la luz roja y al máximo la luz violeta, en la red la desviación varía casi proporcionalmente a la variación de la longitud de onda. Cuando la luz que se ha generado en el interior del Sol atraviesa la atmósfera de éste, se absorben selectivamente ciertas longitudes de onda. Por esta razón, el espectro de luz solar que se obtiene mediante una rejilla de difracción presenta líneas de absorción oscuras, como se aprecia en la figura 73. Los experimentos de laboratorio muestran que los distintos tipos de átomos e iones absorben luz a diferentes longitudes de onda. Comparando estos resultados de laboratorio con las longitudes de onda de absorción que se observan en el espectro de la luz solar, los astrónomos pueden deducir la composición química de la atmósfera del Sol. ACOTACIÓN: Como sen θ = mλ/d ≤≤≤≤ 1 , el número de espectros está limitado por m ≤≤≤≤ d/λ.
Poder Separador de una Red:
En espectrometría es importante distinguir claramente entre longitudes de onda muy cercanas. La diferencia mínima de longitud de onda que un espectrómetro es capaz de distinguir , se llama poder separador R y se define
como R = λ/∆λ.
En esta expresión, λ es la longitud de onda media de dos rayas espectrales
que apenas se pueden distinguir como diferentes y ∆λ es la diferencia de
longitudes de onda entre ellas. Por ejemplo, cuando se calientan átomos de sodio, éstos emiten intensamente en las longitudes de onda amarillas de 589,00 y 589,59 nm. Un espectrómetro que apenas
DISPERSIÓN DE LA LUZ SOLAR PARA FORMAR UN ESPECTRO MEDIANTE UNA REJILLA DE DIFRACCIÓN
figura 73
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
Difracción de Rayos X:
A principios del siglo XX, los primeros experimentos que se realizaban con rayos X sugerían que se trataba de ondas electromagnéticas con longitudes de onda del orden de 10−10^ m. Por esa misma época, comenzó a surgir la idea de que en un sólido cristalino los átomos están dispuestos en un patrón que se repite en forma regular, con una separación entre átomos adyacentes también del orden de 10 −10^ m. Combinando ambas ideas, se propuso que un cristal podría servir como una especie de reja de difracción tridimensional para los rayos X. Es decir, los átomos individuales de un cristal podrían dispersar (esto es, absorber y emitir de nuevo) un haz de rayos X y las ondas dispersadas podrían interferir del mismo modo que las ondas provenientes de una reja de difracción.
La primeros experimentos de difracción de rayos X fueron realizados en 1912, empleando el sistema experimental que aparece bosquejado en la figura 74a. Los rayos X dispersados formaron un patrón de interferencia que se registró en una película fotográfica. La figura 74b es una fotografía de un patrón de ese tipo. Con este experimento se comprobó que los rayos X son ondas (o al menos tienen propiedades ondulatorias) y que los átomos están dispuestos conforme a una distribución regular (figura 75). A partir de entonces, la difracción de rayos X ha probado ser una valiosa herramienta de investigación, tanto para medir
(a) (^) (b)
(a) UN HAZ DE RAYOS X ATRAVIESA UN CRISTAL Y ALGUNOS RAYOS SON FUERTEMENTE DIFRACTADOS, FORMANDO UNA IMAGEN DE INTERFERENCIA CONFORME A UNA DISTRIBUCIÓN RELACIONADA CON LA DISPOSICIÓN DE LOS ÁTOMOS EN EL CRISTAL. (b) PATRÓN DE DIFRACCIÓN FORMADO AL DIRIGIR UN HAZ DE RAYOS X HACIA UN CRISTAL DE CUARZO. figura 74
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
las longitudes de onda de los rayos X como para estudiar las estructuras de cristales y moléculas complejas. Consideremos en primer término una situación de dispersión bidimensional , como se muestra en la figura 76a , donde una onda plana incide sobre una formación rectangular de centros de dispersión. La onda induce un momento dipolar eléctrico oscilante en cada elemento dispersor. Estos dipolos actúan como pequeñas antenas que emiten ondas dispersadas. El patrón de interferencia resultante es la superposición de todas estas ondas dispersadas. La situación no es la misma que en una rejilla de difracción, donde las ondas provenientes de todas las rejillas son emitidas en fase. En el caso que nos ocupa las ondas dispersadas no están todas en fase porque sus distancias respecto a la fuente son diferentes. Para calcular el patrón de interferencia, es necesario considerar las diferencias de trayecto totales de las ondas dispersadas, incluidas las distancias de la fuente al elemento dispersor y de éste al observador.
