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El concepto de regresión lineal, su función, ecuaciones y métodos de análisis. Se incluye el concepto de ajuste y regresión, ecuación de una función lineal, métodos de los números cuadrados y ecuaciones de regresión. Además, se discuten las rectas de regresión de Y sobre X y X sobre Y, coeficiente de regresión y error de estimación.
Tipo: Monografías, Ensayos
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Modulo IV
Edelyn Gallardo C.I. 17.191. Administración mención RRHH cohorte 2021-I
Rafael Rivas
Permite predecir el comportamiento de una variable dependiente a partir de otra independiente. Tiene presunciones como la línea de la relación, la normalidad, la aleatoriedad de la muestra y homogeneidad de las varianzas. La regresión no prueba causalidad. No se extiende más allá de los datos obtenidos.
De un modo general se dice que existe regresión de los valores de una variable con respecto a los de la otra cuando hay alguna línea, que se ajusta más o menos a los valores observados. La regresión se usa para la identificación de relaciones potencialmente causales o bien, cuando no existen dudas sobre su relación causal, para predecir una variable a partir de la otra. Cuando dos variables tienen una relación de tipo determinista, el valor de una define exactamente el valor de la otra.
Ecuación de la función lineal
Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx, siendo m un número cualquiera distinto de 0.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0). El número m se llama pendiente. La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
Concepto de ajuste y regresión
La regresión lineal calcula una ecuación que minimiza la distancia entre la línea ajustada y todos los puntos de los datos. En general, un modelo se ajusta bien a los datos si las diferencias entre los valores observados y los valores de predicción del modelo son pequeñas y no presentan sesgo.
Antes de examinar las medidas estadísticas de bondad de ajuste, se recomienda revisar las gráficas de residuos que pueden revelar patrones no deseados de residuos que indican sesgo en los resultados de una manera más efectiva que los números. Cuando las gráficas de residuos pasan la revisión, se puede confiar en los resultados numéricos y verificar las bondades de ajuste estadísticas.
El análisis de regresión es una herramienta de frecuente uso en estadística. La cual permite investigar las relaciones entre diferentes variables cuantitativas. Esto, mediante la formulación de ecuaciones matemáticas. Es decir, dicho análisis es un proceso que analiza el vínculo entre una variable dependiente y una o varias variables independientes. Así, a partir de dicho estudio, se halla una relación
Donde β 0 es la intersección, βi's es la pendiente entre Y X apropiado y ε es el término de error que captura los errores en la medición de Y y el efecto sobre Y de cualquier variable que falte en la ecuación y que contribuiría a explicar las variaciones en Y. esta ecuación es la ecuación teórica de la población por lo tanto se utiliza las letras griegas. La ecuación que estimaremos será con símbolos romanos equivalentes, equivalente a como se siguen los parámetros de la población y la muestra; el símbolo de la media poblacional μ y de la media muestral X-X, para la desviación típica de la población σ y para la desviación típica de la muestra s.
La ecuación que se estimara con una muestra de datos para dos variables independientes será:
yi=b 0 +b 1 x 1 i+b 2 x 2 i+eiyi=b0+b1x1i+b2x2i+ei
Recta de regresión de Y sobre X
La recta de regresión de Y sobre X se utiliza para estimar los valores de la Y a partir de los de X
Partimos de la ecuación punto pendiente, que tiene la siguiente ecuación:
Donde X0 y Y0 son las coordenadas de un punto por el que
pasa la recta: Y m es la pendiente de la recta,
En nuestro caso, la recta de regresión pasa por el punto G, que tiene de coordenadas las medias de cada una de las variables:
Y m es igual a la covarianza dividida entre la varianza de x:
Por tanto, la fórmula de la recta de regresión se me queda de la siguiente manera:
Esta recta es la que minimiza las distancias de los puntos a la recta en vertical:
Concretamente, esta es la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X, que es la que minimiza las distancias en vertical a la recta.
Recta de regresión de X sobre Y
Se utiliza para estimar los valores de la X a partir de los de Y
Ecuación de la recta de regresión de X sobre Y, donde en este caso la pendiente sería igual a la covarianza entre la varianza de Y:
Y su ecuación sería:
Cuya estructura es similar a la ecuación anterior, sola que cambia la Y por la X. Esta ecuación no tiene por qué ser la misma que la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y, aunque cuanto más fuerte sea la correlación, más se aproximarán ambas rectas.
Esta recta es la que minimiza las distancias de los puntos a la recta en horizontal:
La desviación estándar es una medida de la dispersión de los datos; es decir, es una medida de la variabilidad de la población. El error estándar es una medida de la variabilidad de la muestra, calculada en base a la desviación estándar de la población. El error estándar de estimación es una medida del error que se comete al tomar la media muestral como estimación de la media poblacional.
Intervalo de confianza de una estimación
Consiste en determinar un posible rango de valores o intervalo, en los que pueda precisarse – con una determinada probabilidad– que el valor de un parámetro se encuentra dentro de esos límites
El concepto de “confianza” en el intervalo es muy importante. Supongamos que queremos con una confianza del 95% que el verdadero valor del parámetro θ esté en un intervalo. Si en vez de considerar todas las muestras posibles consideramos 100 muestras. Entonces habrá más o menos 95 intervalos que contienen el valor del parámetro.
Regresión no lineal.
Es un método para encontrar un modelo no lineal para la relación entre la variable dependiente y un conjunto de variables independientes. A diferencia de la regresión lineal tradicional, que está restringida a la estimación de modelos lineales, la regresión no lineal puede estimar modelos con relaciones arbitrarias entre las variables independientes y las dependientes. Esto se lleva a cabo usando algoritmos de estimación iterativos. Tenga en cuenta que este procedimiento no es necesario para los modelos polinomios simples de la forma Y = A + BX2. Definiendo W = X2, obtenemos un modelo lineal simple, Y = A + BW, que se puede estimar usando métodos tradicionales como el procedimiento Regresión lineal.
Ejemplo. ¿Puede pronosticarse la población basándose en el tiempo Un diagrama de dispersión muestra que parece haber una estrecha relación entre la población y el tiempo, pero la relación es no lineal y por eso exige la utilización de los métodos de estimación especiales del procedimiento Regresión no lineal. Creando una ecuación adecuada, como la del modelo logístico de crecimiento poblacional, podemos obtener una buena estimación del modelo, lo que nos permitirá hacer predicciones sobre la población para épocas que no se han sido medidas.
