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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENERÍA DE SISTEMAS
Título del Informe Académico
Aplicación del recurso matemático GeoGebra en la
geometría analítica
AUTOR(ES):
Castro Huaracallo, José Oswaldo (orcid.org/0000-0001-9585-177X) Cueva Olivera, Mathias Samuel (orcid.org/0000-0002-2548-1045) De la cruz Quispe, Hugo Jesús (orcid.org/0000-0003-1244-7734) Guevara Moya, Zahid Alessandro (orcid.org/0000-0003-4463-7734) Huarancay Aguilar, Isabel Yamila (orcid.org/0000-0002-7364-0258) Miscua Laura, Matias Martin (orcid.org/0000-0003-3608-8385) ASESOR(A)(ES): Mgtr. Lopez Salazar, Antonio Raymundo LÍNEA DE INVESTIGACIÓN: El recurso matemático GeoGebra en la geometría analítica LIMA- PERÚ 2022
ÍNDICE
PÁ
- I. INTRODUCCIÓN……………………………………………….….. G
- 1.1. Objetivos y propósito…………………………………………...
- 1.2. Importancia de la Geometría Analítica……………………….
- 1.3. Importancia del aplicativo GeoGebra………………………...
- II. DESARROLLO……………………………………………………...
- 1.4. Historia de la Geometría Analítica………………………….…
- 1.5. Historia del aplicativo GeoGebra……………………….…… - Analítica………………………………………………………... 1.6. Ejemplos de aplicación del uso de la Geometría
- 1.6.1. Los puentes colgantes…………………………………….
- 1.6.2. Las antenas parabólicas………………………………….
- 1.6.3. La observación astronómica………………..………...….
- 1.7. Tipos de secciones cónicas………………………….…..….. - 1.7.1. La circunferencia…………………..…….……………...... - 1.7.2. La elipse………………………….…………..………...…. - 1.7.3. La parábola………………………………………..…….… - 1.7.4. La hipérbola………………………………………………..
- 1.8. Alguno de los usos de GeoGebra…………………………...
sobre el tema, basándose en la resolución de problemas propuestos. El propósito de esta investigación trata que el alumno vallejiano interprete, argumente, comunique y resuelva diversas situaciones problemáticas de su entorno, usando gráficos estadísticos y analíticos que representan ciertas figuras en el mismo plano cartesiano. Desde esta perspectiva, la UNESCO tiene estrategias con la finalidad de lograr mejor versión de la calidad educativa, que no solo involucra a los contenidos, sin embargo, los métodos de aprendizaje, la experiencia en América Latina, que se inició por los 90s, razón por la cual cada país implementó diferentes políticas. El empeño estuvo centrado en adquirir recursos tecnológicos, implementación y funcionamiento de redes por ello se brinda una buena preparación hacia los maestros. (Ministerio de Educación, 2015). El objetivo fundamental es desarrollar la capacidad investigativa de los estudiantes de la Universidad César Vajello mediante la implementación del software interactivo GeoGebra en su proceso. Sin embargo, podemos contribuir con el desarrollo de la competencia creativa y analítica de los alumnos a través de la articulación de los métodos geométricos. Respecto al propósito de la investigación, el estudiante debe indagar sobre algunas estrategias metodológicas utilizadas por los académicos de matemática para la facilidad de aprendizaje referente a las funciones cuadráticas utilizando ese software matemático llamado GeoGebra en alumnados de la especialidad de informática del Instituto Universitario de Tecnología de Administración Industrial (IUTA), se pretende caracterizar algunos aspectos que generar estratégicas metodológicas desde la experiencia de algunos docentes. (Anato, 2022).