Como se observa en la figura 76b , la longitud del trayecto desde la fuente al observador es la misma con respecto a todos los elementos dispersores de una
sola fila , puesto que θi = θr = θ (puede demostrarse que un plano de centros de
Modelo de la dispo-sición de iones en un Las cristalesferas de negrasClNa. sonesferas iones blancas Na y sonlas iones La separación Cl. entre átomoses de 0,282 nm. adyacentes figura 75
(a) (b) (c)
a
d d sen θ
d d sen θ
a cos θi θ θ
a cos θr
θi θr θr^ θi a (a) DISPERSIÓN DE ONDAS DESDE UNA FORMACIÓN RECTANGULAR. (b) SIENDO QUE θi = θr = θ, LA INTERFERENCIA ENTRE ONDAS DISPERSADAS POR ÁTOMOS DE UNA MISMA FILA ES SIEMPRE CONSTRUCTIVA. O (c) LA INTERFERENCIA ENTRE ONDAS DISPERSADAS POR ÁTOMOS DE FILAS ADYACENTES ES CONSTRUCTIVA CUANDO 2d sen θ = mλ. (^) figura 76
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
constructiva y se forman manchas brillan- tes. Cada mancha corresponde a la difracción por un conjunto particular de planos del cristal. La difracción de rayos X es actualmente la herramienta experimental más importante en la investigación de la estructura cristalina de sólidos. También desempeña un importante papel en el estudio de estructuras de líquidos y de moléculas orgánicas. Ha sido una de las principales técnicas experimentales para establecer la estructura de doble hélice del ADN (figura 78) y lograr avances ulteriores en genética molecular.
Difracción por Aberturas Circulares:
La difracción por una abertura circular es más frecuente que la difracción por una rendija, ya que la mayor parte de las lentes, así como las pupilas de los ojos, tienen sección circular. Por otra parte, el patrón de difracción que forma una abertura circular presenta un interés especial, debido a su papel en la limitación de la capacidad de un instrumento óptico para resolver detalles finos. El método para estudiar este fenómeno óptico es el mismo que el expuesto para una rendija, diferenciándose que el frente de ondas transmitido por la abertura circular se divide en estrechas zonas anulares, en lugar de hacerlo en fajas o franjas. Sin embargo, el desarrollo matemático, que omitimos, es considerablemente más complicado. El problema fue resuelto por el científico inglés George Airy en 1834. La figura de difracción de una abertura circular está formada por un disco central brillante , rodeado de una serie de anillos alternativamente brillantes y oscuros , como se muestra en la figura 79. La intensidad es máxima en el centro del disco y disminuye hasta cero en el primer mínimo (primer anillo oscuro) ,
cuyo semiángulo α está dado por:
Revolucionaria imagen de difracción de rayos X del ADN obtenida en 1953. Las bandas oscurasdispuestas en cruz suministraron la primera prueba de la estructura helicoidal de la molécula de ADN. (^) figura 78
sen α 1 = 1,22 λ/D (8)
Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Rosario ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA^ Departamento de Materias Básicas
Siendo D el diámetro de la abertura y λ la longitud de onda. Obsérvese que, salvo el factor 1,22, esta ecuación tiene precisamente la misma forma que la correspondiente a la semian- chura angular de la figura de difracción de una rendija. Los radios angulares de los dos
anillos oscuros siguientes , α 2 y
α 3 , vienen dados también por la
(8) , pero cambiando el coeficiente numérico por 2,23 y 3,24 , en ése orden. Entre los anillos oscuros hay anillos brillantes con radios angulares dados asimismo por la (8) , pero cambiando el coeficiente numérico por 1,63 , 2,68 y 3,70 , en ése orden. La mancha central brillante recibe el nombre de disco de Airy y su radio angular es el del primer anillo oscuro dado por la ecuación (8). La intensidad de los anillos brillantes decae con gran rapidez al aumentar el ángulo. Cuando D es mucho más grande que λ, como es normalmente el caso en los instrumentos ópticos , las intensidades máxi- mas del primer y segundo anillo brillante son de sólo el 1,7 % y 0,4 % del valor en el centro del disco de Airy, respectivamente. Dentro del disco central se encuentra el 85 % de la energía luminosa transmitida por la abertura. La figura 80 muestra un patrón de difracción formado por una abertura circular de 1 mm de diámetro. La difracción tiene implicaciones de gran alcance en la formación de imágenes por medio de lentes y espejos. Cuando estudiamos óptica geométrica, supusimos que una lente de distancia focal f enfoca un haz paralelo en un punto situado a una distancia f de la lente. Esta suposición pasa por alto los efectos de difracción. Vemos ahora que
IMAGEN DE DIFRACCIÓN FORMADA POR UNA ABERTURA CIRCULAR DE Se sobreexpuso la película fotográfica1 mm DE DIÁMETRO para hacer más visibles los anillos
figura 80
α 2
IMAGEN DE DIFRACCIÓN FORMADA POR UNA ABERTURA CIRCULAR DE DIÁMETRO D Se muestra el radio angular α 2 del segundo anillo oscuro (^) figura 79
