CURSILLO PI, GEOMETRÍA DEL ESPACIO.pdf, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga CURSILLO PI, GEOMETRÍA DEL ESPACIO.pdf y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Geometría

del espacio

ING. RAÚL MARTÍNEZ

DEFINICIONES 8

1- Determinación de un plano: Un plano en el espacio tridimensional queda perfectamente determinado o definido por: a) Dos rectas que se cortan. b) Una recta y un punto exterior a ella. c) Tres puntos no colineales. d) Dos rectas paralelas. Estar definido un plano quiere decir que no existe ambigüedad a respecto de que plano nos estamos refiriendo.

OBS: Al tener 3 puntos es la misma cosa que tener 2 rectas que se cortan. 2- Recta intersección de dos planos: La intersección de dos planos es una recta. Siempre que dos planos se cortan determinan una recta intersección de dichos planos.

Ejemplo: El plano^ ڷ^ se corta con el plano^ ڷ ‐ según la recta ᠧᠨ.

En este caso decimos que la recta ᠧᠨ es la intersección de^ ڷ^ y^ ڷ ‐.

ᡰ⡩ ᡰ⡰

a)

c) ᠧ (^) ᠨ ᠩ

b) ᡂ ᡰ

d) ᡰ⡰ ᡰ⡩

ᠧ

ᠨ ‐

α

A

P

O Q

R

A'

TEOREMA 1: Si una recta es perpendicular a otras dos en su punto de intersección, lo es al plano que determinan. H) ᠧᡁ ⊥ ᡁᡂ … ᠧᡁ ⊥ ᡁᡄ … 䚃^ En^ el^ punto^ ᡁ. ᡁᡂ y ᡁᡄ determinan el plano

T) ᠧᡁ ⊥^ ڷ

D) En el plano unimos los puntos ᡂ y ᡄ. Trazamos ᡁᠧ′㍤㍤㍤㍤㍤^ = ᡁᠧ㍤㍤㍤㍤^ en la prolongación de ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤. Unimos los puntos ᠧ y ᠧ’ con ᡂ y ᡄ respectivamente. Entonces tendremos:

㍤ ᠧᡂ㍤㍤㍤ (^) = ᠧ′ᡂ㍤㍤㍤㍤㍤ ᠧᡄ㍤㍤㍤㍤^ = ᠧ′ᡄ㍤㍤㍤㍤㍤^ … … … ….... …. ⎩^ ⎪

⎪^ ⎧^

ᡁᡂ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠧᠧ㍤㍤㍤㍤㍤䖓^ … … ….. … ….. Por hipotesis. ᡁᡄ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠧᠧ㍤㍤㍤㍤㍤䖓^ … … … … …. … Por hipotesis. Luego tenemos dos oblicuas equidistantes del pie de la ⊥ ᡁᠧ = ᡁᠧ䖓^ … … … … …... … Por construcción. También tendremos:

ᠧᡂᡄ^ △ =ᠧ′ᡂᡄ^ △ …………………….…..…㐡 ᠧᡂ㍤㍤㍤㍤^ =^ ㍤ᠧ′ᡂ㍤㍤㍤㍤^ … … ….. ᠧᡄ㍤㍤㍤㍤^ = ᠧ′ᡄ㍤㍤㍤㍤㍤^ … … ….. 㐤^ Demostración^ anterior ᡂᡄ㍤㍤㍤㍤^ = ㍤ᡂᡄ㍤㍤㍤^ … … … ….. …. Lado común

Luego: ᠧᡂᡄ∠ =

ᠧ′ᡂᡄ……………….….Por ser ángulos homólogos de ᠧᡂᡄ△ =

Luego en el plano α trazamos por ᡁ una recta cualquiera ᡁᡃ㍤㍤㍤㍤^ que intersecte ᡂᡄ en ᡃ. Uniendo el punto ᡃ a los puntos ᠧ y ᠧ′. Considerando los triángulos:

ᠧᡂᡃ^ △ =ᠧ′ᡂᡃ^ △ …………………..… ⎩^ ⎪

⎪^ ⎧^

㍤ᠧᡂ㍤㍤㍤ (^) = ㍤ᠧ′ᡂ㍤㍤㍤㍤^ … … … ….. … Demostración anterior. ᡂᡃ㍤㍤㍤㍤^ = ᡂᡃ㍤㍤㍤㍤^ … … … ….. … Lado común. ᠧᡂᡃ^ ∠ =ᠧ䖓^ ∠ᡂᡃ … … …. …. Demostración anterior Dos lados y el angulo comprendido iguales. Entonces ᠧᡃ㍤㍤㍤㍤^ = ᠧ′ᡃ㍤㍤㍤㍤㍤………………….Lados homólogos de triángulos iguales Por tanto ᡁᡃ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠧᠧ′㍤㍤㍤㍤㍤^ en ᡁ, porque dos puntos equidistantes de los extremos de un segmento de recta determinan la mediatriz de dicho segmento. ∴ ᠧᡁ ⊥ a una recta cualquiera del plano que pasa por ᡁ.

Luego ᠧᡁ ⊥^ ڷ ……………………….. Porque una recta es ⊥ a un plano si lo es a todas las

rectas que pasan por su pie en dicho plano.

TEOREMA 2: Todas las rectas ⊥ a una recta en un mismo punto, están en un plano perpendicular a ella en ese punto.

H) ᡄᡁ㍤ ᡃᡁ㍤㍤㍤㍤㍤㍤㍤^ ⊥⊥^ ᡁᠧ㍤ᡁᠧ㍤㍤㍤㍤㍤㍤㍤^ ……䚃 En el mismo punto ᡁ.

ᡁᡄ㍤㍤㍤㍤^ y ᡁᡃ㍤㍤㍤㍤^ determinan el plano α. ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ α. T) Cualquier recta ⊥ ᡁᠧ㍤㍤㍤㍤^ en el punto ᡁ, está en el plano α.

D) Trazamos una ⊥ a la recta ᡁᠧ en el punto ᡁ. Sea ᡁᡂ esa perpendicular. Precisamos demostrar que ᡁᡂ está en el plano α Supongamos que ᡁᡂ no está contenido en el plano α Entonces trazamos el plano determinado por las rectas ᡁᠧ㍤㍤㍤㍤^ y ᡁᡂ㍤㍤㍤㍤, y sea la intersección de este plano con el plano α la recta ᡁᡂ’ Entonces tendremos que ᠧᡁ ⊥ ᡁᡂ’ porque si una recta es ⊥ a un plano lo es a cualquier recta del plano que pase por su pie.

En el plano determinado por ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ y ᡁᡂ㍤㍤㍤㍤^ puede ser trazado solo una ⊥ a una recta en un punto de dicha recta.

Luego ᡁᡂ㍤㍤㍤㍤^ y ᡁᡂ′㍤㍤㍤㍤㍤^ coinciden y ᡁᡂ está en el plano α.

∴ Toda ⊥ a ᡁᠧ㍤㍤㍤㍤^ en ᡁ está en el plano α.

ᡁ ᡂ ᡄ ᡂ′

ᡃ

ᠧ

TEOREMA 4: Si por el pie de una recta ⊥ a un plano se traza la perpendicular a una recta dada en el plano, la recta determinada por el punto de intersección de estas y un punto cualquiera de la perpendicular al plano es ⊥ a la recta dada en el plano ( Teorema de las 3 perpendiculares)

H) ㍤ᠧᡂ㍤㍤㍤^ ⊥^ ڷ^ en ᡂ

㍤ ᠨᠩ㍤㍤㍤ está en^ ڷ

ᡂᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠨᠩ㍤㍤㍤㍤

Siendo el punto ᠰ la intersección.

T) ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠨᠩ㍤㍤㍤㍤

D) Tomando en la recta ㍤ᠨᠩ㍤㍤㍤^ los puntos ᠨ y ᠩ de tal forma que ᠰᠨ㍤㍤㍤㍤^ = ᠰᠩ㍤㍤㍤㍤ Uniendo estos puntos con el punto ᡂ. Tendremos que ᡂᠩ㍤㍤㍤㍤^ = ᡂᠨ㍤㍤㍤㍤^ por ser segmentos oblicuos cuyos pies equidistan del pie de la ⊥ ᡂᠰ. También tendremos ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ = ᠧᠩ㍤㍤㍤㍤^ por ser oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la ⊥ ㍤ᠧᡂ㍤㍤㍤ Entonces los puntos ᠧ y ᠰ equidistan de los extremos del segmento ᠨᠩ y determinan la mediatriz del segmento

∴ ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠨᠩ㍤㍤㍤㍤

ᠩ

ᠨ

ᡂ ᠰ

ᠧ

ᠲ

ᠩ

ᠨ ᠰ

ᠧ

TEOREMA 5: Dos rectas perpendiculares a un mismo plano, son paralelas.

H) ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ ⊥^ ڷ

ᠩᠰ ⊥^ ڷ

T) ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ ⫽ ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤

D) Trazamos ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ y ᠨᠰ㍤㍤㍤㍤

Por el punto D trazamos además una recta del plano α , tal que ᠱᠲ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠨᠰ㍤㍤㍤㍤

Tendremos: ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠱᠲ㍤㍤㍤㍤^ … … … … … … … Porque si una recta es ⊥ a un plano lo es a toda recta del plano que pasa por su pie. También: ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠱᠲ㍤㍤㍤㍤…………………………..Por el teorema de las 3 perpendiculares. ᠨᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠱᠲ㍤㍤㍤㍤……………………………Por construcción. Las rectas ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ , ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ y ᠨᠰ㍤㍤㍤㍤^ están en un mismo plano porque todas las rectas ⊥ a una recta en un mismo punto están en un plano ⊥ a dicha recta en ese punto.

La recta ㍤ᠧᠨ㍤㍤㍤^ está contenida en ese mismo plano por tener dos puntos ᠧ y ᠨ contenidos en dicho plano.

Además tendremos que: 䚂 ᠧᠨᠩᠰ^ ⊥⊥^ ᠨᠰᠨᠰ 䚃 Si que^ una pasa^ recta por^ es su^ ⊥ pie.^ a^ un^ plano^ lo^ es^ a^ toda^ recta^ del^ plano

ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ ⫽ ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ Pues dos rectas coplanares y ⊥s a una 3º son paralelas entre sí.

TEOREMA 7: Dos planos perpendiculares a una misma recta, son paralelos entre sí.

H) Plano α ⊥ ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ en ᠧ. Plano ‐ ⊥ ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ en ᠨ. T) Plano α ⫽ Plano ‐.

D) Si los planos α y ‐ no fueren paralelos, tendrían que intersectarse según una recta Supongamos que se intersectan y que dicha intersección es la recta ᠰᠱ㍤㍤㍤㍤ Elegimos un punto cualquiera de esta intersección ᠰᠱ y sea ᠩ dicho punto. En el plano α trazamos ᠩᠧ㍤㍤㍤㍤^ y ᠩᠨ㍤㍤㍤㍤

Entonces tendremos.………………………………… 䚂ᠩᠨᠩᠧ⊥⊥^ ᠧᠨᠧᠨ 䚃 Porque lo es a toda^ si^ una recta^ recta que^ es pase^ ⊥^ a^ unpor^ plano, su pie.

Entonces tendremos que desde el punto ᠩ, tenemos 2 ⊥s a una misma recta lo cual es imposible. Luego α y ‐ no se intersectan.

∴^ ڷ^ ⫽^ ڷ ‐

α (^) ‐

ᠨ

ᠰ

ᠧ

ᠩ^ ᠱ

TEOREMA 8: Las intersecciones de un plano con otros dos paralelos, son rectas paralelas.

