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Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Como se menciona anteriormente, ya platicamos de espacios vectoriales y de subespacios. También desarrollamos teoría de dimensión para espacios vectoriales de dimensión finita. Esto nos ayuda a entender a los espacios vectoriales «uno por uno». Lo que queremos entender ahora es cómo interactúan los espacios vectoriales entre sí. Para ello, hablaremos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales. La idea de esta entrada es: Dar la intuición y definición de transformaciones lineales en general Probar propiedades básicas de las transformaciones lineales Dar varios ejemplos de transformaciones lineales Dar las definiciones de kernel (o núcleo) y de imagen para una transformación lineal. Ver un ejemplo que abarque ambas definiciones Finalmente, probar que el kernel y la imagen son subespacios vectoriales. A grandes rasgos, las transformaciones lineales se pueden pensar como «funciones bonitas» entre espacios vectoriales que «preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalar».
Transformaciones lineales
Para V y W espacios vectoriales sobre un campo F, una transformación lineal entre V y W es una función T: V→W tal que: Para todo v 1 y v 2 en V se tiene que T (v1+v2)=T(v1)+T(v2). Esto informalmente se le conoce como que «T abre sumas». Para todo v en V y c en el campo F se tiene que T (cv)=cT(v). A esto se le conoce como que «T saca escalares». En la primer condición la suma de la izquierda (dentro del paréntesis) es «la suma de V» y la suma de la derecha es «la suma de W». De manera similar, en la segunda condición el producto por escalar de la izquierda (dentro del paréntesis) es el de V y el de la derecha es el de W. En lo que resta de esta entrada, supondremos que los espacios vectoriales son sobre un mismo campo F. Ejemplos de transformaciones lineales La función T: R2→R dada por T (x, y) = x + y + 1 no es una transformación lineal. De hecho falla en ambas condiciones. Falla en abrir sumas pues, por ejemplo, T (1,1) = 3, T (2, 2) = 5, pero (1, 1) + (2, 2) = (3, 3) y T (3, 3) = 7 ≠ 5 = T (1, 1) + T (2, 2). También falla en sacar escalares pues, por ejemplo T (4, 2) = 7 ≠ 8 = 2T (2, 1). La función T: R3→R3 dada por T (x,y,z) = (2x,2y,2z) es una transformación lineal. Para convencernos de que esto es cierto, notemos que si v = (x, y, z) entonces la transformación está dada por T (v) = 2v. Ahora, tomemos dos vectores v 1 y v 2 en V, y un real c. Tenemos por la asociatividad y conmutatividad de multiplicar por escalares en R3 que: T (v1+v2) = 2 (v1+v2) = 2v1+2v2 = T (v1) + T (v2), y que T (cv1) = 2 (cv1) = c (2v1) = c T (v1).
Así, T(M1+M2)=((a1+a2)−(d1+d2),(b1+b2)−(e1+e2),(c1+c2)−(f1+f2)). Esto muestra que T(M1+M2)=T(M1)+T(M2), es decir, que T abre sumas. Con un argumento parecido se puede mostrar que saca escalares.
La definición de «transformación lineal» pide dos cosas por separado: abrir sumar y sacar escalares. Sin embargo, la siguiente proposición nos ayuda a probar de manera más práctica que T es una transformación lineal. 1.2.1Proposición (verificación abreviada). Sean V y W espacios vectoriales sobre un mismo campo F. T: V→W es una transformación lineal si y sólo si para todo v 1 , v 2 en V y c en F se tiene que T (cv1+v2)= c T (v1)+ T (v2). En efecto, si T es transformación lineal, entonces T (cv1) = c T (v1) porque T saca escalares y así T (cv1+v2) = T (cv1) + T (v2) = cT (v1) + T (v2). Por otro lado, si se cumple T (cv 1 + v2) = cT (v1) + T (v2) para todos (^) v1 y v 2 vectores en V y c escalar en F, entonces con v2 = 0 recuperamos que T saca escalares y con c = 1 recuperamos que T abre sumas. Las transformaciones lineales mandan al cero de un espacio vectorial al cero del otro. 1.2.2 Proposición (cero va a cero). Sean V y W espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si T: V→W es una transformación lineal, entonces T (0)=0. Demostración. El truco es encontrar T (0+0) de dos formas distintas. Por un lado, como 0 + 0 = 0 , tenemos que T (0 + 0) = T (0). Por otro lado, como T abre sumas, tenemos que T (0 + 0) = T (0) + T (0). Así, tenemos que T (0)+T (0) = T (0).Restando T (0) de ambos lados obtenemos T (0)= 0. De hecho, hay otra forma de probar la proposición anterior usando que T saca escalares: T (0) = T (0⋅0)= 0 T(0) = 0. Piensa en por qué cada una de estas igualdades se vale y por qué adentro del paréntesis que hay dos ceros, uno de ellos es vector y el otro escalar.
