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CLASIFICACION DE FORMAS CUADRATICAS
Jorge Moretti jmoretti@hotmail.com Uruguay
Tema: Resolución de problemas Modalidad: Taller Nivel educativo: Formación y actualización docente Palabras claves: Forma cuadrática
Resumen: Un tema simple, interesante y útil que se estudia en la enseñanza media es el estudio de signo de una función polinómica de segundo grado, real de una variable real. Cuando lo que interesa son esas funciones de más de una variable real, la simpleza del tema suele complicarse ya que los métodos tradicionales suponen, por ejemplo, el conocimiento de asuntos como el de los valores propios de una matriz. En realidad, hay un método sencillo, que creo inédito, basado en la escalerización de una matriz (procedimiento usado habitualmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales). El objetivo del taller es presentar ese método.
1 - Introducción
En los últimos años del liceo aprendimos a estudiar el signo de una función polinómica de segundo grado. La más sencilla de esas funciones es aquélla en la que P(x) = ax^2 , ya que en este caso el signo de P es el de a (salvo en 0 pues P(0) = 0). Aquí nos interesarán funciones similares a la recién comentada pero ahora en Rn^ (con n > 1). O sea, nos ocuparemos de algunas funciones polinómicas de segundo grado, de dos o más variables, con el propósito de estudiar su signo en el sentido que más adelante indicaremos. Por ejemplo, analizaremos funciones como las que definimos a continuación.
- f tal que^3 x^2 8 xy^6 y^2 y
x f (^)
(no aparecen términos ni en x , ni en y , ni término independiente y ello es intencional).
- g tal que 4 x 5 y 7 z 2 xy 6 xz 10 yz z
y
x g ^2 ^2 ^2
- h tal que x y^2 z^3 t xy xz^2 xt^3 yz^4 yt^6 zt
t
z
y
x h ^2 ^2 ^2 ^2
Es importante que notemos que esas funciones pueden definirse a partir de un producto interno. Por ejemplo, en el caso de la función g lo que sigue muestra que g (x) = Ax,x
donde A es una matriz simétrica y x =
x y z
es un vector de R^3. En efecto:
z
y
x g =
x y z
x y z
, = Ax,x con A =
y x =
x y z
A tales funciones las llamaremos formas cuadráticas. En este documento describiremos un método, basado en el proceso de escalerización de una matriz, que permite estudiar con bastante sencillez el signo de las formas cuadráticas. En cuanto a los teoremas, sólo daremos sus enunciados (en la referencia bibliográfica constan sus demostraciones).
2 – Formas cuadráticas
Definición 1 - Forma cuadrática en Rn Sea A una matriz simétrica de n filas y n columnas. Con esa matriz construyamos la función Qn : Rn^ R tal que Qn(x) = Ax,x para cada x Rn. A esa función la llamaremos forma cuadrática en Rn^ con matriz asociada A.
En relación con la definición anterior resulta de interés que notemos lo siguiente: Es habitual ver en la literatura matemática la fórmula Qn(x) = x’Ax. Qn(O) = 0 cualquiera sea la forma cuadrática Qn. Debido a ello, el vector nulo no tiene mayor interés en lo que al estudio del signo de una forma cuadrática se refiere. Si consideramos la forma cuadrática Qn cuya matriz asociada es la matriz nula resulta que Qn(x) = 0 x Rn. Sin duda, esta forma cuadrática carece de interés en nuestro problema de estudiar el signo de una forma cuadrática.
Ejemplo 1 - Una forma cuadrática en R^2
Sea f la función de R^2 en R tal que 5 x^2 4 xy 8 y^2 y
x f (^)
- Tomemos la matriz simétrica A definida mediante A =
Si x =
y
x resulta que Ax =
x y
x y 2 8
y Ax,x = (5 x + 2 y ) x + (2 x + 8 y ) y = 5 x^2 + 4 xy + 8 y^2. Por lo tanto tenemos que la función f es una forma cuadrática en R^2 cuya matriz asociada es A =
- Pongamos ahora B =
b d
a c y determinemos a , b , c y d de modo que Bx,x = f (x). Debido a que Bx,x = ax^2 + ( b + c ) xy + dy^2 concluimos que a = 5, b + c = 4 y d = 8. Existen, entonces, infinitas matrices B que cumplen Bx,x = f (x) y entre ellas hay sólo una que es simétrica (pues si exigimos que b = c tenemos que b = c = 2).
