Catalogo de cuentas e investigación de balance general y sus cuentas, Apuntes de Contabilidad

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Calculo.

Instituto Tecnológico Superior de Pánuco.

Ing. En gestión empresarial.

Calculo

Aplicaciones de la derivada.

1. Recta tangente y recta normal a una curva en un

punto.

2. Función creciente y decreciente.

3. Máximos y mínimos de una función.

4. Criterio de la primera derivada para máximos y

mínimos.

5. Criterios de la segunda derivada para máximos y

mínimos.

6. Análisis de la variación de una función.

Ing. Fortino Vazquez Elorza.

Turrubiates Arteaga Zamira Guadalupe.

1er. Semestre.

G-101.

22 / Enero / 2021.

2do. Ejercicio o ejemplo.

2

f (2) = (2)

2

- 4(2) =4-8= - 4

f´(x) = 2x-4 f´ (2) = 2(2)-4 = 0

𝑦 = − 4 tangente.

𝑥 = 2 normal

Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y

x2, con la condición x1 £x2, se verifica que f (x1) < f (x2). Se dice estrictamente creciente si de x1 <

x2 se deduce que f(x1) < f(x2). Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si para

cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f (x1) ³ f (x2). Siempre

que de x1 < x2 se deduzca f (x1) > f (x2), la función se dice estrictamente decreciente.

Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, aumenta

la variable dependiente y. Una función f es creciente si para todo punto x del dominio la derivada

es positiva, es decir f '(x) ≥ 0.

Ejemplo:

3

2

2

Ahora vamos a graficar la derivada para determinar los intervalos donde es positiva y donde es

negativa.

Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función son los

valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un

punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la

función en su totalidad.

En cualquier función, las curvas obtenidas figuran los máximos y mínimos, donde se

forma una tangente horizontal. Al máximo no se le puede definir como el punto más alto

de la curva ya que hay casos donde el máximo no es la curva más alta, y por esta misma

razón al mínimo no se le puede definir como el punto más bajo de la curva. En este caso

existe un punto de inflexión y es aquel en donde cambia el sentido de la curva.

Máximos y mínimos de una función Máximos Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o

local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0 Mínimos Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo

relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0.

Ejercicio:

3

2

2

Igualamos la función a 0 6 𝑥

2

Aplicaremos la formula general: 𝑥 =

−𝑏±√𝑏

2

− 4 𝑎𝑐

2 𝑎

2

Máximos y mínimos de una función.

máximos y mínimos de una función.

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los

mínimos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en

un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y

Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b

que contiene a c.

Si f´(x) es positiva para todo x<c, y negativa para todo x>c, entonces f(c) es un valor máximo

relativo de f(x).

Si f´(x) es negativa para toda x<c, y positiva para toda x>c, entonces f(c) es un mínimo relativo de

f(x).

Si f(x) es positiva para todo x<c y también es para todo x>c; o si f(x) es negativa para todo x<c y a

su vez para todo x>c.

Entonces f (c) no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de f(x).

Máximo relativo en

Mínimo relativo en

Criterios de la primera derivada para máximos y mínimos.

Es utilizado para la resolución de varios teoremas, estos análisis traen consigo

algunas funciones que no serán de mucha utilidad a la hora de resolver problemas

de cálculo diferencia. Cuando la variación total de cualquier función particular es

finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada. En

el caso de las funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación

acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y, otra

clasificación establece que las funciones de variación acotada tienen la propiedad

de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la

diferencia entre dos monótonas acotadas.

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser

establecida como:

[

])

Donde S es el conjunto acotado:

𝑛

𝑘= 1

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S

puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se

denota como V (f; x, y) o simplemente V (x). Existen ciertos teoremas que pueden

ser útiles para el análisis de la variación de la función:

1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la

función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] =

g(y) – g(x).

2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de

variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.

3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es

constante, en ese caso

a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].

b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del

intervalo [x, y].

c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].

d). g + f y g – f son BV en el conjunto [x, y]

e). gf es también BV en el conjunto [x, y].

Análisis de la variación de una función.