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1.-Concepto de límite:
El límite de la función f ( x ) en el punto a , es el valor al que se acercan las imágenes (las y ) cuando las x se acercan al valor a. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando las x tienden a a. Se dice que la función f ( x ) tiene como límite el número L , cuando x tiende a a , si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un número positivo dependiente de , tal que, para todos los valores de x distintos de a que cumplen la condición: 0 < |x - a| < δ , se cumple que: | f (x) - L| <ε Se puede deducir de la definición, que para que exista el límite L de una función f ( x ) es necesario que se forme un entorno de L en f ( x ) siempre y cuando se pueda generar un entorno reducido de a en x. Dado que el entorno de L es: , el entorno reducido de a es: , donde y pueden se tan pequeñas como se desee, por lo que se pueden generar una infinidad de entornos cada vez más pequeños, siempre que. Esto puede interpretarse como la formación de rectángulos cada vez más pequeños que incluyan al punto ( a , L ). Gráficamente esto es: Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales. La condición necesaria y suficiente para que una función f ( x ) tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga un límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Si una función es convergente o tiene límite en un punto, éste debe ser
único. Además, toda función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto. Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
2.-Concepto de continuidad
Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo de función continua: f(x)=x3f(x)=x3. Gráfica: Ejemplo de función no continua: f(x)=1/xf(x)=1/x. Gráfica: Definición formal: La función ff es continua en el punto cc si limx→cf(x)=f(c)limx→cf(x)=f(c) La función ff es continua si es continua en todos los puntos. Por ejemplo, la función f(x)=1/xf(x)=1/x no es continua en x=0x=0 porque no existe f(0)f(0). Observaciones: En realidad, para hablar de continuidad en un punto aa, debería ser indispensable que el punto aa pertenezca al dominio de la función.
El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en π/2+nππ/2+nπ para todo entero nn. La mayoría de las funciones que veremos son combinaciones de las anteriores, así que es recomendable aprender su continuidad
3.-Límites laterales
Intuitivamente, el límite de una función f(x)f(x) cuando x→ax→a es el valor al que f(x)f(x) se aproxima cuando xx se aproxima a aa. Sin embargo, en ocasiones, la función f(x)f(x) se aproxima a uno u otro valor según si xx se aproxima a aa por la izquierda o por su derecha. Por esta razón existe el concepto de límite lateral. Límite lateral de f(x)f(x) cuando xx tiende a aa por la izquierda: limx→a−f(x)limx→a−f(x) Límite lateral de f(x)f(x) cuando xx tiende a aa por la derecha: limx→a+f(x)limx→a+f(x) Si los límites laterales no coinciden, diremos que no existe el límite ∄limx→af(x)∄limx→af(x) Si coinciden, entonces limx→a+f(x)=limx→af(x)=limx→a−f(x)limx→a+f(x)=limx→af(x)=limx→a−f(x) Por ejemplo, la gráfica de f(x)=1/(2x)f(x)=1/(2x) es En la gráfica se observa que
Cuando xx se aproxima a 0 por la derecha, la función crece indefinidamente:limx→0+1/2x=+∞limx→0+1/2x=+∞ Cuando xx se aproxima a 0 por la izquierda, la función decrece indefinidamente:limx→0−1/2x=−∞limx→0−1/2x=−∞ Por tanto, no existe el límite cuando x→0x→0: ∄limx→01/
4.-Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son funciones cuya definición depende del valor que toma la variable xx. Por ejemplo, Gráfica: La continuidad de una función definida a trozos depende de la continuidad de las funciones que la componen, pero puede haber discontinuidades en los puntos donde cambia la definición. Siempre hay que estudiar la continuidad de la función en los puntos donde cambia su definición. Para ello, usamos los límites laterales. Por ejemplo, la función anterior sólo es discontinua donde cambia su definición: x=0x=0. Por la izquierda tiende a 0 y por la derecha tiende a 1.
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica. -Raíces de una función cuadratica Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales. Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo
6.- Límites en el infinito
El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro. Uno entre infinito Empecemos por un ejemplo interesante. Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞? Respuesta: ¡No lo sabemos! ¿Por qué no lo sabemos? La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto. A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido. ¡Pero podemos acercarnos a él! Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes: x 1/x 1 1. 2 0. 4 0. 10 0. 100 0. 1,000 0. 10,000 0. Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0 Ahora tenemos una situación interesante: No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito Pero vemos que 1/x va hacia 0 Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0 Y lo escribimos así: En otras palabras:
Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite). Infinito y grado Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito. De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así: Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x^2 etc. Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro. Igualmente, funciones como x^2 o x^3 también van hacia infinito Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos. De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar. Si el grado es: mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito) menor que 0, el límite es 0 Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite Funciones racionales Una función racional es el cociente de dos polinomios:
Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x^3 +2x-1 , y Q(x)=6x^2 : Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x): Si el grado de P es menor que el grado de Q .. el límite es 0. Si el grado de P y de Q son iguales divide los coeficientes de los términos del grado más grande Si el grado de P es mayor que el grado de Q ... ... entonces el límite es infinito positivo ... .. o quizás infinito negativo.