Las transformaciones lineales también «respetan» inversos aditivos. 1.2.3Proposición (inversos aditivos van a inversos aditivos) vectoriales sobre un mismo campo. Si entonces T (−v) = −T (v). La demostración es sencilla y la puedes pensar por tu cuenta. El haber enunciado estas proposiciones nos puede ayudar para decir, de golpe, que algunas funciones no son transformaciones lineale función falla en tener alguna de las propiedades anteriores, entonces no es transformación lineal. Por ejemplo: Sea V el espacio vectorial matrices de 2×2 con entradas complejas, pero visto como espacio vectorial sobre R (sólo se permite usar reales para la multiplicación escalar). La transformación T: V→ entradas complejas al (0,0) a la matriz
Tomemos T: V→W una transformación lineal. Hay dos conjuntos muy importantes relacionados con T. El kernel (o núcleo) de T vectores en V que se van al vector 0 de W cuando les aplicamos símbolos, ker (T)= {v ∈V: T La imagen de T son los vectores en forma T(v) para algún v en de teoría de conjuntos o de cálculo. En Las transformaciones lineales también «respetan» inversos aditivos. 1.2.3Proposición (inversos aditivos van a inversos aditivos). Sean V y sobre un mismo campo. Si T: V→W es una transformación lineal, La demostración es sencilla y la puedes pensar por tu cuenta. El haber enunciado estas proposiciones nos puede ayudar para decir, de golpe, que algunas funciones no son transformaciones lineale función falla en tener alguna de las propiedades anteriores, entonces no es el espacio vectorial R2 y W el espacio vectorial de con entradas complejas, pero visto como espacio (sólo se permite usar reales para la multiplicación escalar). →W que manda al vector real (a, b) a la matriz de No es una transformación lineal pues manda la cual no es la matriz 0.
una transformación Hay dos conjuntos muy importantes es el conjunto de que se van al cuando les aplicamos T. En (v) = 0}. son los vectores en W que se pueden escribir de la en V, es decir, es la imagen en el sentido clásico de teoría de conjuntos o de cálculo. En símbolos, Im(T)={T(v):v∈V}. Las transformaciones lineales también «respetan» inversos aditivos. y W espacios es una transformación lineal, El haber enunciado estas proposiciones nos puede ayudar para decir, de golpe, que algunas funciones no son transformaciones lineales: si una función falla en tener alguna de las propiedades anteriores, entonces no es el espacio vectorial de con entradas complejas, pero visto como espacio (sólo se permite usar reales para la multiplicación escalar). a la matriz de No es una transformación lineal pues manda n escribir de la V, es decir, es la imagen en el sentido clásico V}.
que T(v1)=w1 y T(v2)=w2. Notemos que entonces: cw1 + w2 = cT (v1) + T (v2) = T (cv1) + T (v2) = T (cv1 + v2). La segunda y tercera igualdad vienen de que T saca escalares y abre sumas respectivamente. Esta cadena de igualdades muestra que podemos poner a cw1+w2 como imagen de alguien en V bajo T, es decir, que cw1+w2 pertenece a Im(T). Esto es lo que queríamos mostrar.
