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TEMA 12
CONSTRUCCION DE MODELOS MATEMATICOS
EL CONCEPTO DE MODELO MATEMATICO.
Hasta hace cosa de un siglo, no se asociaban las técnicas matemáticas con ninguna de las ciencias sociales. En el siglo pasado, se dio en emplear profusamente los números y las matemáticas en las ciencias sociales, y hoy día están presentes prácticamente en todos los campos de la ciencia política. Un modelo matemático es una versión simplificada del mundo que se utiliza para estudiar sus características esenciales. He aquí la descripción de un modelo en palabras de Charles Lave y James March: Un modelo es un cuadro simplificado del mundo real. Posee algunas de las características del mundo real, pero no todas. Es un conjunto de suposiciones interrelacionadas sobre el mundo. Como todos los cuadros, el modelo es más sencillo que los fenómenos cuya representación o explicación se le atribuye. Un modelo matemático es, en muchos aspectos, comparable al modelo a escala de un avión hecho por un ingeniero, o al modelo de un edifico hecho en cartulina por un arquitecto. El modelo sirve para representar las características fundamentales del objeto de tamaño natural. Los modelos de los procesos sociales cumplen una función similar englobando las características esenciales de un proceso para su estudio y experimentación. Aunque parezca sorprendente, los procesos políticos poseen un cierto numero de características que se prestan al estudio matemático. Por ultimo, la construcción de modelos matemáticos no se limita a tratar con cantidades: también puede tratar de las características cualitativas de un proceso político. Algunos procesos políticos, como la toma de decisiones electorales y las reglas de redistribución, se pueden definir completamente en términos matemáticos. Con los modelos matemáticos, los expertos en ciencia política pueden explorar las características de los procesos políticos con mas facilidad de lo que seria posible de otro modo. Con frecuencia, los modelos matemáticos pueden expresar en unas cuantas ecuaciones lo que, en otras condiciones, habría que describir en varias paginas de texto, y en muchos casos, los procesos se pueden simular mediante ordenadores. Utilizando instrumentos matemáticos los expertos en ciencia política pueden emplear numerosas técnicas desarrolladas en matemáticas, lógica, estadística, física, economía y otras disciplinas, y aplicarlas al estudio del comportamiento político. Finalmente, los modelos matemáticos son muy claros y explícitos y no dejan lugar a dudas sobre las relaciones que se proponen.
EL PROCESO DE LA CONSTRUCCION DE MODELOS.
La construcción de modelos matemáticos es inductiva y, a la vez deductiva. La primera fase de construcción de un modelo es inductiva; consiste en seleccionar las observaciones sobre el proceso cuyo modelo queremos construir. Esto equivale, poco mas o menos, a escoger las variables y la población en un diseño de contrastación de hipótesis, aunque, por lo común, ello se hace de una manera mas informal que en la verificación de hipótesis. Esta fase es importante para la labor subsiguiente de construcción del modelo, pues si un proceso es demasiado complejo para los métodos disponibles, o se examinan las variables inadecuadas, esa labor, probablemente, no irá muy lejos. Generalmente, los modelos entrañan un menor numero de variables que los métodos de contrastación de hipótesis: en estos últimos, se utiliza un solo conjunto de procedimientos (por ejemplo, la regresión lineal) en un gran numero de variables, mientras que en los modelos se emplea un conjunto complejo de procedimientos en un numero reducido de variables. El segundo paso consiste en pasar de la definición del problema a la verdadera construcción de un modelo informal. Un modelo informal es un conjunto de mecanismos posibles que podrían explicar las observaciones seleccionadas, pero en el cual no se expresan los mecanismos no se comprueba su coherencia lógica con gran precisión. En esta etapa, la mayoría de los constructores de modelos toman en consideración diversos conjuntos de supuestos informales que pudieran explicar los mismos datos. Es decir, examinan diversos modelos potenciales y tratan de determinar cual de ellos es mas adecuado para representar el problema objeto de estudio. En suma, intentan encontrar diferentes procedimientos para establecer la correspondencia lógica entre su modelo y el mundo. Esta es una etapa critica del proceso de construcción del modelo. Si la teoría informal en la que está basado el modelo es deficiente, no se podrá salvar la situación por muchas y refinadas operaciones matemáticas que realicemos. A medida que se adquiere experiencia en la técnica de construcción de modelos, se suele sustituir la construcción de modelos informales por la búsqueda entre los modelos formales existentes de un procedimiento apropiado que pueda aplicarse a las observaciones. A diferencia del modelo informal, en el modelo formal se expresan los supuestos en forma matemática. Esos modelos existentes son, en efecto, un conjunto de instrumentos. Como ya han sido estudiados, también son conocidas algunas de las deducciones posibles extraídas de los supuestos del modelo, y esto proporciona una cierta orientación para elaborar otros nuevos. El tercer paso es la traducción del modelo informal a un modelo matemático. Para realizarla, hay que tomar la descripción textual del modelo informal para representar las mismas ideas y procesos. En primer lugar, los modelos informales suelen ser ambiguos, y generalmente hay mas de un procedimiento para traducir un modelo informal a un modelo matemático. Y esta es, por supuesto, una de las razones del empleo de modelos matemáticos: la matemática es un lenguaje mas preciso e inequívoco que el lenguaje natural.