1.2. IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA ANALITICA
La geometría analítica es muy importante en las matemáticas, ya que permite manifestarse analíticamente las figuras geométricas. Por tal razón, se puede establecer una correspondencia entre elementos geométricos y ecuaciones algebraicas. Esta propiedad es muy valorizada, porque gracias a ella se pueden reformular problemas geométricos en problemas equivalentes en álgebra (y viceversa) y, de esta forma, se pueden resolver dichos problemas científicamente. También es muy relevante debido a sus casi infinitas aplicaciones. Como veremos más abajo, la geometría analítica se utiliza muy frecuentemente en la vida real, especialmente en la ciencia, la ingeniería y la industria. 1.3. IMPORTANCIA DEL APLICATIVO GEOGEBRA Es muy importante GeoGebra, porque te ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una vista gráfica, una vista numérica, vista algebraica y, además, una vista de hoja de cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. En cierto modo, cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente. Saldaña, R. (2017) concluyo que todos los docentes de grado principal, medio y preeminente tienen la posibilidad de usar este instrumento,
dice: “por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sola una paralela a ella”. Pitágoras (572 a.c – 497 a.c) fue un filósofo y matemático griego el cual dio su aporte en la geometría analítica gracias a que demostró que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se podían deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas teoremas y postulados. Entre los teoremas encontrados, los más destacados son: La suma de los lados de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos. El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, este fue conocido como el teorema de Pitágoras. Apolonio de Perge (262 a.c – 190 a.c) fue un geómetra griego el cual fue conocido por sus obras secciones cónicas y el problema de Apolonio. En su obra secciones cónicas dio a conocer los términos conocidos como parábola, elipse e hipérbola espiral. Arquímedes de Siracusa (287 a.c – 212 a.c) fue un físico, ingeniero inventor, astrónomo y matemático griego el cual fue conocido por su aporte en la geometría y el Método de los Teoremas Mecánicos. Este matemático tuvo su aporte a la geometría ya que fue el que inventó algunas formas de medir el área de algunas figuras geométricas además de la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas como paraboloides o cilindros. También elaboró un
método para calcular una aproximación al valor del número pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. Thales de Mileto (624 a.c – 546 a.c) fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego el cual dio su aporte a la geometría gracias a que fue el primer matemático en iniciar el desarrollo racional de la geometría. Él fue el primer hombre del cual se tiene información concreta acerca de sus investigaciones ya que las anotaba en investigaciones, alguna de las cuales son: Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son iguales. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro entonces los ángulos serán iguales. Dos rectas paralelas cortadas por una secante producen ángulos iguales. En todo triángulo la recta paralela a uno de sus lados produce un triángulo semejante al primero. Eratóstenes de Cirene (276 a.c – 194 a.c) fue un astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático, su aporte es que fue la primera persona en medir con exactitud mediante terrestre, para lo cual creó un sistema a partir de la semejanza de los triángulos. También trabajo con problemas matemáticos como la duplicación del cubo y los números primos. Una de las investigaciones más grandes que realizó fue la de medir la tierra. Estos son los personajes más relevantes que se tiene al
Rene Descartes (1596 – 1650) fue un filósofo, matemático y físico francés, fue uno de los “fundadores” de la geometría analítica, dando su aporte en la sistematización de la geometría analítica. Intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que producen y también contribuye a la teoría de ecuaciones. Leonhard Paul Euler (1707 – 1783) fue un matemático, físico y filósofo suizo, él fue la primera persona en realizar un tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. Desarrolló los conceptos conocidos como ortocentro, circuncentro y baricentro de un triángulo, además de renovar el tratamiento de las funciones trigonométricas al emplear las ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos gracias a la denominada identidad de Euler. Blaise Pascal (1623 – 1662) fue un polimatía, matemático, filósofo, físico, inventor, escritor y teólogo francés, él formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva conocida como teorema de Pascal y formuló la teoría de la probabilidad. Johann Carl Friedrich Gaus (1777 – 1855) fue un matemático, astrónomo, geobotánico y físico alemán, él fue de las personas que trataron de desarrollar la geometría no euclidiana, la cual se construía negando el V postulado y considerando válida la hipótesis del ángulo agudo. Janos Bolyai (1802) tuvo su aporte gracias a su obra la cual data distintos resultados, entre los cuales destacan: Definición de las paralelas y sus propiedades.