3.1.1 Reflexiones en el plano
3.1.2. Dilataciones y contracciones en el plano Las transformaciones definidas por las siguientes matrices se denominan dilataciones o contracciones, dependiendo del valor del escalar positivo k. a) Contracciones y dilataciones horizontales:
Encuentre las coordenadas de la caja cuando se hace girar en sentido a las manecillas del reloj alrededor del eje z los ángulos siguientes. a)=60° b)=90° c)=120° Solución: En la figura se muestra la caja original a) La matriz que produce una rotación de 60° es 𝐴 =
ଵ ଶ
√ଷ ଶ
√ଷ ଶ ଵ ଶ
Al multiplicar esa matriz por los ocho vértices de la caja se obtienen los siguientes vértices de la caja rotada.
Vértice original Vértice rotado 𝑉ଵ = (0,0,0) (0.00, 0.00, 0) 𝑉ଶ = (1,0,0) (0.50, 0.87, 0) 𝑉ଷ = (1,2,0) (-1.23, 1.87, 0) 𝑉ସ = (0,2,0) (-1.73, 1.00, 0) 𝑉ହ = (0,0,3) (0.00, 0.00, 3) 𝑉 = (1,0,3) (0.50, 0.87, 3) 𝑉 = (1,2,3) (-1.23, 1.87, 3) 𝑉଼ = (0,2,3) (-1.73, 1.00, 3) La figura 6.18 muestra una gráfica generada por computadora de la caja rotada. Observe que, en esta gráfica, entre las imágenes de pares de vértices conectados en la caja original se han trazado segmentos de recta que representan los lados de la caja. Por ejemplo, dado que 𝑉ଵy 𝑉ଶ están conectados en la caja original, se instruye a la computadora para que conecte las imágenes de 𝑉ଵy 𝑉ଶ en la caja rotada. b) La matriz que produce una rotación de 90° es 𝐴 =
En la figura 6.18 se muestra la gráfica de la caja rotada. c) La matriz que produce una rotación de 120° es 𝐴 =
ଵ ଶ
√ଷ ଶ
√ଷ ଶ
ଵ ଶ
Este trabajo fue un complemento al curso de Álgebra Lineal y gracias al mismo, pude relacionar todos los temas aprendidos anteriormente con los nuevos, ya de que utilizaba conocimientos requeridos de los temas pasados para lograr comprender los temas. Las transformaciones lineales tienen muchas aplicaciones y la que me pareció más interesante es la de Rotación de una transformación lineal, se pueden apreciar inclusive figuras 3D girando sobre el plano. Por medio de este trabajo y prácticamente el curso de Álgebra Lineal terminado, puedo concluir que las aplicaciones de la materia son de suma importancia y se pueden utilizar en cualquier ámbito posible.
S. A. (Recuperado el 16 de Mayo de 2015) Definición de transformación lineal y sus propiedades. Portal Gay Atlacomulco. [Versión electrónica] en: http://www.gayatlacomulco.com/tutorials/matematicas4/t51.htm Gómez, F. P. I. Y. (2020, 31 marzo). Transformaciones Lineales: Definición + Propiedades [Guía completa]. Álgebra y Geometría Analítica. https://aga.frba.utn.edu.ar/definicion-y-propiedades-de-las-transformaciones- lineales/ L. (2021, 17 noviembre). Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales. El blog de Leo. https://blog.nekomath.com/lineal-i-transformaciones-lineales/ Torres, J. (2014, 9 septiembre). Transformaciones Lineales. Buenas Tareas. https://www.buenastareas.com/ensayos/Transformaciones-Lineales/4896086.html Sarmiento E. A. (Recuperado el 18 de Mayo de 2012) Sistemas de funciones iteradas y los fractales. Fundación universitaria KONRAD LORENZ. [Versión electrónica]. http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/articulos/SFI_y_los_Fractales.pdf J. Gómez (2020,18 abril) Transformaciones lineales. [Versión electrónica] http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo3.pdf