¿Por qué un modelo? Son varias las razones por las que los expertos en ciencia política utilizan los modelos matemáticos. La construcción de un modelo es un proceso de simplificación y deducción. La simplificación implica una perdida de información sobre una situación determinada. La deducción matemática supone a menudo manipulaciones matemáticas complejas, y los modelos que en estas se utilizan son, al menos inicialmente, mas difíciles de manejar que los argumentos del lenguaje natural. La primera razón para construir modelos del comportamiento político es que con ellos se formaliza lo que en cualquier caso todos hacemos. Sencillamente, la regularidad de los sucesos políticos es suficiente para que los modelos informales simplificados de la vida política tengan utilidad. Tenemos modelos mentales del funcionamiento de los sistemas políticos, aunque nunca los formulemos explícitamente. Los modelos matemáticos expresan de una manera explícita esos modelos informales. Una segunda razón para la construcción de modelos matemáticos es la de formular mecanismos explícitos que expliquen las predicciones informales que hacemos. Aunque todos los individuos saben lo que esperan y lo que no del comportamiento de un sistema político, muchas veces no saben precisamente por que esperan ciertas cosas ni que es lo que esperan. Un modelo formal va mas allá de los supuestos vagamente establecidos y hace predicciones precisas que, con frecuencia, pueden comprobarse. En ocasiones, los modelos matemáticos parecen confirmar meramente lo que ya es obvio. Esta es una característica necesaria de los modelos, porque, en general, se espera que reproduzcan lo que sucede en la vida política diaria. Sin embargo, el ser humano suele ser muy impreciso con respecto al significado de “obvio”. A menudo, el sentido común esta en lo cierto porque es tan vago que es imposible que esté equivocado. En cambio, la precisión de los modelos formales significa que pueden estar equivocados: a veces, parece que los modelos tienen peor historial que el sentido común (más ambiguo). Y esto, lejos de ser un defecto, es una virtud, pues los supuestos y predicciones son lo bastante precisos como para poder comprobarlos y ver si están equivocados y en que lo están. En suma, un modelo solamente es útil si se puede demostrar que esta equivocado. Si es imposible demostrarlo, también será imposible probar que es correcto, por lo que tendrá escasa utilidad. Un modelo informal e intuitivo que permita evadir todo posible error será quizá un gran instrumento táctico, pero no nos ayudara a comprender el comportamiento político. Una tercera ventaja de los modelos formales es que pueden soportar sistemáticamente un mayor grado de complejidad que la mera intuición o, incluso, que un argumento cuidadosamente razonado del lenguaje natural. Los expertos en ciencia política están empezando a comprobar el mejor conocimiento que puede obtenerse del comportamiento político mediante la construcción de modelos, y en varios casos se han tenido que desarrollar nuevas áreas de las matemáticas (y muy especialmente la teoría de los juegos) antes de que los expertos en ciencia social pudieran constatar los elementos comunes de los diversos comportamientos sociales. Hace solamente unos veinte años que se vienen construyendo modelos matemáticos del comportamiento social, y hay pocos indicios de que se esté alcanzando el limite de su utilidad.