H) Plano α ⫽ Plano ‐ Plano ᡂ corta a los planos α y ‐ y sus intersecciones son respectivamente ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ y ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤

T) ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ ⫽ ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤

D) ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ y ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ son coplanares pues ambos pertenecen al plano ᡂ. Si no fueren ⫽う se intersectarían en algún punto ᠱ. Este punto E sería un punto de ᠧᠨ y por tanto estaría en el plano ‐. También el punto ᠱ seria punto de ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ y por lo tanto estaría en el plano α. Entonces sería común a ambos planos, pero esto es imposible pues: Plano α ⫽ Plano ‐……........................................................….. Por hipótesis.

Luego: ㍤ᠧᠨ㍤㍤㍤^ ⫽ ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤

ᡂ ᠨ

ᠧ (^) ᠰ

‐

ᠩ

TEOREMA 10: Los segmentos determinados en dos rectas cruzadas por tres o más planos paralelos, son proporcionales.

H) ᠧᠩ㍤㍤㍤㍤^ y ᠰᠲ㍤㍤㍤㍤…………….. rectas cualesquiera. Plano α ⫽ Plano ‐ ⫽ Plano ᡂ Plano α , ‐ y ᡂ cortan a las dos rectas ᠧᠩ y ᠰᠲ.

T) ⢅⢆㍤ ⢆⢇㍤㍤㍤㍤㍤㍤㍤ = ⢈⢉㍤ ⢉⢐㍤㍤㍤㍤㍤㍤㍤

D) El caso más general en el espacio es que las dos rectas no sean coplanares (cuando son coplanares ya fue demostrado en geometría plana). Considerando que las rectas no están en un mismo plano, unimos el punto ᠧ con el punto ᠲ En estas condiciones quedan determinados los planos.

Plano ᠧᠩᠲ^ ڷ cuya intersección con^ ڷ^ y^ ڷ ‐ son respectivamente ᠩᠲ㍤㍤㍤㍤^ y ᠨᠳ㍤㍤㍤㍤^ .que serán paralelas por el

Teorema “Si un plano corta a otros planos paralelos entre sí, las intersecciones también serán paralelas”

Plano ᠧᠲᠰ^ ڷ …………………….cuya intersección con los planos ᡂ y ‐ son ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ y ᠳᠱ㍤㍤㍤㍤^ respectivamente.

En elᠧᠩᠲ^ △ tenemos ᠨᠳ㍤㍤㍤㍤^ ⫽ ᠩᠲ㍤㍤㍤㍤^ por el teorema de geometría plana. (Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales)

Luego: ⢅⢆⢆⢇ = ⢅⢑⢑⢐…………………………………………………..…………..….(1)

En el triángulo ᠲᠧᠰ△ tenemos ᠳᠱ㍤㍤㍤㍤^ ⫽ ᠧᠰ㍤㍤㍤㍤^ y por el mismo principio podemos escribir. ⢅⢑ ⢑⢐ =^

Las igualdades (1) y (2) tienen una razón común, luego las otras dos son iguales. 。〃㍤㍤㍤㍤ 〃〄㍤㍤㍤㍤^ =^

ᠨ ᠳ^ ᠱ^ ‐

ᠧ ᠰ^ ᡂ

ᠩ ᠲ

‐ ᠰ

ᠩ ᠧ ᠱ ᠨ ᡂ ᠨ

ᠧ^ ‐

DEFINICIONES 9

1- Ángulo Diedro: Cuando dos semiplanos tienen el mismo borde, dividen al espacio es dos regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro. Notación: v d/ᠧᠨ v α−ᠧᠨ − ‐ v^ ∧ d El diedro es el espacio delimitado por dos semiplanos que tienen una intersección como límite de ambos. 2- Caras del diedro: Cada uno de los semiplanos que forman el diedro se llaman caras del diedro. Ej.: α y ‐. 3- Aristas de un diedro: Es el límite o borde común de ambos semiplanos. ARISTA …..…㍤ᠧᠨ㍤㍤㍤ 4- Rectilíneo de un diedro: Es el ángulo formado por dos rectas trazadas por un mismo punto de la arista del diedro, una en cada cara del diedro y ambas ⊥ a la arista. ᠩᠱ ⊥ ᠧᠨ ᠰᠱ ⊥ AB䚃^ En^ el^ mismo^ punto^ ᠱ