Definición absoluta del horiciclo y la horosfera. Obtención de las fórmulas trigonométricas planas. Estudio de la geometría esférica. Problemas resolubles en la geometría no euclídea. Demostró que la geometría obtenida sobre la horosfera coincide con la geometría euclídea. Demostró la independencia de la trigonometría esférica del postulado Euclides. Ayerbe Toledano, J. M. (2017) define que, la geometría tiene cierta controversia porque, aunque fue inventada por René Descartes y Pierre Fermat en el siglo XVII la geometría analítica es la esencia de su aplicación en el plano es establecer entre puntos en el plano y pares ordenados de números reales, un sistema de coordenadas porque hace posible la relación entre curvas planas. la GeoGebra es un diccionario entre álgebra y geometría, ya que conecta pares de números con puntos y ecuaciones con curvas, sin embargo, esta conexión va mucho más allá de lo que parece, ya que se conecta la sintaxis de la geometría y el álgebra los conecta con enlaces entre elementos y operaciones. Así mismo, para poder encontrar geométricamente las intersecciones de dos curvas, en el caso de f(x,y)=0, g(x,y)=0, debemos resolver algebraicamente por las ecuaciones que ambos creamos. La geometría se publicó en el año 1637 con las dioptrías y los meteoros como tercer apéndice de su obra principal, Discurso del Camino, para orientar adecuadamente el pensamiento y encontrar la verdad en las ciencias. El éxito de la geometría se determinó Descartes, que en realidad es el que usamos ahora, por usó el símbolo “=” para la igualdad, una nota
multiplataforma te permite interactuar dinámicamente con la geometría, el álgebra y el numérico. El programa GeoGebra fue ideado por Markus Hohenwarter en el marco de su trabajo de tesis de Maestría, presentada en el año 2002 en la Universidad de Salzburgo, Austria. Se esperaba lograr un programa que reuniera las virtudes de los programas de geometría dinámica, con las de los sistemas de cálculo simbólico. El creador de GeoGebra valoraba todos estos recursos para la enseñanza de la matemática, pero notaba que, para el común de los docentes, los programas de cálculo simbólico resultaban difíciles de aprender, dada la rigidez de su sintaxis. Según Arteaga et al. (2019) concluyeron que el programa GeoGebra fue ideado por Markus Hohenwarter en el marco de su trabajo de tesis de Maestría, presentada en el año 2002 en la Universidad de Salzburgo, Austria. Se esperaba lograr un programa que reuniera las virtudes de los programas de geometría dinámica, con las de los sistemas de cálculo simbólico. El creador de GeoGebra valoraba todos estos recursos para la enseñanza de la matemática, pero notaba que, para el común de los docentes, los programas de cálculo simbólico resultaban difíciles de aprender, dada la rigidez de su sintaxis, y que por esta razón evitaban su uso. Por otra parte, se observaba que los profesores valoran de mejor manera los aplicativos de geometría dinámica, ya que su interfaz facilita su uso. Así fue cómo surgió la idea de crear GeoGebra. Prontamente fue ganando popularidad en todo el universo y un gran número de voluntarios se fue sumando al proyecto desarrollando nuevas novedades funcionalidades, asignaturas didácticas interactivas, traduciendo tanto el software como su documentación a decenas de
idiomas, colaborando con nuevos usuarios a través del foro destinado para tal fin. En la actualidad, existe una comunidad de maestros, investigadores, desarrolladores de software, alumnos y otras personas interesadas en la temática, que se nuclean en los distintos Institutos GeoGebra locales que articulan entre sí a través del Instituto GeoGebra Internacional. GeoGebra ofrece tres criterios diferentes de cada objeto matemático: una vista gráfica, una vista numérica, vista algebraica y, además, una vista de hoja de cálculo. Esta multiplicidad permite estimar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente. (párr., 14-16). Es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Hohenwarter (2014), eligió GeoGebra con el atenuante que el docente pueda tener una herramienta didáctica que ayude en el proceso de la educación, con las consideraciones que el software a utilizar sea accesible, libre, de fácil manipulación, que cuente con un proceso de instalación automático, sencillo y que sea aceptado en todas las plataformas. 1.6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL USO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.6.1. LOS PUENTES COLGANTES
Distancia : √( x − h )
2 +( y − k ) 2 = r Ec :( x − h ) 2 +( y − k ) 2 = r (^2) Centro : C
− D
E
Radio : r =
√ D
2
- E 2 − 4 F 1.7.2. La elipse La elipse es una línea curva, cerrada y plana muy parecida a la circunferencia, pero su forma es más ovalada. En particular, es el resultado de cortar la superficie de un cono con un plano oblicuo cuyo ángulo respecto al eje de revolución es mayor que el de la generatriz. Además, todos los puntos de una elipse cumplen con una condición: la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos (llamados focos F y F’) es constante. EC :
X
2 a
2 +^
y 2 b
2 =^1
1.7.3. La parábola Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz). Geométricamente, la parábola es el resultado de cortar un cono con un plano con un ángulo de inclinación respecto al eje de revolución equivalente al ángulo de la generatriz del cono. Ec del eje horizontal :( y − k ) 2 = 4 a ( x − h ) Ec del eje vertical :( x − h ) 2 = 4 a ( y − k ) Vértice : V ( h ,k ) Foco : F ( a + h , k ) Directriz : X =− a + h Parámetro : 4 a 1.7.4. La Hipérbola Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la siguiente propiedad: el valor absoluto de la diferencia de las
1.8. ALGUNO DE LOS USOS DE GEOGEBRA
Herramienta del profesor Se puede utilizar herramientas ya creadas por otros usuarios para poder facilitar el aprendizaje de la geometría en los estudiantes para poder deducir relaciones, resultados y propiedades de los objetos intervienen construcciones nuevas para que el aprendizaje sea más didáctico. En este contexto, fue utilizada en evaluar la transformación de las funciones exclusivamente mediante este paquete informático y ejecutar los constantes resultados para verificar su eficacia. 1.9. NIVELES DE CERTIFICACIÓN El instituto internacional de GeoGebra tiene establecidas distintos niveles de certificación para sus usuarios los cuales son: 1.9.1. CERTIFICADO DE USUARIO