Definición 2 - Clasificación de una forma cuadrática Sea Qn una forma cuadrática en Rn^ cuya matriz asociada no es la matriz nula.
- Qn es definida positiva cuando Qn(x) > 0 x Rn^ tal que x O.
- Qn es definida negativa cuando Qn(x) < 0 x Rn^ tal que x O.
- Qn es semidefinida positiva cuando Qn(x) 0 x Rn^ y x 0 , x 1 en Rn^ tales que x 0 O, Qn(x 0 ) = 0 y Qn(x 1 ) > 0.
- Qn es semidefinida negativa cuando Qn(x) 0 x Rn^ y x 0 , x 2 en Rn^ tales que x 0 O, Qn(x 0 ) = 0 y Qn(x 2 ) < 0.
- Qn es indefinida cuando x 1 , x 2 Rn^ tales que Qn(x 1 ) > 0 y Qn(x 2 ) < 0.
Ejemplo 2 - Clasificación de cinco formas cuadráticas en R^2
En todas las formas cuadráticas que analizaremos a continuación usaremos el resultado
de la primera parte del ejercicio 2 (ver el Anexo 2). Allí consta que si A = a b b c
^
es la
matriz asociada a la forma cuadrática Q 2 , entonces se cumple lo siguiente:
a Q 2
x y
^
= ( ax^ +^ by )^2 + ( ac^ -^ b^2 ) y^2
x y
^
- Sea Q 2 la forma cuadrática con A =
^
Entonces Q 2
x y
^
= ( x + 2 y )^2 + 3 y^2. Esta forma cuadrática es definida positiva ya
que Q 2
x y
^
> 0^
x y
^
O.
- Elijamos B =
^
Con esta matriz resulta que -Q 2
x y
^
= (- x + 2 y )^2 + 3 y^2 , o sea
Q 2
x y
^
= -(- x + 2 y )^2 - 3 y^2. Esta forma cuadrática es definida negativa puesto que
Q 2
x y
^
x y
^
O.
- Tomemos C =
^
En este caso tenemos que Q 2 x y
^
=^ ( x^ +^2 y )^2.^ Esta^ forma^ cuadrática^ es
semidefinida positiva ya que Q 2
x y
^
x y
^
, Q 2
= 1 y Q 2
^
- Sea E =
^
Ahora resulta que -Q 2 x y
^
= (- x^ + 2 y )^2 y por lo tanto Q 2
x y
^
^0
x y
^
Q 2
= -1 y Q 2
^
= 0. Estamos pues ante una forma cuadrática semidefinida negativa.
- Si F =
^
tenemos que Q 2 x y
^
= ( x^ + 2 y )^2 -^ y^2. Esta forma cuadrática es
indefinida ya que Q 2
= 1 y Q 2
^
4 – La escalerización y las formas cuadráticas
En esta sección expondremos un método para clasificar formas cuadráticas.
Teorema 2 - Pasaje de una forma cuadrática en Rn^ a una forma cuadrática en Rn- Sean Qn una forma cuadrática en Rn^ con matriz asociada A y a 11 el número que ocupa el primer lugar en la diagonal principal de A. Si a 11 0, entonces existe una forma cuadrática Qn-1 en Rn-1^ que tiene las siguientes propiedades:
- Si x =
x n
x
x
x
3
2
1
Rn^ y z =
x n
x
x 3
2 Rn-1^ resulta que a 11 Qn(x) = Qn-1(z) + A 1. , x 2.
- Para cada z Rn-1^ existe x Rn^ tal que Qn-1(z) = a 11 Qn(x).
El teorema anterior amerita los siguientes comentarios:
- A partir de la matriz A =
n n n nn
n
n
n
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... a
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
construimos una matriz B
cuyas filas son
n. 11 n. n 1 1.
11 3. 31 1.
11 2. 21 1.
B a A a A
B a A a A
B a A a A
B A
La nueva matriz A
Los coeficientes Básico: 1 La nueva matriz B 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 3 1 0 1 2
La forma cuadrática Q 2 tiene como matriz asociada
^
La última matriz A
Los coeficientes Básico: 1 La última matriz B 1 1 -1 1 1 1 2 1 0 1
La forma cuadrática Q 1 tiene como matriz asociada ( 1 ) y por lo tanto Q 1 (t) = t^2. Esta forma cuadrática es definida positiva (con ella, aunque parezca increíble, retornamos a la sencilla función polinómica de una variable de la introducción). Debido a que todos los coeficientes básicos son positivos, la aplicación reiterada de la primera parte del teorema 3 nos lleva a concluir que Q 4 es definida positiva. Atentos a todos los cálculos que hemos realizado, podemos aplicar tres veces la primera parte del teorema 2 para expresar Q 4 como una suma de cuadrados; el resultado es el
siguiente: Q 4
x y z t
= ( x + y + z + t )^2 + ( y + z + t )^2 + ( z + t )^2 + t^2.