Luego ᠩᠱᠰ^ ⦟ es el rectilíneo del ‐ − ᠧᠨ − α El rectilíneo de un diedro es la medida del diedro. 5- Diedros consecutivos: son los diedros que tienen una arista en común y una cara en común.

6- Diedros adyacentes: Tienen una arista y una cara en común y las caras no comunes en un mismo plano o son coplanares.

Son adyacentes pues además de ser consecutivos los semiplanos α y ᡂ están en un mismo plano o son coplanares.

‐

ᠨ

ᠧ

ᡂ ᠧ

‐

ᠨ

α − ᠧᠨ − ‐ ‐ − ᠧᠨ − P

y Son diedros consecutivos ᠧᠨ………………….…..… Arista común. ‐…………………….…….. Cara común.

‐ − ᠧᠨ − P

Diedros: ……………. α − ᠧᠨ − ‐ Y

TEOREMA 1: Dos diedros adyacentes son suplementarios.

H) α䖓^ − ᠧᠨ − ‐ y ‐ − ᠧᠨ − α …………Son adyacentes.

T) α䖓^ − ᠧᠨ − ‐ + ‐ − ᠧᠨ − α = 2∠ ᡄᡲᡧᡱ = 180°

D) Elegimos un punto cualquiera de la arista común por ejemplo el punto ᡂ. Por este punto ᡂ trazamos los rectilíneos de ambos diedros, es decir en cada plano α , ‐ y α ’ trazamos la ⊥ a ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤^ en el mismo punto ᡂ. Los segmentos ᠴᡂ㍤㍤㍤㍤^ y ᡂᠹ㍤㍤㍤㍤㍤^ están en línea recta por pertenecer a un mismo plano α y ser ⊥ a ᠧᠨ en el mismo punto.

Consideremos el plano ᠴᡂᡀ^ ڷ determinado por ᠴᠹ y ᡂᡀ tendremos.

ᠴᡂᡀ^ ∠ + ᡀᡂᠹ∠ = 2∠ᡄᡲᡧᡱ … … … … … … …. … 㐰^ Vertice^ Lado^ ᡂᡀ^ P^ comúncomún ᠴᡂ㍤㍤㍤㍤^ ᡷ ᡂᠹ㍤㍤㍤㍤㍤^ en linea recta.

Luego si los rectilíneos son suplementarios los diedros también serán:

α 䖓^ − ᠧᠨ − ‐ + ‐ − ᠧᠨ − α = 2 ∠ ᡄᡲᡧᡱ

ᠨ

ᡂ ᠴ

′

ᠧ

ᡀ

‐

ᠹ

TEOREMA 2: Dos diedros opuestos por la arista son iguales.

H) ㍤ᠧᠨ㍤㍤㍤^ arista común de los….䚂ᡀ − ᠧᠨ − ᡂ^ α^ − ᠧᠨ − ‐

ڷ α y^ ڷ ᡀ están en un mismo plano.

ڷ ‐ y ڷ ᡂ están en un mismo plano.

T) α − ᠧᠨ − ‐ = ᡀ − ᠧᠨ − ᡂ

D) α − ᠧᠨ − ‐ + ‐ − ᠧᠨ − N = 2 ∠ ᡄᡲᡧᡱ………. (1) …… Son diedros adyacentes porque

ڷ ᡀ y ڷ α están en un mismo plano.

Además tienen una arista común y aplicamos el teorema: Dos diedros adyacentes son suplementarios. Por otra parte también tenemos:

ᡂ − ᠧᠨ − ᡀ + ᡀ − ᠧᠨ − ‐ = 2 ∠ ᡄᡲᡧᡱ…………(2) …… Por el mismo motivo anterior.