Una ultima ventaja de la construcción de modelos matemáticos es que permite compartir instrumentos y técnicas de las disciplinas académicas. Este fenómeno de “préstamo” se produce igualmente en el sentido inverso. La teoría de los juegos fue originalmente desarrollada por economistas y expertos en ciencia política para analizar el fenómeno de la competición, y desde entonces se ha convertido en un campo de investigación de las matemáticas puras. Los modelos matemáticos sirven también para demostrar que ciertas situaciones que a primera vista no tienen nada en común, son, en realidad, las mismas. En una gran variedad de casos, un modelo matemático primeramente elaborado para un determinado problema resultara también aplicable a otro. En resumen, los modelos matemáticos tienen cuatro ventajas potenciales sobre los modelos del lenguaje natural: 1- Sistematizan los modelos mentales que ya utilizamos; 2- Son precisos e inequívocos; 3- Pueden soportar un mayor grado de complejidad deductiva que el lenguaje natural, y 4- Permiten hallar soluciones comunes para una serie de problemas que a primera vista se parecen bien poco.
EJEMPLOS DE MODELOS MATEMÁTICOS DEL COMPORTAMIENTO POLITICO: RICHARDSON, EL MODELO DEL PRISIONERO, DOWNS. EL MODELO DE RICHARDSON sobre la carrera de armamentos. Richardson acabó por establecer un modelo relativamente simple que solo comprendía tres factores. Lo admirable del modelo de Richardson es que es autónomo: si se conocen los valores de los coeficientes y los niveles de armamento X e Y correspondientes a un año, se pueden predecir los niveles de armamento de todos los años futuros. En teoría, esto confiere al modelo la posibilidad de predecir el futuro, y Richardson pensó que si los políticos podían predecir guerras venideras, podrían aprender a evitarlas. En general, el modelo da buenos resultados en las predicciones a corto plazo y
- lo que es mas importante- ningún otro modelo autónomo funciona mejor. Una característica importante del modelo de Richardson es la llamada estabilidad. Esta, en su forma mas simple, determina si la carrera de armamentos progresa en proporción creciente o en proporción decreciente. La evitación de la guerra era, por supuesto, lo que al principio impulso a Richardson a construir el modelo. Este resulta ser un instrumento bastante correcto para predecir la guerra, pues casi todas las guerras modernas van precedidas de carreras de armamentos inestables. Richardson lo postuló en su obra original, y se ha verificado en estudios mas sistemáticos. El modelo Richardson solo es uno de una numerosa clase de modelos dinámicos en los que se recoge el desarrollo de un proceso a lo largo del tiempo. Son aun mas complejas las simulaciones por ordenador dinámicas, en las que se utilizan amplios conjuntos de ecuaciones demasiado complicados para resolverlos algebraicamente. Con frecuencia, las simulaciones por ordenador tratan de naciones enteras o sistemas políticos y económicos globales, y se utilizan cada vez mas para abordar los escenarios hipotéticos de las políticas publicas nacionales e internacionales.
MODELO DE DOWNS. Como ya dijimos, admitimos que las elecciones reñidas son un elemento normal del proceso político; pero, para situar esto en su propia perspectiva, consideramos la probabilidad de que 233.000 individuos, que tienen la opción de colocar una bolita verde o roja en un cántaro de grandes dimensiones, hagan su elección de manera que la combinación final de colores en el cántaro quede apartada en un 0,03 por ciento de la perfecta igualdad 50-
- Aún en el supuesto mas optimista esa probabilidad solo es del 0,0005 por ciento (1 entre 2.000 aproximadamente). Por lo tanto, las elecciones casi igualadas son, según todos los indicios, acontecimientos muy poco probables. Sin embargo, en el sistema electoral estadounidense, este tipo de acontecimientos son de lo mas frecuente. En uno de los primeros trabajos sobre construcción de modelos formales de ciencia política, Anthony Downs propuso un sencillo mecanismo para explicar este fenómeno. Downs adaptó un modelo originalmente propuesto por Harold Hotelling en
Supongamos, en la versión mas sencilla del modelo downsiano, que el espectro ideológico de los votantes abarca desde los liberales a los conservadores, y que los ciudadanos votan al candidato cuya ideología es mas afín a la suya. En esa situación, los candidatos querrán estar, ideológicamente, lo mas cerca posible a la media de los votantes (el punto denominado M). Si un candidato adopta una posición coincidente con M y el otro candidato adopta una posición diferente de M, como, por ejemplo, la posición O, el segundo perderá las elecciones: el candidato situado en M obtiene el 50 por ciento de los votos a la derecha de M y se reparte los votos comprendidos entre los puntos M y O, y, en consecuencia, gana las elecciones. Este mecanismo se refuerza a sí mismo. Un candidato podrá no tenerlo en cuenta, pero ello será a expensas de perder las elecciones. Por lo tanto, cabria esperar que los políticos experimentados los que han ganado varias elecciones tuvieran la habilidad de calcular donde se sitúa ese punto medio de las opiniones políticas. Este modelo explica las observación básica de que muchas elecciones estén tan igualadas, pues los candidatos experimentados intentaran situarse lo mas cerca posible del centro del voto. Mientras ambos candidatos se mantengan apartados del punto central, podrán repartirse casi por igual los votos si escogen posiciones simétricas adecuadas a ambos lados de M y siempre que esas posiciones no sean idénticas.
