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derivadas , elasticidad, lagrange
Tipo: Ejercicios
1 / 28
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9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Diana C. Giraldo
Universidad Aut´onoma de Occidente dcgiraldo@uao.edu.co
29 de abril de 2020
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
(^1) Elasticidad de la demanda
(^2) 9.1 Funciones de varias variables
(^3) 9.2 Derivadas parciales
4 9.3 Optimizaci´on
5 9.5 Lagrange
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Partiendo de la funci´on de demanda, se tiene la siguiente situaci´on para cambios exactos:
elasticidad de la demanda = cambio porcentual en la cantidad cambio porcentual en el precio
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Elasticidad
Dada la funci´on de la demanda p = f (q), diferenciable, se define la elasticidad puntual de la demanda, denotada η de p en t´erminos de q; como:
η(q) =
p q dp dq
p qp′^
f (q) qf ′(q)
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Elasticidad
Puede darse el caso, en que la funci´on de demanda dada no est´e en t´erminos de q, sino que sea una funci´on en t´erminos de p: q = f (p); en ese caso se tiene que la elasticidad puntual ser´ıa:
η(p) =
p q dp dq
pq′ q
pf ′(p) f (p)
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Determinar la elasticidad puntual de la ecuaci´on de demanda dada por q = p^2 − 40 p + 400, donde q > 0.
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
La funci´on de demanda de cierto producto es p = 10 − 0 , 2 √q, donde q unidades son vendidas a un precio p cada una. Determine la elasticidad de la demanda para q = 900 unidades.
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Una funci´on f de dos variables independientes, x y y , es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y ), de un conjunto determinado D (el dominio de f ), exactamente un n´umero real, denotado por f (x, y ).
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Suponga que en cierta f´abrica, la producci´on est´a dada por la funci´on de producci´on Cobb-Douglas
Q(K , L) = 60K 1 /^3 L^2 /^3
unidades, donde K es la inversi´on de capital medida en unidades de $1000 y L es el tama˜no de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. Calcule la producci´on si la inversi´on de capital es $512000 y se usa una fuerza laboral de 1000 horas-trabajador.
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Suponga z = f (x, y ). La derivada parcial de f respecto a x se denota por fx y es la funci´on obtenida al derivar f respecto a x, tratando a y como una constante. La derivada parcial de f respecto a y se denota por fy y es la funci´on obtenida al derivar f respecto a y , tratando a x como constante.
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Se estima que la producci´on semanal de cierta planta est´a dada por la funci´on Q(x, y ) = 1200x + 500y + x^2 y − x^3 − y 2 unidades, donde x es el n´umero de trabajadores calificados y y el de trabajadores no calificados que se emplean en la planta. Actualmente, la fuerza laboral se forma de 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice el an´alisis marginal para estimar el cambio en la producci´on semanal que resultar´a de la adici´on de 1 trabajador calificado m´as, si el n´umero de trabajadores no calificados no cambia.
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Suponga que z es una funci´on de x y y , cada una de las cuales es funci´on de t. Entonces z puede considerarse como una funci´on de t y dz dt
∂z ∂x
dx dt
∂z ∂y
dy dt
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
Puntos cr´ıticos y extremos relativos Un punto (a, b) del dominio de f (x, y ) para el cual las derivadas parciales fx y fy existen se denomina punto cr´ıtico de f si ambas
fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0
Prueba de segundas derivadas parciales Sea f (x, y ) una funci´on de x y y cuyas derivadas parciales fx , fy , fxx , fyy y fxy existen todas, y sea D(x, y ) la funci´on
D(x, y ) = fxx (x, y )fyy (x, y ) − [fxy (xy )]^2
9.2 Derivadas parciales9.3 Optimizaci´on 9.5 Lagrange
(^1) Encuentre todos los puntos cr´ıticos de f (x, y ); esto es, todos los puntos (a, b) donde
fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0
(^2) Para cada punto cr´ıtico (a, b) encontrado en el paso 1, eval´ue
D(a, b). (^3) Si D(a, b) < 0, hay un punto de silla (a, b).
(^4) Si D(a, b) > 0, calcule fxx (a, b). Si fxx (a, b) > 0 hay un m´ınimo relativo en (a, b). Si fxx (a, b) < 0 hay un m´aximo relativo en (a, b). Si D(a, b) = 0, la prueba no es concluyente y f puede tener ya sea un extremo relativo o un punto silla en (a, b).