Luego:

Transponiendo los términos y simplificando tendremos

∴ α − ᠧᠨ − ‐ = ᡀ − ᠧᠨ − ᡂ

N G

P

A

F^ ‐

E H^ B P

TEOREMA 4: Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella también lo es.

H) ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥^ ڷ α

ڷ ‐ plano cualquiera que pasa por ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤

T)^ ڷ ‐ ⊥^ ڷ α

D) Trazamos en el plano α la recta ᠰᠱ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ㍤ᠧᠨ㍤㍤㍤^ que es la intersección de los dos planos. Entonces podemos escribir.

ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤……………..…..pues ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥^ ڷ α ……….…………….hipótesis.

ᠰᠱ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠧᠨ㍤㍤㍤㍤…………….…..por construcción.

Luego el ángulo ᠩᠰᠱ^ ∠ es el rectilíneo del diedro

ᠩᠰᠱ^ ∠ = 1 ∠ ᡄᡲᡧ……………………..………Puesto que por hipótesis ᠩᠰ㍤㍤㍤㍤^ ⊥^ ڷ α y también será ⊥ a

cualquier recta por su pie. Si el rectilíneo del diedro vale 1 ∠ Rto debemos concluir que los dos planos son ⊥s.

Luego:………………………………………^ ڷ ‐ ⊥^ ڷ α

‐

ᠨ

ᠩ ᠧ

ᠰ ᠱ

TEOREMA 5: Por una recta no perpendicular a un plano, pasa un plano y solo uno, perpendicular a este.

H) ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ ڷ α

T) Por ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ pasa un plano ᠧᡁᡂ^ ڷ ⊥^ ڷ α

ڷ ‐ es único.

D) Trazamos desde el punto ᠧ la recta ᠧᡂ㍤㍤㍤㍤^ ⊥^ ڷ α

Unamos el pie de esta ⊥ con el pie de la oblicua ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ quedando determinado el segmento ᡂᡁ㍤㍤㍤㍤. Por el punto ᡁ y en el plano α trazamos ᠨᠩ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᡂᡁ㍤㍤㍤㍤ En estas condiciones tenemos ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ᠨᠩ㍤㍤㍤㍤^ …………………………………..Teorema de las tres perpendiculares. Pero también ᡂᡁ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ ㍤ᠨᠩ㍤㍤㍤^ por construcción. Luego podemos concluir que

ᠨᠩ㍤㍤㍤㍤^ ⊥ Plano ᠧᡁᡂ^ ڷ ………………………….……Si una recta es perpendicular a otras dos que se cortan

lo es al plano que determinan. El plano α contiene a ᠨᠩ por construcción Luego podemos concluir:

ڷ α ⊥ Plano ᠧᡁᡂ^ ڷ …………………………………………....Porque si una recta es perpendicular a un plano, todo

plano que pasa por ella también lo es.

Ahora precisamos demostrar que el plano ᠧᡁᡂ^ ڷ es único.

Puesto que la recta ᠧᡂ㍤㍤㍤㍤^ está contenida en el plano ᠧᡁᡂ^ ڷ por tener dos puntos en ese plano.

Si existiese otro plano ⊥^ ڷ α dicho plano no contendría al segmento ᠧᡂ㍤㍤㍤㍤^ puesto que ᠧᡁ㍤㍤㍤㍤^ y ㍤ᠧᡂ㍤㍤㍤

determinan un plano, pero contendría al segmento ᠧᡁ.

Y en este supuesto plano podríamos trazar desde el punto ᠧ otra perpendicular al plano^ ڷ α

Pero esto es imposible porque desde un punto exterior a un plano se puede trazar solamente una ⊥ a un plano.

Luego el plano ᠧᡁᡂ^ ڷ es el único plano ⊥ al plano^ ڷ α.

‐

ᡂ ᡁ

ᠨ

ᠩ

ᠧ