- Sea Q 4 la forma cuadrática tal que A =
. Al igual que en el punto
anterior, pasaremos de Q 4 a la forma cuadrática Q 3 del teorema 2.
La matriz A
Los coeficientes Básico: 1 La matriz B 1 2 3 4 -2 -3 -4 1 2 3 4 2 5 6 7 1 0 1 0 - 3 6 8 9 1 0 0 -1 - 4 7 9 10 1 0 -1 -3 -
Q 3 es la forma cuadrática que tiene matriz asociada C
. Por suerte no
tenemos que continuar nuestro trabajo de escalerización. En efecto, al ser Q 3 (e 1 ) = 1 y Q 3 (e 2 ) = -1 resulta que Q 3 es indefinida. La quinta parte del teorema 3 nos asegura que Q 4 es indefinida.
En este caso, la continuación del proceso de escalerización hasta el final nos hubiera
llevado a que Q 4
x y z t
= ( x^ + 2 y^ + 3 z^ + 4 t )^2 + ( y^ -^ t )^2 - ( z^ + 3 t )^2 + 2 t^2.
Sin duda, en pocas páginas hemos aprendido bastante en lo que a la clasificación de una forma cuadrática se refiere. A esta altura es conveniente que hagamos algunos comentarios. En los teoremas 2 y 3 hemos supuesto que a 11 , el número que ocupa el primer lugar en la diagonal principal de la matriz asociada a la forma cuadrática, no es cero. En realidad, todo lo que vimos sólo requiere que alguno de los números de esa diagonal sea distinto de cero; sólo por comodidad elegimos a 11. Ahora bien, ¿qué ocurre en el caso que toda la diagonal principal esté llena de ceros? A continuación respondemos a esa pregunta. Si Qn es una forma cuadrática cuya matriz asociada no es nula, pero sí es nula su diagonal principal, resulta que existe algún a ij 0 con i j. Para ese i y ese j se cumple que 2 a ij = Qn(ei + ej) y también que -2 a ij = Qn(ei - ej). O sea que Qn tiene valores de distinto signo en (ei + ej) y en (ei - ej). En consecuencia, Qn es indefinida.
Referencia bibliográfica: Moretti Jorge (2008), Algebra Lineal, Montevideo, CECEA
ANEXO 2
Ejercicios
Ejercicio 1 Prueba que cada una de las siguientes funciones es una forma cuadrática y encuentra su matriz asociada.
- f
x y
^
= - x^2 + 4 xy -5 y^2 2) g
x y
^
= x^2 + 6 xy + 5 y^2
- h
x y z
= x^2 + 4 y^2 + 5 z^2 + 2 xy + 4 xz + 6 yz 4) j
x y z
= 3 x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + 2 xz
Ejercicio 2
- Sea Q 2 la forma cuadrática cuya matriz asociada es A =
a b b c
^
. Calcula a Q 2 (x)
para cada x = x y
^
y verifica que a Q 2 (x) = ( ax + by )^2 + ( ac - b^2 ) y^2.
- Usa el resultado anterior para estudiar el signo de las formas cuadráticas f y g del ejercicio 1.
- Resume gráficamente los resultados que obtuviste en la parte anterior.
- Estudia el signo de la forma cuadrática Q 2 de la primera parte en el caso que a = 0.
Ejercicio 3
- Clasifica cada una de las tres formas cuadráticas que constan en la introducción.
- Clasifica las formas cuadráticas h y j del ejercicio 1.
- Reclasifica las formas cuadráticas del ejemplo 2.
Ejercicio 4
Sea Q 4 la forma cuadrática cuya matriz asociada es A =
- Demuestra que Q 4 es definida positiva.
- Expresa Q 4 como una suma de cuadrados.
Ejercicio 5
Prueba que la forma cuadrática Q 3 con matriz asociada A =
es indefinida
y que sus raíces no son sólo los vectores del núcleo de A.
Ejercicio 6 Sea Q 4 la forma cuadrática de la segunda parte del ejemplo 3. Prueba que en el núcleo de su matriz asociada está sólo el vector nulo y encuentra otras raíces de Q 4.