OTROS TIPOS DE MODELOS
Existe un copioso acervo de publicaciones que abordan la toma de decisiones según la utilidad esperada , que es un procedimiento para elaborar modelos de situaciones de decisión que conllevan riesgo o incertidumbre. Estos modelos se utilizan ampliamente en el análisis de las políticas publicas. Estos modelos se utilizan con profusión en la construcción de modelos prescriptivos (con que se trata de predecir las medidas que han de tomarse) en la escena política. Tienen menos utilidad en la construcción de modelos descriptivos (destinados a predecir lo que harán realmente los individuos), porque la mayoría de la gente no sigue esos modelos al tomar sus propias decisiones. Están relacionados con los modelos de utilidad esperada los modelos de maximizacion , la mayoría de los cuales se han tomado de la economía o la ingeniería. El comportamiento racional (orientado hacia objetivos) entraña, por lo general, algún tipo de reducción al máximo o al mínimo, y existen diversas técnicas matemáticas complejas para determinar esos comportamientos óptimos. Dichas técnicas son útiles tanto en los “juegos contra natura” donde el “contrincante es un futuro impredecible, como en situaciones competitivas contra un pequeño numero de otros actores, y en situaciones mercantiles en que el entorno viene determinado por otros actores muy numerosos. Otra vasta categoría de modelos no representados en los ejemplos es la de los modelos estocasticos. En estos, se supone que el proceso estudiado es, en parte, impredecible, y el interés se concentra en predecir las características de las distribuciones de probabilidades de las variables que se estudian (como, por ejemplo, el promedio de una variable, la varianza, y la probabilidad de alcanzar valores extremos especificados), y no en la prediccion de los valores exactos de las variables. Como el comportamiento social tiene un gran componente aleatorio, con frecuencia es mas provechoso examinar las características de esa aleatoriedad que intentar construir un modelo del comportamiento como si no fuera aleatorio. Un nuevo campo de la construcción de modelos aleatorios es el que trata de los modelos por ordenador, que están relacionados con la rama, mas general, de la inteligencia artificial computadorizada. Los modelos por ordenador se basan en la informática, que, mas que con ecuaciones, opera con algoritmos (secuencias de instrucciones expresadas con precisión). Los modelos por ordenador son particularmente útiles para abordar situaciones en las que se manejan grandes cantidades de información, como la memoria, el aprendizaje y los procesos no numéricos.
CONCLUSION.
En resumen, los modelos matemáticos ofrecen posibilidades considerablemente mayores que el lenguaje natural para extraer conclusiones complejas de ciertos conjuntos de supuestos. Y ademas, el mundo político presenta una regularidad suficiente para que las deducciones extraídas de numerosos modelos matemáticos resulten validas cuando se someten a comprobaciones empíricas. Las construcción de modelos de los fenómenos políticos y sociales es un procedimiento complejo. Y, en lo que atañe a los modelos del comportamiento político, esa complejidad tiene dos consecuencias. En primer lugar , para la elaboración de los modelos se empezara por los comportamientos mas simples y mas regularmente observados, y solo mas tarde se abordara el comportamiento mas complicado. En consecuencia, algunos de los fenómenos que se incluyan en el modelo serán probablemente banales, y no se podrán tratar desde el principio las “grandes cuestiones”. En cambio, con un enfoque intuitivo e informal del análisis político se puede abordar cualquier tema en cualquier momento, y las cuestiones importantes se tratan con frecuencia de esa manera. No obstante, las respuestas aportadas muchas veces son equivocadas. En segundo lugar, las matemáticas necesarias para tratar los problemas políticos serán probablemente distintas y mas complejas que las aplicadas para resolver los problemas de la física clásica. En particular, es muy probable que los modelos de los procesos sociales entrañen un mayor volumen de información, mas variables y un mayor grado de aleatoriedad que los modelos de los sistemas físicos.
